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1、数学分析 2 期末试题库数学分析II 考试试题（1）一、叙述题：（每小题 6 分，共 18 分）1、牛顿-莱不尼兹公式2、1nna收敛的 cauchy 收敛原理3、全微分二、计算题：（每小题 8 分，共 32 分）1、40202sinlimxdttxx2、求由曲线2xy和2yx围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求1)1(nnnnx的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zyxu，求yxu2三、（每小题10 分，共 30 分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分01dxexxp的敛散性3、讨论函数列),(1)(22xnxxSn的一致收敛性四、证明题
2、（每小题10 分，共 20 分）1、设)2,1(11,01nnxxxnnn，证明1nnx发散2、证明函数000),(222222yxyxyxxyyxf在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，数学分析II 考试题（2）一、叙述题：(每小题 5 分，共 10 分）1、叙述反常积分adxxfba,)(为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、二元函数),(yxf在区域D上的一致连续二、计算题：（每小题 8 分，共 40 分）1、)212111(limnnnn2、求摆线2,0)cos1()sin(ttayttax与x轴围成的面积3、求dxxxcpv211)(4、求幂级数12)1(nnnx的收敛半径
3、和收敛域5、),(yxxyfu，求yxu2三、讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）1、yxyxyxf2),(，求),(l i ml i m),(limlim0000yxfyxfxyyx；),(lim)0,0(),(yxfyx是否存在？为什么？2、讨论反常积分0arctandxxxp的敛散性。3、讨论133)1(2(nnnnn的敛散性。四、证明题：（每小题 10 分，共 20 分）1、设f（x）在 a,b 连续，0)(xf但不恒为0，证明0)(badxxf2、设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu数学分析II 考试题（3）五、叙述题：（每小题 5 分，共 1
4、5 分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性六、计算题：（每小题 7 分，共 35 分）1、edxx1)sin(ln2、求三叶玫瑰线,03sinar围成的面积3、求52cos12nnnxn的上下极限4、求幂级数12)1(nnnx的和5、),(yxfu为可微函数，求22)()(yuxu在极坐标下的表达式七、讨论与验证题：（每小题10 分，共 30 分）1、已知0000,01cos1sin)(),(22yxyxyxyxyxf或，求),(lim)0,0(),(yxfyx，问),(limlim),(limlim0000yxfyxfxyyx是否存在？为什么？2、讨论反常积分01dxxxqp的敛
5、散性。3、讨论 1,01)(xxnnxxfn的一致收敛性。八、证明题：（每小题 10 分，共 20 分）1、设f（x）在 a,+）上单调增加的连续函数，0)0(f，记它的反函数f-1（y），证明)0,0()()(010baabdyyfdxxfba2、设正项级数1nnx收敛，证明级数12nnx也收敛数学分析（二）测试题（4）一 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题 3 分，共 15 分）：1闭区间ba,的全体聚点的集合是ba,本身。2函数1ln2xx是112x在区间,1内的原函数。3若xf在ba,上有界，则xf在ba,上必可积。4若xf为连续的偶函数，则dttfxFx0亦为偶函数。5正项级
6、数1!110nnn是收敛的。二填空题（每小题3 分，共 15 分）：1数列131nnn的上极限为，下极限为。22222222211limnnnnnn。3xtdtedxdtan0。4幂级数13nnnnx的收敛半径R。5 将 函 数xxxf展 开 成 傅 里 叶 级 数，则0a，na，nb。三计算题（每小题7 分，共 28 分）：1xxeedx；2edxxx0ln；3dxxx041；4211xxdx四解答题（每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线xy22与直线4xy所围图形的面积。2判断级数11tan1nnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数11212nnnx的收敛域，并
7、求其和函数。五证明题（12 分）：证明：函数14sinnnnxxf在,上有连续的二阶导函数，并求xf。数学分析（二）测试题（5）二 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题 3 分，共 15 分）：1设a为点集E的聚点，则Ea。2函数1ln2xx是112x在,内的原函数。3有界是函数可积的必要条件。4若xf为连续的奇函数，则dttfxFx0亦为奇函数。5正项级数122nnn是收敛的。二填空题（每小题3 分，共 15 分）：1数列n12的上极限为，下极限为。22222221limnnnnnnnn。3xtdtedxdsin0。4幂级数1214nnnxn的收敛半径R。5 将 函 数xxxf展 开
8、成 傅 里 叶 级 数，则0a，na，nb。三计算题（每小题7 分，共 28 分）：1dxxx239；210dxex；3222xxdx；41021xxdx四解答题（每小题10 分，共 30 分）：1求由两抛物线2xy与22xy所围图形的面积。2判断级数11ln1nnnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数11nnxn的收敛域，并求其和函数。五证明题（12 分）：证明：函数22121nxnenxf在,0上连续。数学分析（二）测试题（6）一判断（2*7=14 分）（）1.设baxfx,)(0在为上的极值点，则0)(0 xf（）2.若在ba,内)()(,),()(),()(xgxf
9、baxbgbfxgxf有则对（）3.若AxAx的聚点，则必有为点集（）4.若CxFdxxFxF)()()(则连续，（）5.若)()(,(22xfdttfbaxbaxfxa则上连续，）在（）6.若必发散）（则，发散收敛，nnnnbaba（）7.若必收敛收敛，则32nnaa二填空（3*7=21 分）1.已知_)(,2)(lnxfxxf则2_)1ln(sin2dxxx3.202_)1(,)0()0(dxxfxxexxfx则）（设4.求xxdttx0230sin1lim_ 5.求(_)123的拐点坐标xxy6用定积分求_12111limnnnnn7.幂级数nnxn21的收敛半径 R 三.计算（4*7=
10、28 分）(要有必要的计算过程)1.dxxex 2.dxxx1123.dxx10arcsin4求曲线所围成的图形的面积与xyxy22四判别级数的敛散性（2*9=18 分）(要有必要的过程)1.1!2nnnnn2.判别122)1(nnxnn在）（,上是否一致收敛，为什么五证明：(9+10=19 分)1设级数2na与2nb都收敛，证明：nnba绝对收敛2设baxf,)(在上二阶可导，0)()(bfaf，证明：存在一点),(ba，使得)()()(4)(2afbfabf数学分析（二）测试题（7）一判断（2*7=14 分）（）1.设0)(0 xf，则)(0 xfx 必为的极值点（）2.若在ba,内)()
11、(,),()(),()(xgxfbaxbgbfxgxf有则对（）3.若AxAx可能不属于的聚点，则为点集（）4.若CxFdxxFxF)()()(则连续，（）5.若)()(,(xfdttfabxbaxfbx则上连续，）在（）6.若收敛则级数，nnnnuluu1lim1（）7.至少存在一个收敛点幂级数nnxa二填空（3*7=21 分）1.已知_)(,2)1(2xfxxf则2_1cos,1cos104114dxxxAdxxx则已知3.202_)1(,)0()0(1dxxfxxxxxf则）（设4.求xxdtttx00cos11lim_ 5.求_(_)12131)(23fxxxf的极大值为6用定积分求_
12、211limnnnnnn7.幂级数nnxn2的收敛半径 R 三.计算（4*7=28 分）(要有必要的计算过程)1.xdxxln 2.dxxx112 3.dxxx10arctan4求曲线的弧长到从103xxxy四判别级数的敛散性（2*9=18 分）(要有必要的过程)1.12121nnnnn2.判别122)1(nnxnn在）（,上是否一致收敛，为什么五证明：(9+10=19 分)1设级数2na与2nb都收敛，证明：2)(nnba收敛2baxxfdxxfxfbaxfba,0)(,0)(,0)(,)(，证明：上连续，在若数学分析（二）测试题（8）三 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题 3 分，
13、共 15 分）：1开区间,a b的全体聚点的集合是,a b本身。2函数1ln2xx是112x在区间,1内的原函数。3若xf在ba,上有界，则xf在ba,上必可积。4若xf为ba,上的连续函数，则dxaFxftt在ba,上可导。5正项级数11nn是收敛的。二填空题（每小题4 分，共 16 分）：12222222211limnnnnnn。20dddxtetx。3幂级数13nnnnx的收敛半径R。4 将 函 数xxxf展 开 成 傅 里 叶 级 数，则0a，na，nb。三计算题（每小题10 分，共 30 分）：12d1xx；21lndexx；3dxxx041；四解答题（每小题10 分，共 30 分）
14、：1求由抛物线xy22与直线4xy所围图形的面积。2判断级数2111nnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？3确定幂级数11nnxn的收敛域，并求其和函数。五证明题（9 分）：证明：函数22121nxnenxf在,0上连续。参考答案（1）一、1、设)(xf在,ba连续，)(xF是)(xf在,ba上 的一个原函数，则成 立)()()(aFbFdxxfba2、,0.0N使得Nnm，成立mnnaaa213、设2RD为 开 集，Dyxyxfz),(),(是 定 义 在D上 的 二 元 函 数，),(000yxP为D中的一定点，若存在只与点有关而与yx,无关的常数A 和 B，使得)(22yxoy
15、BxAz则称函数f在点),(000yxP处是可微的，并称yBxA为在点),(000yxP处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin2limsinlim54060202xxxxdttxxx（8 分）2、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2 分）所求的面积为：31)(102dxxx（3 分）所求的体积为：103)(105dxxx（3 分）3、解：设1)1()(nnnnxxf，1)1(1)2)(1(1limnnnnn，收敛半径为1，收敛域-1，1（2 分）),10(),1ln(11)1()(121xxxxnxxfnn)10(),1ln(11)()(0 xxxxdttfxfx(3 分）x=0
16、 级数为 0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3 分）4、解：yu=zxxzyln（3 分）yxu2zxxxxzyzy1ln1(5 分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,DAlembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4 分）11)111(lim!)1()!1(limennnnnnnnnn（4 分）由 DAlembert判别法知级数收敛（1 分）2、解：1110101dxexdxexdxexxpxpxp（2 分），对101dxexxp，由于)0(111xexxxpp故p0 时101dxexxp收敛（4 分）；11dxexxp，由于)(012xexxxp（4 分）故
17、对一切的p11dxexxp收敛，综上所述p0，积分收敛3、解：221)(nxxSn收敛于x（4 分）0)(suplim),(xxSnxn所以函数列一致收敛性（6 分）四、证明题（每小题10 分，共 20 分）1、证明：11123221213423nnnxxxxxxxxnnn)2(,112nxnxn（6 分）211nn发散，由比较判别法知级数发散（4 分）2、证明：|022xyyxxy（4 分）22)0,0(),(limyxxyyx=0 所以函数在（0，0）点 连 续，（3 分）又00l i m0 xx，)0,0(),0,0(yxff存 在 切 等 于0，（4分）但22)0,0(),(l i m
18、yxyxyx不存在，故函数在（0，0）点不可微（3 分）参考答案（2）1、,0.0使得210，成立21)(aadxxf2、设2RD为 点集，mRDf:为映 射，,0.0使得Dxxxx2,121,，成立)()(21xfxf二、1、由于x11在0，1 可积，由定积分的定义知（2 分）)212111(limnnnn=2ln11)11211111(1lim10dxxnnnnnn（6分）4、所求的面积为：22023)cos1(adxxa（8 分）5、解：AAAdxxxdxxxcpv2211lim11)(3分）4、解：11lim2nnx，r=1（4 分）由于x=0，x=2时，级数均收敛，所以收敛域为0，2
19、（4 分）5、解：yu=221yxfxf（3 分）322112212yxfxyfyffyxu（5 分）三、1、解、0limlimlim,1limlimlim202000200yyyxyxxxyxyxyxyxyx（5 分）由于沿kxy趋于（0，0）极限为k11所以重极限不存在（5 分）2、解：1100arctanarctanarctandxxxdxxxdxxxppp（2 分），对10arctandxxxp，由于)0(1arctan1xxxxpp故p11arctandxxxp收敛，综上所述1p2，积分收敛3、解：13123)1(2lim3nnnnn所以级数收敛（10 分）四、证明题（每小题10 分
20、，共 20 分）1、证明：由0)(xf但不恒为0，至少有一点,0baxf（x）在 a,b 连续（2 分），存在包含x0的区间,badc，有0)(xf（4 分），0)()(dcbadxxfdxxf（4 分）2、证明：以二元函数为例ugradvvgraduvvuuuvuvuvvuvuuvvuuvvuuvgradyxyxyxyxyyxx),(),(),(),(),()(（10 分）参考答案（3）一、1、设有定数I，,0.0使得对任意的分法bxxxan10和任意的点,1iiixx，只要)(max1inix，成立niiiIxf1)(2、S的任意两点x，y之间，都存在S中的一条道路r，则称S为连通集3、,
21、0)(.0N使得Nnm，成立mnnaaa21二、1、eeeedxxeedxxxxdxx1111)sin(ln11cos1sin)cos(ln|lnsin)sin(ln（5 分）)11cos1sin(21)sin(ln1eedxxe（2 分）6、由对称性知，所求的面积为：43sin2622022ada（7 分）7、解：上极限为0.5，下极限为54cos21(7分）4、解：2121limnnn，r=2（3 分）收敛域为（-3，1），级数的和为x11（4 分），5、解：设极坐标方程为sin,cosryrxxu=sincosyxuuyxururucossin（5 分）22)()(yuxu=222)(1
22、)(urru（2 分）三、1、解、由于yx1cos1sin有界，22yx为无穷小，),(lim)0,0(),(yxfyx0（5 分）)1cos1sinlim1cos1sinlim(lim1cos1sin)(limlim202002200yxyyxxyxyxyyxyx，而yxxy1cos1sinlim20极限不存在，yxyy1cos1sinlim20极限存在，故整体极限不存在，同理),(limlim00yxfxy不存在（5 分）2、解：1100111dxxxdxxxdxxxqpqpqp（2 分），对101dxxxqp，由 于)0(11),m i n(xxxxqpqp故1),min(qp时101d
23、xxxqp收 敛（4 分）；11dxxxqp，由于)(11),max(xxxxqpqp（4分）故1),max(qp11dxxxqp收敛，综上所述1),min(qp，1),max(qp时，积分收敛（2 分）3、解：)()(limxfxxfnn（3 分），01suplim)()(suplim2xnnnxnxxxfxf所以函数列一致收敛（7 分）四、证明题（每小题10 分，共 20 分）1 证明：当)(afb时，)0,0()()(010baabdyyfdxxfba（4 分）当)(afb时，)0,0()()()(010baabdyyfdxxfafa（3 分）当)(afb时，)0,0()()(01)(0
24、1baabdyyfdxxfbbf（3 分）2、证明：由于收敛1nnx，故0limnnx（2 分），于是，总存在0n使得0nn时，有10nx，从而，当0nn时，有nnxx20（5 分），由于级数1nnx收敛，当然0nnnx收敛，故级数02nnnx收敛，从而12nnx也收敛（3 分）标 准 答 案（4）四 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题 3 分，共 15 分）：12345二填空题（每小题3 分，共 15 分）：131，31；22ln21；3xex2tansec；43；50a0，na0，nbnn211三计算题（每小题7 分，共 28 分）：1xxeedxxxeed21Cexarctan；
25、（4 分）（3 分）2 edxxx1lnexdx1221lndxxxxee11221ln21exe12241211412e；（4 分）（3 分）3dxxx041limbdxxxb041lim21bbxxd0421lim21bbx02arctan4；（2 分）（2 分）（2 分）（1分）4211xxdxlim1a21axxdxlim1a2212312132axx38。（2 分）（3 分）（2 分）四解答题（每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线xy22与直线4xy所围图形的面积。解：两交点为4,8,2,2，则（3 分）dyyyS422244232642yyy18（3 分）（3 分）（1 分
26、）2判断级数11tan1nnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：设nan1tan，0na，则naaannn0,1，（3分）由 Leibniz判别法知，级数11tan1nnn收敛。（3分）而由111tanlimnnn知，级数11tannn发散，故原级数条件收敛。（4分）3确定幂级数11212nnnx的收敛域，并求其和函数。解：因为21211212limxnxnxnnn，所以（2分）当1x时幂级数绝对收敛，当1x幂级数发散，故收敛半径1R。（2分）又当1x时幂级数发散，故收敛域为1,1。（2分）设11212nnnxxS，则212211xxxSnn，从而（2分）xxdxxxSx11ln2
27、11102，1,1x。（2分）五证明题（12 分）：证明：函数14sinnnnxxf在,上有连续的二阶导函数，并求xf。证明：因为,x，有441sinnnnx，3341cossinnnnxnnx，2231sincosnnnxnnx（3分）而级数2341,1,1nnn都收敛，故级数121314sin,cos,sinnnnnnxnnxnnx，都在,上一致收敛。（3分）又 级 数 的 每 一 项 都 是 连 续 的，故 由 函 数 项 级 数 的 连 续 性 和 可 微 性 知，xfxfxf,都在,上连续，且（3分）13cosnnnxxf，12s i nnnnxxf，,x。（2分）标 准 答 案（5
28、）五 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题 3 分，共 15 分）：12345二填空题（每小题3 分，共 15 分）：13，1；22ln1；3xexcossin；441；50a，na2211nn，nb0 三计算题（每小题7 分，共 28 分）：1dxxx239222921xxdx2299121xdxCxx229ln2921；（2 分）（3 分）（2 分）210dxex102dtettdteettt1010222；（tx）（3 分）（3 分）（1 分）3222xxdxlimbbxxdx222lim31bdxxxb221112ln32；（2 分）（3分）（2 分）41021xxdxlim1a
29、axxdx021lim1aax0211。（2 分）（3 分）（1 分）四解答题（每小题10 分，共 30 分）：1求由两抛物线2xy与22xy所围图形的面积。解：两交点为1,1,1,1，则（3 分）dxxxS11222113322xx38（3 分）（3 分）（1分）2判断级数11ln1nnnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：设nnan1ln，0na，则naaannn0,1，（3分）由 Leibniz 判别法知，级数11ln1nnnn收敛。（3分）而由111lnlimnnnn知，级数11lnnnn发散，故原级数条件收敛。（4分）3确定幂级数11nnxn的收敛域，并求其和函数。解：因
30、为11limnnn，所以收敛半径1R。（3分）又当1x时幂级数发散，故收敛域为1,1。（3分）设11nnnxxS，则xxxdtntdttSnnnxnx111010，（2 分）从而20111xxxdttSxSx，1,1x。（2分）五证明题（12 分）：证明：函数22121nxnenxf在,0上连续。证明：因为,0 x，有221122nennx，（4分）而 级 数21n收 敛，故 级 数22121nxnen在,0上 一 致 收 敛。（4 分）又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性知，xf在,上连续。（4 分）答案（6）1 2 3 4 5 6 7 一二Ceexx22120 32e31)27
31、25,31(2ln2 三.计算 (要有必要的计算过程)1.dxxex=Cexexx 2.dxxx112（令11xxt）)1arccos(11arctan2arctan2122CxCxxCtdtt或3.12arcsin10dxx4求曲线所围成的图形的面积与xyxy22解：29)2(122dxxx四判别级数的敛散性 1.1!2nnnnn解：收敛12!2limennnnnn2.判别122)1(nnxnn在）（,上是否一致收敛，为什么解：单调递减，对每一个即一致有界221),()(1)1(xnnxnkk，且）（一致趋向于nxnn022122)1(nnxnn在）（,上一致收敛五证明：1设级数2na与2n
32、b都收敛，证明：nnba绝对收敛证明：),(212222收敛而nnnnnnbababannba绝对收敛2设baxf,)(在上二阶可导，0)()(bfaf，证明：存在一点),(ba，使得)()()(4)(2afbfabf（提示：用泰勒公式）证明：由泰勒公式知21)(21)()()(axfaxafafxf及2)(21)()()(bxfbxbfbfxf分别令有,2bax21)2)(21)()2(abfafbaf（1）2)2)(21)()2(abfbfbaf（2）（其中bbaa21：，），（2）（1）得；0)()()(81)()(21abffafbf)()()(4)(2afbfabf(其中)(,)(m
33、ax)(1fff)答案及评分标准（7）1 2 3 4 5 6 7 一二Cxxx23312A650 0 1 3221三.计算1.xdxxlnCxxx2241ln212.dxxx112（令11xxt）)1arccos(11arctan2arctan2122CxCxxCtdtt或 3.dxxx10arctan)21(arctan210 xdxdxxxxx1022212101arctan212144求曲线的弧长到从103xxxy解：)81313(27111023dxxl四判别级数的敛散性（2*9=18 分）(要有必要的过程)1.12121nnnnn解：发散12121lim2ennnnnn2.判别122
34、)1(nnxnn在）（,上是否一致收敛，为什么解：单调递减，对每一个即一致有界221),()(1)1(xnnxnkk，且）（一致趋向于nxnn022122)1(nnxnn在）（,上一致收敛五证明：(9+10=19 分)1设级数2na与2nb都收敛，证明：2)(nnba收敛解：)()(2)(2)(222222收敛收敛，而nnnnnnnnbabababa2baxxfdxxfxfbaxfba,0)(,0)(,0)(,)(，证明：上连续，在若证明：（反证）若000,0)(,xxfbax号性，存在则由连续函数的局部保使得）时，（使得当）的某邻域（0000,xxxbaxx2)()(0 xfxf0 ,则bx
35、xxxabadxxfdxxfdxxfdxxf0000)()()()(0)(02)(00000 xfdxxfxx与0)(badxxf矛盾baxxf,0)(，标 准 答 案 及 评 分 标 准（8）六 判断题（正确的打“”，错误的打“”；每小题 3 分，共 15 分）：12345 二填空题（每小题4 分，共 16 分）：12ln21；2xe；33；40a0，na0，nbnn211三计算题（每小题10 分，共 30 分）：12d1xx111d2 11xxx11ln21xCx；（5 分）（5 分）21lndexx11ln1deexxx1ee1；(5 分)（4 分）（1 分）3dxxx041limbdx
36、xxb041lim21bbxxd0421lim21bbx02arctan4；（3 分）（3 分）（3 分）（1分）四解答题（每小题10 分，共 30 分）：1求由抛物线xy22与直线4xy所围图形的面积。解：两交点为4,8,2,2，则（3 分）dyyyS422244232642yyy18（3 分）（3 分）（1 分）2判断级数2111nnn是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？解：设21nan，0na，则naaannn0,1，（3 分）由 Leibniz 判别法知，级数2111nnn收敛。（3 分）而级数211nn收敛，故原级数绝对收敛。（4 分）3确定幂级数11nnxn的收敛域，并求其和函数。解：因为11limnnn，所以收敛半径1R。（3分）又当1x时幂级数发散，故收敛域为1,1。（3分）设11nnnxxS，则xxxdtntdttSnnnxnx111010，（2 分）从而20111xxxdttSxSx，1,1x。（2分）五证明题（9 分）：证明：函数22121nxnenxf在,0上连续。证明：因为,0 x，有221122nennx，（3分）而 级 数21n收 敛，故 级 数22121nxnen在,0上 一 致 收 敛。（3 分）又级数的每一项都是连续的，故由函数项级数的连续性知，xf在,上连续。（3 分）