高中数学知识点总结(史上最全版).pdf

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1、学习必备欢迎下载解三角形解三角形一一.三角形中的基本关系:三角形中的基本关系:(1)(1)sin(A B)sinC,cos(A B)cosC,tan(A B)tanC,A BCA BCA BC(2)(2)sin2 cos2,cos2sin2,tan2 cot2(3)ab(3)ab 则则则则 sinAsinB,sinAsinB,反之也成立反之也成立二二.正弦定理:正弦定理:abc 2RR为为C的外接圆的半径的外接圆的半径)sin sinsinC正弦定理的变形公式:正弦定理的变形公式:b 2Rsin,a 2Rsin,c 2RsinC;化角为边:化角为边:cba化边为角:化边为角:sin 2R,si

2、n 2R,sinC 2R;a:b:c sin:sin:sin C;abcabcsin sinsinCsin sinsinC两类正弦定理解三角形的问题:两类正弦定理解三角形的问题:已知两角和任意一边求其他的两边及一角已知两角和任意一边求其他的两边及一角.已知两边和其中一边的对角,求其他边角已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、无解)意解的情况(一解、两解、无解))学习必备欢迎下载三余弦定理:三余弦定理:a b c 2bccos222b a c 2accos222c a b 2abcosC注意

3、:经常与完全平方公式与均值不等式联系注意:经常与完全平方公式与均值不等式联系推论:推论:222b2c2a2cos 2bca c bcos 2ac222222a b ccosC 2ab若若a22b c222,则,则C 90;若若a b c,则,则C2 90若若a2b c,则,则C 9022学习必备欢迎下载余弦定理主要解决的问题:余弦定理主要解决的问题:(1 1).已知两边和夹角求其余的量。已知两边和夹角求其余的量。(2 2).已知三边求其余的量。已知三边求其余的量。注意:注意:解三角形与判定三角形形状时,解三角形与判定三角形形状时,实现边角实现边角转化,统一成边的形式或角的形式转化,统一成边的形

4、式或角的形式四、三角形面积公式:四、三角形面积公式:学习必备欢迎下载等差数列等差数列一定义:一定义:如果一个数列从第如果一个数列从第 2 2 项起,项起,每一项与每一项与它的前一项的差等于同一个常数,它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差为等差数列,这个常数称为等差数列的公差二符号表示二符号表示:an1an d(n=1n=1)三判断数列是不是等差数列有以下四种方法:三判断数列是不是等差数列有以下四种方法:(1)(1)an an1 d(n 2,d为常数)(可用来证明)(可用来证明)a aann1n1(n 2)(可用来证明)(可用来证明)2 2

5、(2)(2)(3)(3)an knb(n,k为常数为常数)(4)(4)sna1a2an是一个关于是一个关于 n n 的的 2 2 次式且无常数项次式且无常数项四四.等差中项等差中项a,b成等差数列,则成等差数列,则称为称为a与与b的等差中的等差中ac项若项若b 2,则称,则称b为为a与与c的等差中项的等差中项五五.通项公式通项公式:ana1n1d(是一个关于的一次式是一个关于的一次式,一次项系数是公差一次项系数是公差)通项公式的推广通项公式的推广:anamanamnmd;d nm学习必备欢迎下载六六.等差数列的前等差数列的前n项和的公式:项和的公式:na1anS n(注意利用性质特别是下标为奇

6、数注意利用性质特别是下标为奇数)2Snna1nn12d(是一个关于是一个关于 n n 的的 2 2 次式且次式且无常数项无常数项,二次项系数是公差的一半二次项系数是公差的一半)七七.等差数列性质等差数列性质:a a a amn pqmnpq;(1)(1)若若则则(2)(2)若若2n p q则则2anapaq(3)Sn,S2n Sn,S3n S2 n成等差数列(4)Sn 成等差数列,且公差为原公差的n(5)(5)若项数为若项数为2n n,则,则S2nnanan1,S奇an且且S偶S奇nd,San1偶*若项数为若项数为2n1n,则,则S2n12n1an,且,且*S奇S偶S奇n an,(其中(其中S

7、奇 nan,S偶n 1an)S偶n1学习必备欢迎下载(6 6)若)若 等差数等差数 列列 anan bnbn的前的前 n n 项项和为和为anS2n1Sn,Tn则则bnT2n1八等差数列前八等差数列前 n n 项和的最值项和的最值d2d(1)(1)利用二次函数的思想利用二次函数的思想:Sn2n(a12)n(2)(2)找到通项的正负分界线找到通项的正负分界线a1 0若若则则n有最大值,当有最大值,当 n=kn=k 时取到的时取到的d 0s ak 0最大值最大值 k k 满足满足a 0k1a1 0n有最大值,有最大值,若若当当d 0则则sn=kn=k 时取到的最大时取到的最大 ak 0值值 k k

8、 满足满足ak1 0学习必备欢迎下载等比数列等比数列一定义、如果一个数列从第一定义、如果一个数列从第2项起,每一项与项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比为等比数列,这个常数称为等比数列的公比an1二符号表示:二符号表示:a qn注:等比数列中不会出现值为注:等比数列中不会出现值为 0 0 的项;的项;奇数项同号,偶数项同号奇数项同号,偶数项同号()合比性质的运用()合比性质的运用三数列是不是等比数列有以下四种方法:三数列是不是等比数列有以下四种方法:an an1q(n 2,q为常数,且 0)(可

9、用来证明)(可用来证明)2an an1an1(n 2)(可用来证明)(可用来证明)a cqn(c,q为非零常数为非零常数).).(指数式)(指数式)从前从前 n n 项和的形式(只用来判断)项和的形式(只用来判断)四四.等比中项等比中项:在在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G,使,使a,G,b成等成等比数列,则比数列,则G称为称为a与与b的等比中项若的等比中项若G ab,2G则称则称G为为a与与b的等比中项的等比中项(注:由(注:由 ab不能不能得出得出a,G,b成等比,由成等比,由a,G,bG2n2 ab)学习必备欢迎下载五五.等比数列的通项公式:等比数列的通项公式:an通项公式的变形:

10、通项公式的变形:(1)(1)an(2)(2)a1qn1amqnm;qnmanam(注意合比性质的利用注意合比性质的利用)六前六前n项和的公式:项和的公式:na1q 1Sna11qna a q1nq 11q1qs a a n12七等比数列性质七等比数列性质:(1)(1)若若mn(2)(2)若若(3)(3)an=A+B*qA+B*qn n,则则 A+B=0A+B=0pq,则,则aman apaq;则则2n p qa apaq2nSn,S2nSn,S3nS2n成等比数列学习必备欢迎下载通项公式的求法通项公式的求法:(1).(1).归纳猜想归纳猜想(2).(2).对任意的数列对任意的数列 a 的前的前

11、n项和项和S与通项与通项a的关的关nnns1 a1(n 1)an系:系:snsn1(n 2)检验第式满不满足第式,检验第式满不满足第式,满足的话写一个式满足的话写一个式子,不满足写分段的形式子,不满足写分段的形式(3).(3).利用递推公式求通项公式利用递推公式求通项公式1 1、定义法、定义法:符合等差等比的定义符合等差等比的定义2 2、迭加法、迭加法:an 1 an f(n)3 3、迭乘法、迭乘法:4 4、构造法、构造法:an 1f(n)anan1qan p 5.5.如果上式后面加的是指数时可用同除指数式如果上式后面加的是指数时可用同除指数式 6.6.如果是分式时可用取倒数如果是分式时可用取

12、倒数(4)(4)同时有和与通项有两种方向同时有和与通项有两种方向一种一种:当当 n n 大于等于大于等于 2,2,再写一式再写一式,两式相减两式相减,可以可以消去前消去前 n n 项和项和二种二种:消去通项消去通项学习必备欢迎下载数列求和的常用方法数列求和的常用方法1.1.公式法公式法:适用于等差、适用于等差、等比数列或可转化为等等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。差、等比数列的数列。2.2.裂项相消法裂项相消法:适用于适用于ca ann1其中其中 a 是各项不是各项不n为为 0 0 的等差数列,的等差数列,c c 为常数;部分无理数列、含为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。阶乘的数列等

13、。(分式且分母能分解成一次式的分式且分母能分解成一次式的乘积乘积)3.3.错位相减法错位相减法:适用于适用于a b其中其中 a 是等差数是等差数nnn列,列,b是各项不为是各项不为 0 0 的等比数列。的等比数列。n4.4.倒序相加法倒序相加法:类似于等差数列前类似于等差数列前 n n 项和公式项和公式的推导方法的推导方法.5.5.常用结论常用结论n(n 1)(1 1):1+2+3+.+n=:1+2+3+.+n=2(2 2)1+3+5+.+(2n-1)=1+3+5+.+(2n-1)=n1n(n 1)(3 3)1 2 n 2333221()1 2 3 n 6n(n 1)(2n 1);222211

14、1(5)5)n(n 1)nn 1学习必备欢迎下载不等式不等式一、不等式的主要性质:一、不等式的主要性质:(1 1)对称性:)对称性:a a b b b b a a(2 2)传递性:)传递性:a a b b,b b c c a a c c(3 3)加法法则:)加法法则:a a b b a a c c b b c c;(4 4)同向不等式加法法则:)同向不等式加法法则:a a b b,c c d d a a c c b b d d(5 5)乘法法则:)乘法法则:a a b b,c c 0 0 acac bcbc;a a b b,c c 0 0 acac bcbc(6 6)同向不等式乘法法则:)同向

15、不等式乘法法则:a a b b 0 0,c c d d 0 0 acac bdbd(7 7)乘方法则:)乘方法则:a a b b 0 0 a an nn n b bn n(n n N N*且且n n 1 1)n n(8 8)开方法则:)开方法则:a a b b 0 0 a a b b(n n N N*且且n n 1 1)1 11 1(9 9)倒数法则:)倒数法则:a a b b,abab 0 0 a a b b二、一元二次不等式二、一元二次不等式axax其解法其解法数数y y axax2 2 bxbx c c2 2 bxbx c c 0 0和和axax2 2 bxbx c c 0 0(a a

16、0 0)及及 0y y axax2 2 bxbx c c a a(x x x x1 1)()(x x x x2 2)0y y axax2 2 bxbx c c a a(x x x x1 1)()(x x x x2 2)0y y axax2 2 bxbx c c二二次次函函(a 0)的)的图象图象方程方程根根实根实根实根实根一一 元元 二二 次次 有有两两相相异异实实 有有 两两 相相 等等无无学习必备欢迎下载ax2bx c 0a 0的根ax2bx c 0(a 0)的解集ax2bxc 0(a 0)的解集x x1 1,x x2 2(x x1 1 x x2 2)x x1 1 x x2 2 b b2

17、2a aR Rx x x 或x x12b x x 2ax x1 x x2三含有参数的二次不等式的解法三含有参数的二次不等式的解法:(1)(1)二次项系数二次项系数(正负零正负零)(2)(2)根根一种一种:能分解因式能分解因式,主要是比较根的大小主要是比较根的大小。二种二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论能分解因式就从判别式进进行行讨论(3)(3)画图写解集画图写解集四、线性规划四、线性规划1.1.在平面直角坐标系中,直线在平面直角坐标系中,直线xy C 0同侧的点代入后符号相同,异侧的点相反同侧的点代入后符号相同,异侧的点相反2.2.由由A A 的符号来确定:的符号来确定:先把先把 x x

18、的系数的系数A A 化为正后,化为正后,看不等号方向:看不等号方向:若是“若是“”号,则”号,则xy C 0所表示的区所表示的区域为直线域为直线:xy C 0的右边部分。的右边部分。若是“若是“”号,则”号,则xy C 0所表示的区所表示的区域为直线域为直线xy C 0的左边部分。的左边部分。学习必备欢迎下载注意:Ax By C 0(或 0)不 包 括 边 界;Ax By C 0(0)包括边界3.3.求解线性线性规划求解线性线性规划问题的步骤问题的步骤(1)(1)画出可行域画出可行域(注意实虚注意实虚)(2)(2)将目标函数化为直线的斜截式将目标函数化为直线的斜截式(3)(3)看前的系数的正负

19、看前的系数的正负.若为正时则上大下小若为正时则上大下小,若若为负则上小下大为负则上小下大4.4.非线性问题非线性问题:(1)(1)看到比式想斜率看到比式想斜率(2 2)看到平方之和想距离)看到平方之和想距离四、均值不等式四、均值不等式ab1 1、设、设a、b是两个正数,则是两个正数,则2称为正数称为正数a、b的的算术平均数算术平均数(等差中项等差中项),ab称为正数称为正数a、b的的几何平均数几何平均数(等比中项等比中项)2 2、基本不等式(也称均值不等式):、基本不等式(也称均值不等式):如果如果 a,ba,b 是正数,那么是正数,那么abab 2 ab 即ab(当且仅当a b时取号).2注

20、意:注意:使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等学习必备欢迎下载3 3、平平 均均 不不 等等 式式:(a a、b b为为 正正 数数),即即a a2 2 b b2 2a a b b2 2 abab 1 11 1(当(当2 22 2 a ab ba a=b b时取等)时取等)4 4、常用的基本不等式:、常用的基本不等式:22a b22a,bR;a b 2aba,bR;ab 2 abaa 0,b 0;ab 222b2 aba,bR2225 5、极值定理:设、极值定理:设x、y都为正数,则有:都为正数,则有:若若x y s(和为定值),则当(和为定值),则

21、当x y时,时,s2积积xy取得最大值取得最大值4若若xy p(积为定值),则当(积为定值),则当x y时,时,和和x y取得最小值取得最小值2 p五、含有绝对值的不等式五、含有绝对值的不等式1 1绝对值的几何意义:绝对值的几何意义:|x|是指数轴上点是指数轴上点x到原到原点的距离;点的距离;|x1x2|是指数轴上是指数轴上x1,x2两点间的两点间的距离距离;a aa a 0 0|a a|0 0a a 0 0代数意义:代数意义:a aa a 0 0 学习必备欢迎下载2 2、如果a 0,则不等式:;(1)(1)|x|a(2)(2)|x a或x ax|ax x|a a x a或x a a a x

22、x a a;(3)(3)|(4)(4)|x x|a a a a x x a a注意注意:上式中的上式中的 x x 可换成可换成 f(x)f(x)3 3、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对、解含有绝对值不等式的主要方法:解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号、其他常见不等式形式总结:、其他常见不等式形式总结:式不等式的解法:移项通分式不等式的解法:移项通分,化分为整化分为整f f(x x)0 0 f f(x x)g g(x x)0 0g g(x x)f f(x x)g g(x x)0 0f f(x x)0 0 g g(x x)0 0g g(x x);

23、指数不等式:指数不等式:a af f(x x)a ag g(x x)(a a 1 1)f f(x x)g g(x x)a af f(x x)a ag g(x x)(0 0 a a 1 1)f f(x x)g g(x x)学习必备欢迎下载对数不等式:对数不等式:f f(x x)0 0 logloga af f(x x)logloga ag g(x x)()(a a 1 1)g g(x x)0 0 f f(x x)g g(x x)f f(x x)0 0 logloga af f(x x)logloga ag g(x x)()(0 0 a a 1 1)g g(x x)0 0 f f(x x)g g(x x)高次不等式:高次不等式:数轴穿线法口诀数轴穿线法口诀:“从右向左,从右向左,自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;小于自上而下;奇穿偶不穿,遇偶转个弯;小于取下边,大于取上边”取下边,大于取上边”

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