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1、中考二次函数经典例题中考二次函数经典例题LTLT已知：已知：抛物线抛物线 y=-x2+2x+8y=-x2+2x+8交交 X X 轴于轴于 A A、B B 两两点（点（A A 在在 B B 左侧）左侧），O O 是坐标原点。是坐标原点。1 1、动点、动点 P P 在在 X X 轴上方的抛物线上（轴上方的抛物线上（P P 不与不与 A A、B B 重合）重合），D D 是是 OPOP 中点，中点，BDBD 延长线交延长线交 APAP 于于 E E问：问：在在 P P 点运动过程中，点运动过程中，PEPE：PAPA是否是定值？是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。是，求出其值；不是，请说明理由
2、。2 2、在第在第1 1问的条件下，问的条件下，是否存在点是否存在点 P P，使使 PDEPDE的面积等于的面积等于1 1？若存在，若存在，求出求出 P P 点的坐标；点的坐标；若不存在，若不存在，请说明理请说明理由。由。解：解：1.y=-x2+2x+8=-(x-4)(x+2)1.y=-x2+2x+8=-(x-4)(x+2)所以所以 OA=2 OB=4OA=2 OB=4自己画图自己画图,由由 面积等于底面积等于底*高高/2./2.可以知道可以知道 PE:EA=SPE:EA=S PDE:SPDE:S ADEADE由于由于 PD=OD,PD=OD,那么那么 S S PDE=SPDE=S ODEOD
3、E所以所以 PE:EA=SPE:EA=S ODE:SODE:S ADEADE由由 图图 可可 知知 ODEODE显显 然然 BAHBAH和和 ADEADE同同 底底,则则S S ODE:SODE:S ADE=ADE=两三角形高之比两三角形高之比 OG:AHOG:AH和和 BOGBOG相相 似似,那那 么么OG:AH=OB:AB=2:3OG:AH=OB:AB=2:3所以所以 PE:EA=2:3PE:EA=2:3那么那么 PEPE：PA=PE:PE+AE=2:5PA=PE:PE+AE=2:5为定值为定值2.2.设设 P P 点为点为(X,Y)(X,Y)PEPE：PA=2:5PA=2:5所以所以 S
4、 S PDE=(2/5)*SPDE=(2/5)*S PDAPDAS S AOP=Y*2/2=YAOP=Y*2/2=YS S AOD=Y/2(AOD=Y/2(因为因为 D D 是是 OPOP 中点中点)所以所以 S S ADP=SADP=S AOP-SAOP-S AOD=Y/2AOD=Y/2则则 S S PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5当当 S S PDE=1PDE=1时时 Y=5Y=5对应对应 X=-1X=-1或或2 2则则 P P 点坐标为点坐标为(-1,5)(-1,5)或或(2,5)(2,5)2.2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽一个横截面为抛物
5、线的隧道底部宽1212米，高米，高6 6米，如图米，如图5 5车辆双向通行。规定车辆必须在中心车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘线右侧，距道路边缘2 2米这一范围内行驶，并保米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于持车辆顶部与隧道有不少于 米的空隙，你能否米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制？解：先建立直角坐标系解：先建立直角坐标系的形状可近似地看为抛物线。的形状可近似地看为抛物线。如图所示，如图所示，正在甩正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4 4米，距米，距地面均为地面均为
6、1 1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲米，学生丙、丁分别站在距拿绳的甲的手水平距离的手水平距离1 1米、米、2.52.5米处，绳子甩到最高处时米处，绳子甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.51.5米，米，则学生丁的身高为则学生丁的身高为（如图建立的平面坐标系）（如图建立的平面坐标系）()()（A A）1.61.6米（米（B B）1.6251.625米米（C C）1.631.63米（米（D D）1.641.64米米【解】【解】设所求函数的解析式为设所求函数的解析式为 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c，由已知条件知，函数的图像过由已
7、知条件知，函数的图像过(-1(-1，1)1)、(0(0，1.5)1.5)、(3(3，1)1)三点，将三点坐标代入，易求得其解析式三点，将三点坐标代入，易求得其解析式为因为丁头顶的横坐标为为因为丁头顶的横坐标为 1.51.5，代入其解析式可，代入其解析式可求得其纵坐标为求得其纵坐标为1.6251.625。故丁的身高为。故丁的身高为1.6251.625米，米，答案为答案为 B B。【例【例2 2】（东阳卷）如图，足球场上守门员在（东阳卷）如图，足球场上守门员在O O 处开出一高球，处开出一高球，球从离地面球从离地面1 1米的米的 A A 处飞出处飞出（A A在在 y y 轴上）轴上），运动员乙在距
8、，运动员乙在距 O O 点点6 6米的米的 B B 处发现处发现球在自己头的正上方达到最高点球在自己头的正上方达到最高点 MM，距地面约，距地面约4 4米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球米高，球落地后又一次弹起。据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。求足球开始飞出到第一次落地时，求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物该抛物线的表达式。线的表达式。足球第一次落地点足球第一次落地点 C C 距守门员多少米？距守门员多少米？（取）（取）运动员乙要抢到第二个落
9、点运动员乙要抢到第二个落点 D D，他应再向他应再向前跑多少米？（取）前跑多少米？（取）【解】【解】再向前跑再向前跑1010米。米。【例【例3 3】（兰州卷）如图，某公路隧道横截面（兰州卷）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为为抛物线，其最大高度为6 6米，底部宽度米，底部宽度 OMOM 为为1212米。现以米。现以 O O 点为原点，点为原点，OMOM 所在直线为所在直线为 x x 轴轴建立直角坐标系。建立直角坐标系。直接写出点直接写出点 MM 及抛物线顶点及抛物线顶点 P P 的坐标；的坐标；求这条抛物线的解析式；求这条抛物线的解析式；若要搭建一个矩形若要搭建一个矩形“支撑架支撑架
10、”AD”AD-DC-CB-DC-CB使使 C,DC,D 点在抛物线上，点在抛物线上，A,BA,B 点在地面点在地面 OMOM 上，上，则这则这“支撑架支撑架”总长的最大值是多少？总长的最大值是多少？【解】【解】M(12M(12，0)0)，P(6P(6，6)6)。设抛物线解析式为：设抛物线解析式为：y=a(x-6)2+6y=a(x-6)2+6 抛物抛物线线 y=a(x-6)2+6y=a(x-6)2+6经过点经过点(0(0，0)0)，0=a(0-6)2+60=a(0-6)2+6，即，即抛物线解析式为：抛物线解析式为：设设 A(m,0)A(m,0)，则，则 B(12-m,0)B(12-m,0)，“支
11、撑架支撑架”总长总长 AD+DC+CB=AD+DC+CB=此二次函此二次函数的图像开口向下数的图像开口向下当当 m=3m=3米时，有最大值为米时，有最大值为1515米。米。【例【例4 4】（重庆卷）今年我国多个省市遭受严（重庆卷）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，重干旱，受旱灾的影响，4 4月份，我市某蔬菜价月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变其前四周每周的平均销售价格变化如下表：化如下表：进入进入5 5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格的平均销售价格 y y（元（元/千克）从千克）从5 5月第月第1
12、1周的周的2.82.8元元/千克下降至第千克下降至第2 2周的周的2.42.4元元/千克，千克，且且 y y 与周数与周数 x x的变化情况满足二次函数。的变化情况满足二次函数。请观察题中的表格，用所学过的一次函请观察题中的表格，用所学过的一次函数、数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4 4月份月份 y y 与与 x x 的函数关系式，并求出的函数关系式，并求出5 5月份月份 y y 与与 x x的函数关系式；的函数关系式；若若4 4月份此种蔬菜的进价月份此种蔬菜的进价 mm（元（元/千克）与千克）与周数周数 x x 所满足的函数关系为所满足的函数关
13、系为5 5月份此种蔬菜的进月份此种蔬菜的进价价 mm（元（元/千克）与周数千克）与周数 x x 所满足的函数关系为所满足的函数关系为试问试问4 4月份与月份与5 5月份分别在哪一周销售此种蔬菜月份分别在哪一周销售此种蔬菜10001000克的利润最大？且最大利润分别是多少？克的利润最大？且最大利润分别是多少？若若5 5月份的第月份的第2 2周共销售周共销售100100吨此种蔬菜。吨此种蔬菜。从从5 5月份的第月份的第3 3周起，周起，由于受暴雨的影响，由于受暴雨的影响，此种蔬此种蔬菜的可供销量将在第菜的可供销量将在第2 2周销量的基础上每周减少周销量的基础上每周减少a a，政府为稳定蔬菜价格，政
14、府为稳定蔬菜价格，从外地调运从外地调运2 2吨此种吨此种蔬菜，蔬菜，刚好满足本地市民的需要，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜且使此种蔬菜的销售价格比第的销售价格比第2 2周仅上涨周仅上涨0.8a0.8a，若在这一举，若在这一举措下，措下，此种蔬菜在第此种蔬菜在第3 3周的总销售额与第周的总销售额与第2 2周刚好周刚好持平，持平，请你参考以下数据，请你参考以下数据，通过计算估算出通过计算估算出 a a 的的整数值。整数值。（参考数据：（参考数据：37237213691369，38238214441444，39239215211521，40240216001600，41241216811681
15、）【解】【解】4 4月份月份 y y 与与 x x 满足的函数关系式为满足的函数关系式为y=0.2x+1.8y=0.2x+1.8，把把 x=1,y=2.8x=1,y=2.8和和 x=2,y=2.4x=2,y=2.4分别代入：分别代入：解得解得 b=-0.25,c=3.1b=-0.25,c=3.1，所以，所以5 5月份月份 y y 功能功能 x x 满足的满足的函数关系式为函数关系式为 y=-0.05x2-0.25x+3.1y=-0.05x2-0.25x+3.1。设设4 4月份第月份第 x x 周销售此种蔬菜周销售此种蔬菜 10001000克为克为W1W1元，元，5 5月份第月份第 x x 周销
16、售此种蔬菜周销售此种蔬菜10001000克的利润克的利润为为 W2W2元，元，W1W1(0.2x+1.8)-=-0.05x+0.6(0.2x+1.8)-=-0.05x+0.6，-0.050-0.05250 x250时，购买一个需时，购买一个需35003500元，故元，故 y1y13500 x3500 x；所所以以，y2=5000y2=500080%x=4000 x80%x=4000 x。当当0 x1000 x100时，时，y1=5000 x500000y1=5000 x50000014000001400000；当当100 x250100 x250时时，y1=6000 x-10 x2=-10(x-300)2+9000001400000y1=6000 x-10 x2=-10(x-300)2+9000001400000；所以，由所以，由3500 x=14000003500 x=1400000，得，得 x=400 x=400；由由4000 x=14000004000 x=1400000，得，得 x=350 x=350。故选择甲商家，最多能购买故选择甲商家，最多能购买400400个路灯。个路灯。