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1、常见函数性质汇总及简单评议对称变换常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数常数函数f f(x x)=)=b b(b bR)R)1）、y=a和x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f f(x x)的图象是平行于 x x 轴或与 x x 轴重合（垂直于 y y 轴）的直线ybOf(x)=bx一次函数一次函数f f(x x)=)=kxkx+b b(k k0,0,b bR)R)1)、两种常用的一次函数形式:斜截式、点斜式2）、对斜截式而言，k、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势：3）、|k|k|越大，图象越陡；|k|k|越小，图象越平缓4）、定 义 域：R R值域：R R单调性：当 kk0
2、 0 时；当 kkk0 0 时，函数 f f(x x)的图象分别在第一、第三象限；当 kkk 0 0 时；当 kk0 时，函数图象与x轴有两个交点（）；当0,当 a0 时 y2；当 x0 时，y2；当 x（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当 x1，）时函数为增函数，且缓慢递增，又 x0，y0，图象与坐标轴无交点，且 y 轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象，再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图 210 所示评述：评述：（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，
3、以起到定形、定性、定位、定量的作用例例 6 6：f（x）是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如图所示令 g（x）af（x）b，则下列关于函数 g（x）的叙述正确的是（：B B）A若 a0，则函数 g（x）的图象关于原点对称B若 a1，2b0，则方程 g（x）0 有大于 2 的实根C若 a0，b2，则方程 g（x）0 有两个实根D若 a1，b0）或向下（b0）平移|b|个单位，得 g（x）af（x）b 的图象例例 6 6：(全国全国)把函数 yex的图象按向量a(2，3)平移，得到 yf(x)的图象，则 f(x)(C C)(A)ex32(B)ex32(C)ex23(D)ex23例例 7 7：(菏
4、泽模拟菏泽模拟)如图为函数 ymlog论正确的是(nx的图象，其中m，n 为常数，则 下 列 结D D)(A)m1(B)mO，nl(C)mO，0n1(D)m0，0n1 例例 8 8：(安庆模拟)函数 yex1的图象大致是(D D)例例 9 9：在直角坐标系 xOy 中，已知AOB 三边所在直线的方程分别为 x0，y0，2x3y30，则AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（A95B91C88B B）D75解析：解析：画出图象，补形做出长方形 AOBC，共有整点数 1116176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角
5、线上，所以符合题意的点数为（1766）9112例例 1010：将函数 ylog解析：解析：C:ylog12x12x 的图象沿 x 轴方向向右平移一个单位，得到图象 C，图象 C1与 C 关于原点对称，图象 C2与 C1关于直线 yx 对称，那么 C2对应的函数解析式是_12（x1）；由ylog1（x1）得 C1:ylog2（x1）；求 C1的反函数得 y2例例 1111：若函数 yx24x3的图象 C 与直线 ykx 相交于点 M（2，1），那么曲线 C 与该直线有个交点解析：解析：（数形结合法）（数形结合法）作 yx24x3的图象，知其顶点在 M（2，1）过原点与点 M（2，1）作直线 yk
6、x，如图曲线 C 与直线 ykx 有四个交点例例 1212：作函数 y（1）|x21|的图象2(x1)(x 1),解析解析:（1）yx1故它在区间1，）上的图象，2(x 1).可由 y2x（x0）的图象沿 x 轴方向向右平移 1 个单位得到在区间（，1）上的图象，可由 y2x（x0）的图象沿 x 轴方向向右平移 1 个单位得到例例 1313：已知函数 yf（x）（xR R）满足 f（ax）f（ax），求证 yf（x）的图象关于直线 xa 对称证明证明:设 p（x0，y0）是 yf（x）图象上的任一点，则有 y0f（x0），x 2a x0设点 P 关于直线 xa 的对称点为 p（x，y），则有，
7、y y0 x0 2a x即由 y0f（x0）y0 y y f(2a x)fa(a x)f（x）yfa（ax）又f(a x)f(a x)即点 p（x，y）也在 yf（x）的图象上yf（x）的图象关于直线 xa 对称例例 1414：画出函数 y2x 1的图象，并利用此图象判定方程2x 1xa 有两个不同的实数解时，实数 a 所满足的条件解析：解析：图象是抛物线 y22x1 在 y0 上的部分把 yxa 代入 y22x1，得（xa）22x1，即 x22（a1）xa210，由0 得 a1，此时直线与抛物线相切又因抛物线顶点是（1，0），2可知当直线过点（11，0）时，即 a时直线与抛物线有两交点，22故当1a1 时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解2