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1、-专题专题-圆的切线证明圆的切线证明我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:一、一、若直线若直线 l l 过过O O 上某一点，上某一点，证明证明 l l 是是O O 的切线，的切线，只需连只需连 OAOA，证明证明 O O就行了，就行了，简称简称“连“连半径，证半径，证垂直”垂直”,难点在于如何证明两线垂直难点在于如何证明两线垂直.例例 1 1如图,在中，ABAC,以 AB 为直径的交于D，交AC 于 E,为切点的切线交OD 延长线于.求证：E与O 相切.证明证明:连结 OE，ADAB 是O 的直径，AB
2、C.又AB=BC，34B=D，1=2.又OB=E，OF=OF,BOEOF（S）.OF=O.BF 与相切，OBB.OE=9.E与O 相切.说明：说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例例 2 2如图,AD 是AC 的平分线,P 为 B延长线上一点,且 PAPD.求证:PA 与O 相切.证明一：证明一：作直径 AE，连结 EC.D 是AC 的平分线，DABDAC0-P=PD,21+AC2=B+B，1B.又B=E,1EAE 是O 的直径,ACEC，E+EC=0.1C=90 即 OAPA 与O 相切.证明二：证明二：延长D 交于 E，连结 OA,OE.AD 是BAC 的平分线,BE=,OEBC.00
3、E+BD90.OA=O，E=1.P=PD，A=D.又PDABDE,PD=90 即AA.0 PA 与O 相切说明说明:此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例例 3 3如图,A=C，AB 是O 的直径，O 交 B于 D，DM于 M求证:M 与O 相切证明一：证明一：连结D.B=A,B=-B=D,=B.1=C.ODAC.DMAC，DMOD.DM 与相切证明二证明二:连结,AD.AB 是O 的直径，DADC.又ABAC,1=2.DMAC,9+2COA=OD,1=3.3+4=90.即DDMDM 是O 的切线说明：说明：证明一是通过证平行来证明垂直的证明二是通过证两角互余证明垂
4、直的,解题中注意充分利用已知及图上已知例例如图,已知:A是O 的直径,点 C 在O 上,且AB0,BD=OB,在B 的延长线上.求证:DC 是的切线证明：证明：连结 O、C.OAOC,=30.BOA+1=60 00又OCO，B是等边三角形.OB=BC.D-OB=B，=C=B.OCCD.D是O 的切线.说明说明:此题是根据圆周角定理的推论3 证明垂直的,此题解法颇多,但这种方法较好.例例 5 5如图，AB 是O 的直径，CDAB，且=OO求证：C 是O 的切线.证明证明:连结 OOA=ODOP,OOC，O=DO，222OCOP.ODOC又=1，OCPODC.O=ODCCDAB，OCP=90.PC
5、 是O 的切线.说明：说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例例 6 6如图，ABC是正方形，是 B延长线上一点，AG 交D 于 E，交 CD 于 F求证：CE 与CF的外接圆相切分析：分析：此题图上没有画出C的外接圆,但F是直角三角形,圆心在斜边 FG 的中点,为此我们取 FG的中点 O，连结C，证明 CEOC 即可得解.证明：证明：取 F中点 O，连结C.ACD 是正方形，0BCCD，CFG 是 RtO 是G 的中点，是 RtCFG 的外心.OCOG，3=G,ABC，-G=.D=CD,EDE，ADE=CD45,ADEDE(SS),1=.02+3=0,1+2=90 即EOC.0E 与CFG
6、的外接圆相切二、若直线二、若直线 l l 与与O O 没有已知的公共点没有已知的公共点,又要证明又要证明 l l 是是O O 的切线的切线,只需作只需作 OAOA,为垂足，证明为垂足，证明OAOA 是是O O 的半径就行了，简称的半径就行了，简称:“作垂直“作垂直;证半径”证半径”例例 7 7如图，AB=AC，D 为 BC 中点，D 与 A切于 E 点.求证：AC 与D 相切.证明一：证明一：连结 DE,作 DF,F 是垂足.AB 是的切线,DADFA，0EB=DFC=90.AB=A，=C又BD=CD,BDCD(AAS)F=DE.在D 上.是的切线证明二证明二:连结 DE，AD，作 DFAC，
7、F 是垂足A与D 相切,D.ABA，BD=CD,.2=1-DEAB,DFC，DE=DF.在D 上.C 与D 相切.说明说明:证明一是通过证明三角形全等证明DFDE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=的，这类习题多数与角平分线有关.例例已知：如图,AC,BD 与切于 A、B，且CBD,若CO0.求证：C是O 的切线.证明一：证明一：连结 OA,作ED，为垂足.AC，与O 相切,AC,B.0ACD,01+23+418.D=9，2+390,+490.0000O4+1=5.RRDO.ACOC.OBODACOCOAOD0OA=OB，又CAO=OD=90,AOCODC,1=.又OAC,ED,OE=O.
8、E 点在O 上.CD 是O 的切线.证明二证明二:连结 OA，OB,作 OEC于 E,延长 DO 交 CA 延长线于 FAC,BD 与O 相切,-CA，BDOB.CB，=BDO.又OAOB，AFD(AAS）OF=D.0COD90，CF=CD,12.又OAC,ECD，OE=OA.点在O 上.CD 是O 的切线.证明三证明三:连结并延长，作CD 于,取 CD 中点 F,连结 OF.AC 与O 相切,ACAO.ACB,AOD.BD 与O 相切于 B,AO 的延长线必经过点 B.B 是的直径.AB,=OB，CF=DF，OF,1COFCD=0，CF=DF,OF 01CD CF.2=CO.=1OA，OEC
9、D，OE=OA.E 点在O 上.-CD 是O 的切线说明：说明：证明一是利用相似三角形证明=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1,这种方法必需先证明、O、B 三点共线此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.以下是武汉市 207-2010 中考题汇编:（007 中考）2222(本题8分）如图,等腰三角形ABC中，AC=B=10，B=12。以BC为直径作O交AB于点D，交AC于点G，FAC,垂足为,交CB的延长线于点E。A(1)(1)求证：直线E是O的切线;F(）求F:C的值。DGCEBO(第 22 题
10、图)(08 中考)2.(本题 8 分）如图，A是O 的直径,AC 是弦，BAC 的平分线 AD 交于点 D,EAC,交 AC 的延长线于点，OE 交 A于点 F.求证:DE 是O 的切线；若AC3AF的值。,求AB5DFECDFABO(00中考)2(本题满分 8 分)如图,Rt ABC中，ABC 90，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC的中点，连C接DE.（1）求证：直线DE是O的切线;（2）连接OC交DE于点F,若OF CF，求tanACO的值.DFEABO（010 中考）22如图,点 O 在APB 的平分线上,与 P相切于点 C.(）求证:直线与O 相切；（)P的延长线与交于点E若的半径为 3,PC=.求弦 CE 的长-