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1、函数及其表示函数及其表示（一）知识梳理（一）知识梳理1函数的概念(1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的x，在集合B中都有的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为_(2)函数的定义域、值域在函数y f(x),x A中，x叫做自变量，xA叫做y f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，f(x)x A称为函数y f(x)的值域。(3)函数的三要素：、和 2函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)解析法：就是把两个变量的
2、函数关系，用等式来表示。3分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。4映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:A B，f表示对应法则注意：注意：A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。（二）考点分析（二）考点分析考点考点 1 1：判断两函数是否为同一个函数：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f(x
3、)x2，g(x)3x3；x1（2）f(x)，g(x)x1（3）f(x)x 0,x 0;xx 1，g(x)x2 x；22（4）f(x)x 2x 1，g(t)t 2t 1（5）f(x)2n1；x2n1，g(x)(2n1x)2n1（nN N*）考点考点 2 2：映射的概念：映射的概念例 1下述两个个对应是A到B的映射吗？1（1）A R，B y|y 0，f:x y|x|；（2）A x|x 0，B y|yR，f:x y x例 2 若A 1,2,3,4，则A到B的映射有个，B a,b,c，a,b,cR，B到A的映射有个例 3设集合M 1,0,1，N 2,1,0,1,2，如果从M到N的映射f满足条件：对M中
4、的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（）(A)8 个(B)12 个(C)16 个(D)18 个考点考点 3 3：求函数的定义域：求函数的定义域题型题型 1 1：求有解析式的函数的定义域：求有解析式的函数的定义域（1 1）方法总结：方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为 0；对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的
5、有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。例 1.函数fxA2，C，2x24 1的定义域为（x3B2,3）2，3，2,3 3，(x 1)0 x xD，2例 2、函数f(x)的定义域是（）A.x|x 0 B.x|x 0 C.x|x 0且x 1 D.x|x 0且x 1题型题型 2 2：求复合函数和抽象函数的定义域：求复合函数和抽象函数的定义域例 1已知y f(x 2)的定义域是a，b，求函数y f(x)的定义域例 2已知y f(2x1)的定义域是（-2，0），求y f(2x1)的定义域例 3、已知函数y f(x 1)的定义域为-2，3，则y f2 x 1的定义域是_考点考点 4
6、4：求函数解析式：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数fg(x)的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)题型题型 1 1：用待定系数法求函数的解析式：用待定系数法求函数的解析式例 1.已知函数fx是一次函数,且f f(x)9x 4,求fx表达式.2例 2.已知fx是一次函数且2f23f15,2 f0 f11,则fx（A3x2B3x2C2x3D2x3）例 3.二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1.(1)求 f(x)的解析式；(2)解不等式 f(
7、x)2x5.例 4.已知 g(x)x23，f(x)是二次函数，当 x1,2时，f(x)的最小值为 1，且 f(x)g(x)为奇函数，求函数 f(x)的表达式题型题型 2 2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足f(2x 1)4x 6x 5，求f(x)例 2.已知f2x 1 x1,则fx_。1 x1 x2例 3已知f(，则f(x)的解析式可取为)=1 x1 x2题型题型 3 3：求抽象函数解析式：求抽象函数解析式例 1已知函数f(x)满足f(x)2 f()3x，求f(x)例 2、已知：2 f(x)3 f(x)x 1，求fx表达式
8、.31x例 3.设函数f(x)与g(x)的定义域是xR且x 1,f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)g(x)1x1,求f(x)和g(x)的解析式.1.21.2一、一、选择题选择题函数及其表示函数及其表示）1、函数y fx的图象与直线x m的交点个数为（A可能无数个B只有一个C至多一个D至少一个2、设M=x 2 x 2,N y 0 y 2，函数fx的定义域为 M，值域为N，则fx的图象可以是（-2）2y0Ay2x-20B2xy20C）y1-1y2-20Dxxx3、函数fx x的图象是如图中的（xy1yyA1-10 x01-1x0 x0-1DxBC4、已知fx是一次函数且2f23f15,
9、2 f0 f11,则fx（A3x2B3x2C2x3D2x3）1 1 x2,x 1,则f5、设函数fx2的值为（x x2,x 1f2A1516B2716C894D1826、一个面积为100cm的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3 倍，则把它的高y表示成x的函数为（）By 100 xx 0Dy Ay 50 xx 0Cy 50 x 0 x100 x 0 x）7、函数fxA2，C2,3x24 1的定义域为（x32，B2,33，23，D，2x1,x 08、设fx,x 0，则ff f1的值是（0,x 0）A1二、填空题二、填空题B0CD19、已知函数fx、gx分别由下表给出：x122131x13
10、2231fxfx则f g1的值为_，当g fx 2时，x _。10、已知fx 1 x1,则fx_。x的定义域为_。2x23x2211、函数fx三、解答题三、解答题12、若函数y fx x a2x3,xa,b的图象关于直线x 1对称，求b的值。13、已知fx是一次函数，且f5f fx8x7，求fx的解析式。考点考点 5 5：求函数的值域：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，2例 1、y x 2x 3例 2、y 2x 8x 5（1）x1,1（2）x1,4（3）x4,8（3）换元法换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数例
11、5、y x 21 2 x例 6、f(x)2 x 3 4 x 13（4）分段函数分别求函数值域分段函数分别求函数值域，例 7、y x 3 x 522x x(0 x 3)例 8、函数f(x)2的值域是（）x 6x(2 x 0)ARB9,C8,1D9,1（5）分离常数法分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y 3x2的值域4x3（7）图象法图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域6（9）对勾函数法 像 y=x+三种模型：（1）如y xm，（m0）的函数x4，求（1）单调区间（2）x 的范围3,5，求值域x（3）x-1,0)(0,4,求值域（2）如y x4x4求（1）3,7上的值域，72）单调递增区间（x0 或 x4）（