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1、专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)专插本高等数学专插本高等数学 1313 页练习页练习(word(word 版可编辑修改版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（专插本高等数学13 页练习(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为专插本高等数学 13
2、页练习(word 版可编辑修改)的全部内容。1专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)第一章第一章 函数、极限和连续函数、极限和连续注:补充例题或习题已在题号前标注*一、函数一、函数1,12例 1（1）求函数fx lnx22的定义域.（2）求函数fx1 xx 13x2,x 22 x 3的定义域。例 2 设函数gx x2，f gx lnx2，则f1 .例 3 已知fx ln1 x，f x x，求x.x1 1例 4 若,则x .xx例 5 已知fx的定义域为全体实数，fx1 xx1，则fx1。例 6 判断函数fx lg xx21的奇偶性.二、极限二、极限例 1 求下列各题的极限x21
3、1x33x22x21limlim（1)lim.（2）。(3）。(4）lim222x0 x2x1xsin2xx x6x1x 1x22x x2 x。例 2 设当x 0，1ax21与sin2x是等价无穷小,则a。例 3 当x 0时,下列变量与x为等价无穷小量的是(）。A.sin2x B.1cosx C。1 x 1 x D.xsin x例 4 求下列各题的极限(1）limtan2xtan xsin x.(2）lim。3x0sin5xx0sin x例 5 求下列各题的极限1(1）limx01 x112x x2.（2）limxx3x2 x1.（3）limxx1x42 xa.（4）lim。（其中a为常数）x
4、x2ax例 5 求下列各题的极限2专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)a b c 11tan x 1sin x（1)lim.（2）.（3）.lim coslim2xx0 x0 x3x 1sin x xxxx1xx2例 6 求下列各题的极限x2cosxsin x（1）lim。（2）lim3。xxx x1x111例 7 求lim.222nn 2n n n 1例 8 在下列函数中，当x 0时，函数fx极限存在的是（）.x1,A。fx0,x1,1x x,x 0B.fx x1,x 0 x 0 12 x,x 0C.fx0,1x 0 x,2x 0 x 0 x 0D.fx e2n a0 xn
5、a1xn1.an1xan 1例 9（1）lim22.2。（2)limm。m1nnxnnb0 x b1x.bm1xbm（3)lim 2nsinnx1cos2x.（4）.limnx02xsin2xx2kx3x2axb 4，求常数k的值.（6）已知lim2 2，求常数a,b的值。(5）已知limx3x2x x2x3三、函数的连续性三、函数的连续性1xsin x,例 1 设函数fxk,1xsin1,xx2,例 2 设函数fxx2a,bx,x 0 x 0在其定义域内连续，求常数k的值。x 0 x 00 x 1在,上连续，求常数a,b的值.x 13专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)x2
6、1,例 3 设函数fxx,2 x,x 00 x 1，讨论fx的间断点及其类型。1 x 2例 4 求下列函数的间断点并说明间断点类型1 x 1 x2x21(1）fx2。（2)fx.2xx 3x21例 5 证明方程4x 2x在0,内至少有一个实根.2例 6 设fx ex2，求证fx在0,2内至少有一个点x0，使ex2 x0.0第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一、导数与微分一、导数与微分例 1 设y fx在x0处可导，则limh0fx02h fx0 ;hx0limfx0 x fx0 x .x例 2 求下列函数的导数(1）y 1ln2x。(2)y arctan ex。（3）y sin 2xs
7、ece2（5）y f xx，其中fu及x均可导。32.(4)y 2x21lnxx.、fxan和 fxa n.f ln x(6）已知fu可导，求 x12（7）设y f，求yx0.fx arctanx x11sin2x（8）设fx为二阶可导函数，且ftan x,求f x。2cos xx 0 x,例 3 函数fx在x 0处是否连续，是否可导，为什么?ln1 x,x 04专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)cosx,x 2例 4 设函数fxx,x 22（1）fx在x 处是否可导？(2)若可导，求曲线过点,0处的切线、法线方程。22x2,x 1例 5 设函数fx在x 1处可导，求常数a
8、,b的值。axb,x 1例 6 设曲线y x3 x2上存在切线与直线y 4x1平行,求切点.例 7 设函数y fx由方程sinx2 y xy确定,求dy。dxdydx例 8 设函数y fx由方程x3 y33xy 1确定，求x2例 9 设函数y 1 x3.x0 x2x2x22,求y.例 10 设函数y sin x,求y.例 11（1）设y(n2)xcosx，求y(n).（2）设y ln1 x，求y(n).tdyx e cost例 12 已知,求当时的值。t t3dxy e sintd2ydyx arctant*例 12 已知参数方程和2.2，求dxdxy 1ln1t-练习题练习题1。已知函数y
9、fx在x a处可导，求lim2.求下列函数的一阶导数xln xxsin x（1）y ln arcsinx ln2。(2)y。（3）y 2lnx.（4)y arctanx212。1 tan xx 13x0fa3x fa.x3。用对数求导法求下列函数的一阶导数5专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)（1)y 1 x2arcsinxx.（2）y。21 xx4.求下列隐函数的一阶导数y（1）y 1 xey。（2）exycosxy 0。5。求下列函数的二阶导数y(1)y ln x 1 x2ex。（2）y。x6.求下列函数的微分1 x2（1）y arctan。（2)y arcsin 1 x
10、2,x 0。21 x7。写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程3atx x sint1t2（1),在t 处.(2），在t 2处.24y cos2ty 3at1t2-二、导数的应用二、导数的应用例 1 不用求函数fxx1x2x3x4的导数，问方程f x0至少有几个实根，并指出其所在范围.例 2 函数fx13x2在1,1上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理。例 3 设函数y fx在a,b上连续，在a,b内可导,且在任一点处的导数都不为零，又fa fb 0，试证：方程fx 0在开区间a,b内有且仅有一个实根.例 4 利用洛必达法则求下列极限6专插本高等数学 13 页练习(word 版可编
11、辑修改)ex1 xxmam1 xlimlim（1)lim。(2）。（3)。(4)lim x2ln x.2nnx1x1x0sin xxax ax0ln x例 5 求下列函数极限 x 2sinxlimlim x(1）lim.（2）.（3）12x2.xx0 x0 x 11xx1e sin xsin x14（4）limxex1.（5）lim x1cos2。（6）lim。x0 xxx1cosx2x2例 6 证明不等式xx（用单调性或拉格朗）(2）ln1 x x,x 0。arctan x x,x 0。1 x1 x2abaab*(3）nbn1ab anbn nan1ab,(a b 0,n 1)。（4)ln,
12、(a b 0)abb（1）例 7 证明不等式ex1 x,x1,0。例 8 证明下列不等式（1）ln x 2x11,x 1。（2）当0 x 时，sin xtan x 2x.（3)当x 1时，2 x 3。x12x2例 9 求函数fx x2ex的单调区间和极值。例 10 求函数y x的凹凸区间和拐点.1 x2例 11 求函数y x42x10的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值。例 12 求函数y x13x2的凹凸性和拐点.例 13 求函数y 3x22x在0,3上的最值。2例 14 求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线(1）y xx。（2）y 1.2x1 xe-练习题练习题1.不求出fxx1x4x7的导
13、数,问方程f x0至少有几个实根，并求出根所在的7专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)区间。2。证明方程ex1 x2 0仅有一个实根。3。求下列函数的极值。（1）fx 2x2x4.（2)fx x2ex。94。当a为何值时，点1,3是曲线y ax3x2的拐点。225。（1）求曲线fx3x520 x37x5的凹凸区间及拐点。(2）求曲线y 3x的拐点.6。证明下列不等式1（1)当x 1时，ex ex。(2)1x2 cosx2x 0。7。设fx在a,可导，且x a时f x k 0，其中k是常数.fa证明：若fa 0,则方程fx 0在a,a上有且仅有一根。k-第三章第三章 不定积分与
14、定积分不定积分与定积分一、不定积分一、不定积分例 1（1）已知fxedx eC，求fx.(2）已知xfxdx arcsinxC,求1x1x1dx.fx二、积分法二、积分法（一）直接积分法（公式法）（一）直接积分法（公式法）例 1 求下列不定积分（1）1 x32xx（2）dx。x 1x3x 1 dx.（3)1dx.22x1 x2x3xx4dx。dx.（4）3 e dx。（5）（6)6x1 x2x例 2 求下列不定积分8专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)xcos2x1(1)sin2dx。（2）2.（3）dxdx.（4）tan2xdx。22sin xcos x1cos2x（二（二
15、)换元积分法换元积分法1.第一类换元法(凑微分法)例 1 求下列不定积分（1）xedx.（2）1x2arctanx1 x22dx。（3）sin3xcos2xdx。（4）exsinexdx.*(5）exdx.（5）11（6）2（7）xxdx.（8)dx。dx。x 4x5eex1 xarctanxx1 xdx.3例 2 求下列不定积分（1）sin2xcos2xdx。（2）2.第二类换元法例 1x2a x22111.(3)。（4）dxdxdx.4cos xsin xcosxdxa 0。例 21x21 x2dx。例 3x24dx。x例 4（1）111x1dx.（3）3dx.dx.（2）dx。（4）xx
16、1 1 x3x11ee 1（三）分部积分法（三）分部积分法22x2x例 1（1）.（2）.（3）.（4).（5）（6）x cosxdxx e dxx ln xdxarctan xdxesin xdx.sinln xdx。例 1sec3xdx.例 2 已知fx的一个原函数是ex，求I xf xdx。（四）一些简单的有理函数的积分（四）一些简单的有理函数的积分例 1（1）1111.（2).(3).(4）dxdxdxdx。22222x ax 2x3x 6x10 xx 12-练习题练习题9专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)1。计算下列不定积分1e2x1 xx32dx（1）3 4 t
17、an x3dx。（2）.（3)tan xsec xdx。x1ex（4）12x x2dx.（5)111dx。.（6).（7）dxdx2x2 x12x25x6x 4xln xnln xndx。（8）arcsinxdx.(9）x2nx4dx。(10）xx-三、定积分三、定积分(一）牛顿一）牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式（二（二)变上限积分变上限积分(三）定积分的计算三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限）例 1 计算0ln2e 1dx。例 2 计算x120 x21 x2dx2.定积分的分部积分法例 1 计算arcsinxdx.例 2 计算下列定积分120(1)0 xarctan xdx
18、.（2）1212x ln xdx.（3）xcosxdx.（4）sinln xdx。0e21例 3 计算定积分4sinxdx.0(四）定积分的综合题【热点】四）定积分的综合题【热点】例 1 求下列各题的导数10专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)(1)xxte dt。（2）x21tdt.t0 x3x例 1 已知2x11 t fdt exe2，求fxdx.021例 2 求下列各题的极限（1）limx0 x20arctantdtx3。（2）limx0sin x0tanxtdttdt.(3）limxx0t e2t2x2dtx。（此题 HB 补充）0例 3 用积分变换证明等式111xd
19、x（1）证明11 x2dxx1 x21x 0。（2)设fx为连续函数，证明xfsin xdx 0fsin xdx。201dt,x0,1，求fx的最大值和最小值。0t24t 52xcost例 5 设fxdt，求fxdx。002t例 4 设fxx（五（五)定积分的性质【热点】定积分的性质【热点】参见习题 5-1（2012 年最后一题考查了性质 6，性质 7 历年未考查过）-练习题练习题11。设fn4tannxdx，nN，证明f3 f5。042。0 xtftdt 1cosx，证明2fxdx 1.0 x3.设fxx1lntdt，证明fx1t 1 1fln2x。x2xx4。设fx为连续函数，且fx 0，
20、xa,b，Fxaftdt b程Fx 0在区间a,b上有且仅有一个实根.5.设x 3x0t21dt,求x的极值。11x1dt，xa,b，证明方ft专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)dx*5 设fx连续，求tfx2t2dt.dx0-四、定积分的应用四、定积分的应用(一）利用定积分求面积和体积一）利用定积分求面积和体积1,x 2与y 3所围成平面图形的面积.x3例 2 求抛物线y2 2pxp 0与直线y xp所围成的图形的面积。2例 1 求由曲线y 例 3 求抛物线y x24x3及其点0,3和点3,0处的切线所围成的平面图形的面积。例 4 求曲线y x2，x 2与直线y 0所围成
21、的平面图形绕x轴旋转后生成旋转体的体积.例 5 试求抛物线y x2在点1,1处的切线与抛物线自身及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转后所得旋转体的体积。（二（二)平面曲线的弧长平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形23例 1 计算曲线y x2上相应于x从a到b的一段弧的长度.3x asin例 2 计算摆线，0 2的长度。y a 1cos五、广义积分的计算五、广义积分的计算例 1 计算下列广义积分（1)0 xexdx.（2）1220 x11。(3）.（4）dxdx。dx322e1 xx 2x2xlnx专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)第四章第四章 多元函数微积分多元函数微积
22、分一、多元函数的定义一、多元函数的定义例 1 写出下列二元函数z fx,y的几何意义（表示何种空间曲面）（1）z axby c。（2）z R2 x2 y2。（3）z x2 y2.(4）z x2 y2.二、二元函数的定义域二、二元函数的定义域例 1 求下列函数的定义域x2 y（1)z 4 x y。（2）z lnx y 1。（3)z xy。（4)z.x y2222三、多元函数的偏导数三、多元函数的偏导数xyx2 y2,x,y0,0例 1 求函数fx,y在原点0,0的偏导数.0,x,y0,0 x例 2 设z tanyzzy，求和。yxxzz和。yx例 3 设z xexysinxy，求四、全微分的概念
23、四、全微分的概念例 1 求z arctanxy的全微分五、复合函数的偏导数五、复合函数的偏导数例 1 设z u2v2，u x y,v x y,求zz和.yxzz和.yx例 2 设z uv，u 3x2 y2，v 4x2y，求x 例 3 设z fxy,，求dz。y例 3 设z f2x,x2，求dz。例 4 求z f2x3y,exy的全微分。13专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)例 4 设z fx,u x2u,u cosxy,求fz和.xx六、隐函数的导数及偏导数六、隐函数的导数及偏导数例 1 设z zx,y由下列方程确定，求zz和。yxz（1)x2y z2 xyz 0。(2）x
24、2 z2 ln。y2z例 1 设x y z 4z 0，求2x222七、高阶偏导数七、高阶偏导数例 1 设z yesinxy2z2z，求2和.xyx八、高阶复合偏导数八、高阶复合偏导数参见习题 9-4 的第 12 题(考纲未明确此部分内容,历年未考察过）-练习题练习题xeyzz221.求下列函数偏导数和：（1）z ln xx y。（2）z 2。yyx2。设xzzz ln，求和.zyyx3.设ez xyz确定z fx,y，求4。设z lnx2 xy y2，证明xzz和.yxzz y 2.xy-八、二重积分八、二重积分14专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)（一）二重积分的定义（二
25、）直角坐标下二重积分的计算例 1 计算x2 xy y2dxdy,D x,y0 x 1,0 y 1.D例 2 计算x2ydxdy，D由x 0，y 0与x2 y21所围成的第一象限的图形。D例 3 计算Dsin xdxdy,D是由直线y x与抛物线y x2所围成的区域.x例 4 计算2x ydxdy，D由y 1，2x y 3 0,x y 3 0围成。D(三)利用极坐标计算二重积分例 1 计算exD2y2dxdy，D是圆心在原点，半径为a的圆。例 2 计算ln1 x2 y2d,D是圆周x2 y21及坐标轴围成的第一象限内的闭域。D-练习题练习题1。设z lnx2 y2arctanzyz，求和.yxx
26、zz和.yx2.设z e2xysinx2y，求3.设z ln12x3y2，求dz。4.设3xy x2 y21确定y是x的函数，求dydx。x1y25。求yexydxdy，其中积分区域D是由y轴，y 1，y 2及xy 2所围成的平面区域.D6.求2ydxdy,式中积分区域D由2 x2 y 1 1 x2所确定。D7.变换积分次序，并计算积分dxxeydydxxeydy。02121x22128。计算eDx2y22dxdy，式中积分区域D由x2 y21，x 0，y 0所确定.-15专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)第五章第五章 常微分方程常微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程
27、的基本概念d2x例 1 验证x C1coskt C2sinkt（C1、C2为任意常数）是方程2k2x 0的通解。dtdxd2x 0条件下的特解.例 2 已知方程2k2x 0的通解为x C1coskt C2sinkt，xt0 A，求dtt0dt例 3 确定下列函数关系式中的常数,使函数满足所给的初始条件。（1）x2 y2 C，yx05。（2)y C1C2xe2x,yx0 0，yx01.（3）y C1sinxC2，yx1，yx 0.二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程例 1 解微分方程dy 2xy。dx例 2 求下列方程的通解dy2dy（1)1 x2y 1 y2。（2）10 xy.（3
28、）cosxsin ydxsin xcos ydy 0.（4）y1 x3 0.dxdxy sin x yln y例 3 求方程的初始问题y的特解。ex2例 4 求初值问题cos ydx1exsin ydy 0，yx0的特解.4三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程例 1 求微分方程y ycos x esin x的通解。例 2 求下列非齐次方程的通解（1）y ytan x sin2x。(2)例 3 求ddy3（3）（4）3 2.x21y2xy cosx。x2 y2x2。ddxdy ytan x secx,yx0 0的特解.dx例 4 求下列方程的特解16专插本高等数学 13 页练习(word 版
29、可编辑修改)（1）dyysin xdy，yx1。（2)ycot x 5ecosx，yx 4。dxxxdx2四、二阶常系数齐次线性微分方程四、二阶常系数齐次线性微分方程例 1 求解下列常系数二阶方程（1）y7y12y 0.(2)4y4y10y 0.(3）y2y y 0。例 2 求下列方程的特解(1）y3y4y 0，yx0 0，yx0 5.（2)y25y 0，yx0 2，yx05。五、微分方程综合题【热点】五、微分方程综合题【热点】*例 1 设fx2ftdt x2,求fx.0例 2 求一曲线的方程,这曲线通过原点，并且它在点x,y处的切线斜率等于2x y.（2012 年倒数第二题考查了一阶线性微分
30、方程的几何意义，与上题形式差不多)x-练习题练习题1.求方程dy10 xy的通解。dx2.求方程xdy dx eydx的通解.3。求方程cosxdy ysin x 1的通解。dxxy y e4。求下列方程满足初始条件的特解：.y 2x05.求下列二阶齐次方程的通解d2ydyd2s（1）y3y4y 0。（2）25 0.（3)2s2 0。（4）xt2xt xt 0。dxdxdt6。求下列初值问题的特解（1)求y4y3y 0，y0 2，y06.（2)求y25y 0,yx0 2,yx05.-17专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)第一章函数的连续性例 6设:f(x）=ex2x因为：f
31、（0)=120=10f（2）=e 22=e 40且函数 f（x）在(0，2)上不间断,则:存在 x0(0，2），使得 f(x0）=0即存在 x0(0,2），使得：e（x0）2=x0第二章sinxx（2)limx0解：原式=lim(x0)esinx(lnx）=elim（x0）sinx（lnx)=elim(x0）（sinx/x）(xlnx）18专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)=elim(x0）(xlnx)（等价无穷小 sinxx 代换）=elim（x0）lnx/（1/x)=elim(x0）1/x/（1/x2)（洛必达法则)=elim(x0)（-x）=e0=1例 6 证明不等式（1）x（用单调性或拉格朗）.ln1 x x,x 0。1 x设 f(x）=ln(1+x)（x0）取区间【1，1+x】,显然 f（x）在【1，1+x】上连续，在（1,1+x）上可导。中间点可选 x,（01).由拉格朗日中值定理得：f(1+x)-f(1）=f（x）（1+x-1）19专插本高等数学 13 页练习(word 版可编辑修改)即：ln(1+x）=x/（1+x)又：x/(1+x）x/(1+x）x即得证:x/（1+x)ln（1+x）x20