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1、名姓号线学封密级班-数学分析下册期末考试卷一、填空题(第 1 题每空 2 分，第 2,3,4,5 题每题 5 分,共 26 分)1、已知u exy，则uux,y,du。、设L:x2 y2 4,则xdy ydx。L、设L:x2 y2 9，则曲线积分（x2+y2）ds=。L4、改变累次积分bdybay（f x，y）dx的次序为。、设D：x2 y2 ax,则dxdy=。D得分阅卷人二、判断题(正确的打“O”;错误的打“”；每题分，共15 分)、若函数（f x，y）在区域 D 上连续，则函数（f x，y）在 D 上的二重积分必存在。(）2、若函数（f x，y）在点p（x0，y0）可微,则函数（f x，
2、y）在点p（x0，y0）连续。(）、若函数（f x，y）在点p（x0，y0）存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0),则必有fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)。-()4、第 二 型 曲 线 积 分 与 所 沿 的 曲 线L(,B）的 方 向 有 关。()5、若函数（在点(x0,y0)连续,则函数（在点(x0,y0)必存在一阶f x，y）f x，y）偏()导数。得分阅卷人三、计算题（每小题 9 分，共 45 分)1、用格林公式计算曲线积分I(x2y)dx xy2dy，L其中L是圆周x2 y2 a2-2、计算三重积分其中V:x2 y2 z2 a2。3、计算第一型曲面积分I z
3、dS，S222(x y z)dxdydz,V其中 S 是上半球面x2 y2 z2 R2（z 0）。-4、计算第二型曲面积分I xdydz ydzdx zdxdy,S其中 S 是长方体V 0,10,20,3的外表面。、计算四个平面x y z 1,x 0,y 0,z 0所围成的四面体的体积。-得分阅卷人四、证明题(每小题 7 分，共 14 分)1、验证曲线积分(exy xyexy)dx x2yexydy，L与路线无关,并求被积表达式的一个原函数u(x,y)。f x，y）2、证明：若函数（在有界闭区域上连续，则存在(,)D,-使得f(x,y)d f(,)SDD,这里SD是区域 D 的面积。参考答案及
4、评分标准一、填空题（第 1 题每空 2 分，第 2,3,4，5 题每题分，共 2分）1、yexy;xexy；yexydx xexydy。、8;、54；4、dxf(x,y)dy；5、aabX4a2。二、判断题(正确的打“”;错误的打“”；每题分,共 15 分)、;、;3、;4、;5、.三、计算题（每小题分,共 45 分）1、解:由格林公式，有I D:x2y2a2(y2 x2)dxdy5 分D:0ra,02r3drd2a49 分2、解：作球面坐标变换：x rcossin,y rsinsin,z rcos，则J(r,)r2sin且V V:0 r a,0,0 24 分-(x2 y2 z2)dxdydz
5、Vr2r2drdd6分V2a4dsindrdr 8分00r24a59分53、解:S：Z R2 x2 y2，（x，y）D：x2+y2 R2dS 1 zx2 zy2dxdyRR x y222dxdy分RR2 x2 y2I zdS SDR2 x2 y2dxdy8 分 =dxdy R3分D4、解：用高斯公式,得I 3dxdydzV126 分33dxdydz分000 =19 分解 5、设D:0 y 1 x,0 x 1，则所围成的四面体的体积V(1 x y)dxdy4 分Ddx011x0(1 x y)dy分-1=9 分6四、证明题（每小题分,共 14 分)1、证明:P exy xyexy，Q x2exy,PQ（x，y）R2.2xexy+x2yexy，,yx曲线积分与路线无关。分取x0 y0 0,则xy（u x，y，z）P（x，0）dxQ（x，y）dy00 xydxx2exydy分00 xexy分2、证明：由 最值定理，函数（在有界闭区域D上存在最大值M和最小f x，y）值m，且（x，y）D，有m （f x，y）M,上式各端在D上积分,得mSD（f x，y）d MSD，D或m 其中SD为D的面积。f x，y）d（DSD M，-根据介质性定理,存在（，）D,使得（f，）f x，y）d（DSD，即f（x，y）d（f，）SD.D-