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1、第八篇第八篇 二次函数的图像及性质二次函数的图像及性质【考纲传真】【考纲传真】1.理解二次函数的有关概念 2会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质 3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移 4熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题 5会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解【复习建议】【复习建议】二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决
2、实际问题能力的考查【考点梳理】【考点梳理】考点一考点一二次函数的概念二次函数的概念一般地，如果 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)，那么 y 叫做 x 的二次函数注意：(1)二次项系数 a0；(2)ax2bxc 必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量 x 的取值范围是全体实数考点二二次函数的图象及性质考点三二次函数图象的特征与 a，b，c 及 b24ac 的符号之间的关系考点四考点四二次函数图象的平移二次函数图象的平移抛物线 yax2与 ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k 中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的
3、不同 它们之间的平移关系如下表：考点五考点五二次函数的应用二次函数的应用设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出 a，b，c 的值考点六考点六二次函数与方程不等式之间的关系二次函数与方程不等式之间的关系 1二次函数 yax2bxc(a0)，当 y0 时，就变成了 ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是抛物线与 x 轴交点的横坐标3当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点【典例探究】【典例探究】
4、考点一考点一二次函数的概念二次函数的概念【例 1】下列 各式 中，y 是 x 的二次 函数 的是（）1Axy+x2=2Bx2-2y+2=0 Cy=2 Dy2-x=0 x【变式 1】若 y=（m+1）xm26m5是二次 函数，则 m 的值 为考点二考点二根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题列二次函数关系式【例 2】图（1）是一 个横 断面 为抛 物线 形状的 拱桥，当 水面 在 l 时，拱顶（拱 桥洞 的最 高点）离水 面 2m，水面 宽 4m如图（2）建 立平 面直 角坐标 系，则抛 物线 的关系 式是（）Ay 2x2By 2x21212Cy xDy x22【变式 2】如图，正 方形 AB
5、CD 的边 长为 1，E、F 分别是 边 BC 和 CD 上的动点（不与 正方 形的 顶点 重合），不管 E、F 怎样 动，始终 保持 AEEF设BE=x，DF=y，则 y 是 x 的函 数，函数 关系式 是（）Ay x1By x1Cy x2 x1Dy x2 x1考点三考点三二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点【例3】已知 抛物线 y=ax2+bx 和直 线 y=ax+b 在同 一坐 标系 内的 图象 如图，其中 正确 的是（）A B C D【变式 3】抛物 线 y=-x2+bx+c 的部分 图象 如图 所示，若 y0，则 x 的取值范 围是考点四考点四二次
6、函数图象的平移二次函数图象的平移【例 4】二次函数 y2x24x1 的图象怎样平移得到 y2x2的图象()A向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 C向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位13【变式 4】已知 二次 函数 y=-y x2 x22（1）在给 定的 直角 坐标 系中，画 出这个 函数 的图 象；（2）根据 图象，写 出当 y0 时，x 的取 值范 围；（3）若将 此图 象沿 x 轴向右 平移 3 个单 位，请写 出平 移后图 象所对应 的函 数关 系式 考点五考点五二次函数的
7、应用二次函数的应用【例 5】九（1）班 数学兴 趣小 组经 过市 场调查，整 理出 某种 商品在 第 x（1 x90）天的 售价与 销量 的相 关信 息如下 表：时间 x（天）售价（元/件）每天 销量（件）1x 50 x+40200-2x50 x9090已知 该商 品的 进价 为每件 30 元，设 销售 该商 品的 每天 利润 为 y 元（1）求出 y 与 x 的函 数关 系式；（2）问销 售该 商品 第几 天时，当 天销售 利润 最大，最 大利润 是多少（3）该商 品在 销售 过程 中，共有 多少天 每天 销售 利润 不低于 4800元请 直接 写出 结果【变式 5】如图，已 知抛 物线 y
8、=x2-x-6，与 x 轴交 于点 A 和 B，点 A 在点B 的左 边，与 y 轴的 交点 为 C（1）用配 方法 求该 抛物 线的 顶点 坐标；（2）求 sinOCB 的值；（3）若点 P（m，m）在 该抛 物线 上，求 m 的值 考点六考点六二次函数与方程及不等式之间的关系二次函数与方程及不等式之间的关系【例 6】如图，二 次函数 的图 象与 x 轴交于 A（-3，0）和 B（1，0）两点，交 y 轴于 点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次 函数 的图 象过 点 B、D（1）请直 接写 出 D 点的 坐标（2）求二 次函 数的 解析 式（3）根据 图象 直接
9、写出 使一 次函 数值大 于二 次函 数值 的 x 的取 值范围【变式 6】如图，直 线 y=x+m 和抛 物线 y=x2+bx+c 都经 过点 A（1，0），B（3，2）（1）求 m 的值 和抛 物线 的解 析式；（2）求不 等式 x2+bx+c x+m 的解集 （直接 写出 答案）【课堂小结】【课堂小结】1将抛物线解析式写成 ya(xh)2k 的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线b4acb2bx h，也可应用对称轴公式x ，顶点坐标（,）来求顶点坐2a4a2a标及对称轴 2比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离
10、及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断 3根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意开口方向与 a 的关系，抛物线与 y 轴的交点与 c 的关系，对称轴与 a，b 的关系，抛物线与 x 轴交点数目与b2-4ac 的符号的关系；当 x=1 时，决定 a+b+c 的符号，当 x=-1 时，决定 a-b+c的符号 在此基础上，还可推出其他代数式的符号 运用数形结合的思想更直观、更简捷 4二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上
11、加下减”的规律进行操作 5运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：(1)列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围(2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值【课堂练习】【课堂练习】1、下列函数中，哪些是二次函数（1）y x2 0（3）y x2（2）y (x 2)(x 2)(x 1)2（4）y x2 2x 31x2、二次函数的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当 k 为何值时，函数y (k 1)x3、函数，当为时，函数的最大值是；14、二次函数y x2 2x，当x时
12、，y 0;且y随x的增大而减2小；5、如图，抛物线的顶点 P 的坐标是(1，3)，Y则此抛物线对应的二次函数有（）(A)最大值 1 (B)最小值3O(C)最大值3 (D)最小值 1 X P6、已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象如图 3 所示，给出以下结论：a+b+c0；a-b+c0；b+2a0；abc0.其中所有正确结论的序号是（）A C B D2k2k1为二次函数画出其函数的图象7一次函数y kx b的图象过点（m，1）和点（1，m），其中m 1，则二次函数y a(x b)2 k的顶点在第象限；8、对于二次函数为 y=x2x2，当自变量 x0 时，函数图像在（）(A)第一、二象限
13、(B)第二、三象限 (C)第三、四象限 (D)第一、四象限9、已知点 A（1,y1）、B（）、C（）在函数上，则y1、y2、y3的大小关系是Ay1y2y3By1y3y2Cy3y1y2Dy2y1y310、直线y ax b(ab 0)不经过第三象限，那么y ax2bx的图象大致为（）y y y yOOO x x x O xABCD11、若二次函数的最大值为，则常数；12、若二次函数y ax2bx c的图象如图所示，则直线y abx c不经过象限；13、（1）二次函数y x2 2x的对称轴是（2）二次函数y 2x2 2x 1的图象的顶点是，当x时，y随 x 的增大而减小（3）抛物线y ax2 4x
14、6的顶点横坐标是-2，则a=114、抛物线y ax2 2x c的顶点是(,1)，则a、c 的值是多少315.抛物线的对称轴是x 2，且过（4，4）、（1，2），求此抛物线的解析式；【课后作业】【课后作业】一、选择题1二 次函 数 y=x2+2x-7 的函数 值是 8，那么对 应的 x 的值是（）A3 B 5 C-3 和 5 D3 和-52二 次函 数 y=ax2+bx+c（a0）的 大致 图象 如图，关 于该 二次函 数，下列 说法 错误 的是（）A函 数有 最小 值1B对 称轴 是直 线x 21C当x，y 随 x 的增 大而 减小2D当-1x2 时，y03已 知二 次函 数 y=-x2+2b
15、x+c，当 x1 时，y 的值 随 x 值的 增大 而减小，则实 数 b 的取 值范围 是（）Ab-1 Bb-1 C b1Db14如图，平面直 角坐标 系中，点 M 是直线 y=2 与 x 轴之间 的一个 动点，11且点 M 是抛物 线y x2bxc的顶 点，则方 程x2bxc 1的解的 个数22是（）A0 或 2 B0 或 1C1 或 2 D0，1 或 285如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象过点 B（0，-2）它与反比例函数y=-的x图象交于点 A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）Ay=x2-x-2 Cy=x2+x-2 By=x2-x+2 Dy=x2+x+26已知抛物线 y=x
16、2-x-1 与 x 轴的一个交点为（m，0），则代数式 m2-m+2014 的值为（）A2012 B2013 C2014 D20157二次函数 y=x2+bx 的图象如图，对称轴为直线 x=1，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx-t=0（t 为实数）在-1x4 的范围内有解，则t 的取值范围是（）At-1 B-1 t3C-1 t8 D3t88在矩 形 ABCD 的各边 AB，BC，CD 和 DA 上分别 选取 点 E，F，G，H，使得 AE=AH=CF=CG，如果 AB=60，BC=40，四边形 EFGH 的最 大面 积是（）A1350 B 1300C1250 D 1200二、填空题1 抛
17、物 线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-3，0），对称 轴是 直线 x=-1，则a+b+c=2对于 二次 函数 y=ax2-（2a-1）x+a-1（a0），有下 列结 论：其 图象 与 x 轴一定 相交；若 a0，函 数在 x1 时，y 随 x 的增 大而 减小；无 论 a 取何 值，抛 物线 的顶 点始 终在同 一条 直线 上；无 论 a 取何 值，函 数图 象都 经过 同一个 点其中 所有 正确 的结 论是（填 写正 确结 论的 序号）13如图，在 平面 直角坐 标系 中，抛物 线y x2经过 平移 得到 抛物 线21y x22x，其 对称 轴与 两段 抛物线 所围 成的 阴影 部分的
18、 面积2为4如图示：己知 抛物线 C1，C2关于 x 轴对称，抛物线 C1，C3关于 y 轴对3称如果抛 物线 C2的解析 式是y (x2)21，那么抛物 线 C3的解析 式4是三、解答题21在平 面直 角坐标系 xOy 中，抛 物线 y=2x+mx+n 经过 点 A（0，-2），B（3，4）（1）求抛 物线 的表 达式 及对 称轴，并画 出图 像；（2）设点 B 关于 原点 的对 称点 为 C，点 D 是抛 物线 对称 轴上一 动点，记抛 物线 在 A，B 之间的 部分 为图 象 G（包含 A，B 两点）若直线 CD与图象 G 有公共 点，结合函 数图 象，求点 D 纵坐 标 t 的取 值范
19、 围2如图，已知 抛物 线 y=x2-x-6，与 x 轴交于 点 A 和 B，点 A 在点 B 的左边，与 y 轴的 交点 为 C（1）用配 方法 求该 抛物 线的 顶点 坐标；（2）求 sinOCB 的值；（3）若点 P（m，m）在该 抛物 线上，求 m 的值3如图，二 次函 数的图 象与 x 轴交于 A（-3，0）和 B（1，0）两 点，交 y 轴于 点 C（0，3），点 C、D 是二次 函数图 象上 的一 对对 称点，一次函数 的图 象过 点 B、D（1）请直 接写 出 D 点的 坐标（2）求二 次函 数的 解析 式（3）根据 图象 直接 写出 使一 次函 数值大 于二 次函 数值 的 x 的取 值范围 4某机 械公 司经 销一种 零件，已知这 种零件 的成 本为 每件 20 元，调查发现 当销 售价 为 24 元时，平 均每天能 售出 32 件，而当 销售 价每 上涨 2元，平均 每天 就少 售出 4 件（1）若公 司每 天的 现售 价为 x 元时则每 天销 售量 为多 少（2）如果 物价 部门 规定 这种 零件 的销售 价不 得高 于每 件 28 元，该公司 想要 每天 获得 150 元的销 售利 润，销售 价应 当为 多少 元