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1、-20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试*卷卷数学理试卷分析数学理试卷分析一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（1 1）设集合）设集合A=-1,1,2,3,5，B=2,3,4，C=xR|1 x3，则，则(AC)B=（A A）2B B2,3C C1,2,3D D1,2,3,4【答案】D【解析】此题主要考察集合的运算因为集合AC=1,2，则集合(AC)B=1,2,3,4，故正确答案为 Dx y 2 0 x y 2 0 x,y（2 2）设变量）设变量满足约束条件满足约束条件，则目标函数，则目标函数z 4x+y的最大值为的最大值为x 1y
2、 1A A2 2B B3 3C C5 5D D6 6【答案】C【解析】此题主要考察线性规划记z 4x+y，则约束条件的可行域可由图像表示，由图可知，当直线y 4x z经过点(1,1)时，Z 取最大值，则最大值为zmax 4 1 5，故正确答案为 C3 3设设xR，则“，则“x25x 0是“是“|x 1|1的的A A充分不必要条件充分不必要条件B B必要不充分条件必要不充分条件C C充要条件充要条件D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【答案】B.z.-【解析】此题主要考察充分条件与必要条件，解不等式2由x 5x 0可推出0 x 5，由|x 1|1可推出0 x 2充分性：由0 x 5不可
3、推出0 x 2，所以充分性不成立2必要性：由0 x 2可推出0 x 5，所以必要性成立，即x 5x 0是|x 1|1的必要不充分条件，故正确答案为B4 4阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为的值为A A5 5B B8 8C C2424D D2929【答案】B【解析】此题主要考察程序框图初始：i 2,S 0第一次循环：S=1,i 2第二次循环：j 1,S=5,i 3第三次循环：S=8,i 4，满足条件，输出S=8，故正确答案为 Bx2y221(a 0,b 0)22ab（5 5）抛物线）抛物线y 4x的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，假设，假
4、设l与双曲线与双曲线的两条的两条渐近线分别交于渐近线分别交于A点和点和B点，且点，且|AB|4|OF|，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为（A）2B B3C C2D D5【答案】D【解析】此题主要考察双曲线与抛物线的性质2y抛物线 4x的焦点F(1,0)，准线l=1，则|OF|=1,|AB|4|OF|4，且A点和B点关于bby xy xB(1,2)。a，a*轴对称，则A(1,2)，设双曲线的渐近线方程为则点B在渐近线c2a2b2b2bb2e 2125y x=22aaaaa上，将B点坐标代入渐近线方程，则，又，则e 5.z.-故正确答案为 D6 6a log52,b log0.50.2,c
5、0.50.2则则a,b,c的大小关系是的大小关系是A Aa c bB Ba b cC Cb c aD Dc a b【答案】A【解析】此题主要考察指数函数，对数函数，比拟大小0 a log52 log25 12b log0.50.2 log25 11 c 0.50.21，则a,b,c的大小关系是a c b2故正确答案为 A7 7函数函数f(x)Asin(x)(A 0,0,|)是奇函数，则是奇函数，则y f(x)的图像上所有点的的图像上所有点的横坐标伸长到原来的横坐标伸长到原来的 2 2 倍纵坐标不变倍纵坐标不变，所得图像对应的函数为，所得图像对应的函数为g(x)，g(x)的最小正周的最小正周32
6、g()=2f()=，且，且期为期为48，则，则A A-2-2B B 2C C2D D2 2【答案】C【解析】此题主要考察三角函数的图像变换，函数的奇偶性由 f(*)是奇函数，可知 f(0=0，即sin 0且|，所以 0。f(x)横坐标伸长到原来的 2 倍得到 g(*)，所以 g(*)=Asin(x2),2A 2，又 g(*)最小正周期为 2，所以 2，g(*)=Asinxg()42.z.-所以 A=2。f(x)2sin 2xf(故正确答案为 C33)2sin284x2 2ax 2a,x 1f(x)=x aln x,x 1，假设关于，假设关于x的不等式的不等式f(x)0，在，在R R 上恒成上恒
7、成8 8aR，设函数，设函数立，则立，则a的取值的取值*围为围为A A0,1B B0,2C C0,eD D1,e【答案】C【解析】此题主要考察函数综合问题，分段函数与函数零点问题，可分类讨论或参数别离方法方法 1 1：由题意，x a为f(x)的一个极值点222（1）当a 1时假设x 1，有f(a)=a 2a 2a a 2a 0，解得0 a 2假设x 1，有f(x)=x alnx，f(x)=1a 0，所以f(x)在(1,)单调递增x则f(x)min=f(1)1 0，所以0 a 1（2）当a=1时x2 2x 2,x 1f(x)=，此时f(x)0恒成立x ln x,x 1（3）当a 1时假设x 1，
8、有f(1)=12a 2a 1 0，假设x 1，有f(x)=x alnx，f(x)=1a，令f(x)=0，解得x ax则此时f(x)在(1,a)上单调递减，在(a,)上单调递增则f(x)min=f(a)a alna 0，解得a e所以此时1 a e.z.-综上，a的取值*围为0 a e22方法方法 2 2：当x 1时，假设x 2ax 2a 0恒成立，可得到x 2a(x1)当*=1 时恒成立。x2x2 2a，即转化为求 h(*)=当*1 时，在*1 上的最大值x1x1(t 1)21 t 2(t0)由对勾函数性质换元，令*-1=tt0h(t)tt得 h(t)在 t0 上的最大值为 0.所以 a0.当
9、x 1时，x alnx 0恒成立，即(1,)上的最小值。令g(x)a xxln x在x 1时恒成立，即a小于等于ln x在lnx 1xg(x)2(lnx)lnx，则，令g(x)0，解得x e，则g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,)上单调递增，则g(x)在x e处取到极小值g(e)e，且g(e)e为g(x)在(1,)上的最小值，则有a e。综上，有0 a e二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分9 9i i 是虚数单位，则是虚数单位，则|5i|的值为的值为1i【答案】13【解析】此题主要考察虚数的运算5i(5i)(1i)5i 5i i25i22|2 3i|=2+3 13因
10、为，所以 23i|=131i(1i)(1i)1i21i1010(2x【答案】2818)的展开式中的常数项为的展开式中的常数项为8x3.z.-【解析】此题主要考察二项式定理(2x 1r18r8rrr84r84r的展开式通项为T C(2x)()C(1)2x)r188338x8x当 r=2 时，常数项为C82 281111四棱锥的底面是边长为四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为的正方形，侧棱长均为5，假设圆柱的一个底面的圆周，假设圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆
11、柱的体积为【答案】4【解析】此题主要考察立方体体积因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，则正方形的对角线长为2，则四棱锥的高、底面正方形对角线的一半和四棱锥的侧棱构成直角三角形，设四棱锥的高为h,则由勾股定理可得h=5-1=2，即四棱锥的高为 2，又因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，经过四棱锥四条侧棱的中点的正方形切面对角线长为1，则该圆柱的底面为这个正方形的外接圆，则该外接圆的半径r 1V=Sh()2*124x 2 2cosy 1 2sin(为参数)ax y 2 01212设设aR，直线，直线和圆和圆相切，则相切，则a的值为的值为12，圆柱的高为四棱锥高的一半，则圆柱的体积3【
12、答案】4【解析】此题主要考察极坐标与参数方程，直线和圆的位置关系x 2 2cos22y 1 2sin(x 2)(y 1)4，则圆心(2,1)，圆的参数方程，转化为圆的标准方程为r|2a 1 2|a21 2半径r 2，因为直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于圆的半径，a 34.z.，解得-(x 1)(2y 1)1313设设x 0,y 0,x 2y 5，则，则xy的最小值为的最小值为【答案】4 3【解析】此题主要考察解不等式(x 1)(2y 1)2xy 2y x 12xy 66=2 xy xyxyxyxy 2 2 xy*6xy 4 3(x 1)(2y 1)则xy2 xy=6xy的最小值为4 3，当
13、，即x 3,y 1时等号成立，取最小值1414在四边形在四边形 ABCDABCD 中，中，ADBC,AB 2 3,AD 5,A30，点，点 E E 在线段在线段 CBCB 的延长线的延长线上，且上，且AE BE，则，则BD*AE=【答案】1【解析】此题主要考察平面向量的运算过 B 做 BF 垂直于 AD，因为AB 2 3，A 30，则BF 3,AF 3，又因为AD BC，AE BE，则EBA A=EAB=30，则BE=2以 F 为原点，FD、FB 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A(3,0),B(0,3),D(2,0),E(2,3)，BD=(2,-3),AE (1,3)BD*AE=2-3=-1三
14、、解答题：本大题共6 个小题，共 80 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤（1414）本小题总分值）本小题总分值 1313 分分.z.-在在ABC中，内角中，内角A,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,c，b c 2a，3csinB 4asinC1 1求求cosB的值的值sin(2B)6的值的值2 2求求3 5+71【答案】12164【解析】此题主要考察同角三角函数的根本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等根底知识（1）解：在ABC中，由正弦定理bcbsinC csinB，又由3csinB 4asinC，得sin BsinC，得423bsinC
15、 4asinC，即3b 4a，又因为b c 2a，得b=ac=a3，3，由余弦定理可得416a2a2a2a c b199cosB 22ac42a*a32222解：15157sin2B 2sin BcosB cos2B cos2B sin2B 4，从而8，8，由1可得sinB 153713 5 7sin(2B)=sin 2Bcoscos2Bsin*666828216因此（1515）本小题总分值）本小题总分值 1313 分分2设甲、乙两位同学上学期间，每天设甲、乙两位同学上学期间，每天 7 7：3030 之前到校的概率为之前到校的概率为3，假定甲、乙两位同学到校，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响
16、，且任一同学每天到校情况相互独立情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1 1）用）用X表示甲同学上学期间的三天中表示甲同学上学期间的三天中 7 7：3030 之前到校的天数，求随机变量之前到校的天数，求随机变量X的分布列的分布列和数学期望和数学期望（2 2）设）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在为事件“上学期间的三天中，甲同学在7 7：3030 之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数比乙同学在 7 7：3030之前到校的天数恰好多之前到校的天数恰好多 2 2，求事件，求事件M发生的概率发生的概率.z.-【答案】1分布列见解析，EX=22，P(M)20243【解析】此题主要考察排列与
17、组合，离散型随机变量的分布列与数学期望等根底知识，考察运用概率知识解决实际问题的能力。（1）解：*的所有可能取值为 0,1,2,311P(X=0)()332721122P(X=1)C3()()33942122P(X=2)C3()()3 3928P(X=3)()3327则随机变量*的分布列为：EX=0*P0127129249382716128+1*+2*+3*=227272727（2）解：设乙同学上学期间的三天中7:30 之前到校的天数为 Y，则P(M)P(X 3,Y 1 X 2,Y 0)P(X 3,Y 1)P(X 2,Y 0)P(X 3)P(Y 1)P(X 2)P(Y 0)418220*927
18、279243（1616）本小题总分值）本小题总分值 1313 分分如图，如图，AE 平面ABCD，CFAE,AD BC,AD AB.z.-（1 1）求证：）求证：BF平面ADE2 2求直求直线线 CECE 与平面与平面 BDEBDE 所成角的正弦值所成角的正弦值13 3假设二面角假设二面角 E-BD-FE-BD-F 的余弦值为的余弦值为3，求线段，求线段 CFCF 的长的长【答案】1见解析2483CF 97【解析】此题主要考察直线与平面平行、平面与平面垂直、二面角等根底知识，考察用空间向量解决立体几何的问题，考察空间想象能力，运用知识求解问题的能力和推理论证能力。（1）证明：由题意，AB (1
19、,0,0)是平面 ADE 的法向量，又BF (0,2,h)可得AB*BF=0又因为直线BF 平面 ADE，所以BF平面ADE（2）解：BE (1,0,2)，CE (1,2,2)由题意，BD (1,1,0)，BD*n 0 x y 0 x 2z 0BE*n 0n (x,y,z)设为平面 BDE 的法向量，则，即，不妨令z 1CE*n4 9|CE|n|可得n (2,2,1)，因此有cos CE,n 4所以，直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为9（3）解：BD*m 0 x y 02y hz 0BF*m 0m (x,y,z)设为平面 BDF 的法向量，则，即.z.-2m (1,1,)h不妨令y
20、1，可得|cos m,n|m*n|18h|m|n|3，解得7由题意，由8所以线段 CF 的长为7（1717）本小题总分值）本小题总分值 1313 分分x2y251(a b 0)2b2设椭圆设椭圆a的左焦点为的左焦点为 F F，上顶点为，上顶点为 B B，椭圆的短轴长为，椭圆的短轴长为 4 4，离心率为，离心率为51 1求椭圆的方程求椭圆的方程2 2设设 P P 是椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点是椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 MM 为直线为直线 PBPB 与与*轴的交点，点轴的交点，点 N N 在在 y y轴的负半轴上，假设轴的负半轴上，假设|ON|OF|O O 为原点为原点，且，且O
21、P MN，求直线，求直线 PBPB 的斜率的斜率x2y22 30【答案】112k 554【解析】此题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等根底知识。考察用代数方法研究圆锥曲线的性质，考察运算解题能力，以及用方程思想解决问题的能力。（1）解：c5a5，又a2 b2c2由题意，2b 4,x2y21a 5,b 2,c 154解得，所以解：P(xp,yp)(xp 0),M(xM,0)由题意，设点，设直线 PB 的斜率为k(k 0)又B(0,2)，则直线 PB 的方程为y kx 2.z.-y kx 22xy2154联立椭圆方程与直线方程810k220kyP=xp=-222(45k)x 20kx 0
22、y kx 245k245k，代入整理得，可得得到yP4 5k2x10k直线 OP 的斜率为P在y kx 2中，令y 0，得k所以直线 MN 的斜率为2xM 2k，又由题意得N(0.1)45k2k2 3024*()1k k2525，从而由OP MN，得10k，化简得1919 本小题总分值本小题总分值 1414 分分设设an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，是等比数列，a1=4,b1 6,b2 2a2 2,b3 2a3 41 1求求an和和bn的通项公式的通项公式kk11,2 n 2cnbk,n 2kc c=1n12 2设数列设数列满足满足，,其中其中kN*求数列求数列2na2n(c2n1)
23、的通项公式的通项公式求求a c(nN*)iii1【答案】1an=3n+1，bn 3*2n2a2n(c2n1)=9*4 1，na ci12nii 27*22n15*2n1 n12.z.-【解析】此题主要考察等差数列、等比数列以及其前 n 项和公式等根底知识，考察数列求和的根本方法和运算求解能力。（1）解：设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q,6q 6 2dd 3由题意得6q212 4dq 2，解得an 4 3(n 1)3n 1，bn=6*2n-1=3*2n则（2）解：a2n(c2n1)=a2n(bn1)(3*2n1)(3*2n1)9*4n1a2n(c2n1)2n所以的通项公式为2
24、na2n(c2n1)=9*4n12na c=aiii1i1n2ni ai(ci1)aiai(ci1)i1i1n22n(2n1)=(2*4+*3)+(9*4n1)2i14(1 4n)2n1n1(3*25*2)9*n1 4 27*22n15*2n1 n 12(nN*)（1818）本小题总分值）本小题总分值 1414 分分设函数设函数f(x)excosx，g(x)为为f(x)的导函数的导函数1 1求求f(x)的单调区间的单调区间x,f(x)g(x)(x)04 222 2当当时，证明时，证明(2n 3 3设设xn为函数为函数u(x)f(x)1在区间在区间,2n)42内的零点，其中内的零点，其中nN，证
25、明，证明.z.-e2n2n xn2sin x0cosx0【答案】1f(x)的单调递增区间为52k+,2k442见解析3见解析2k3,2k44，单调递减区间为【解析】此题主要考察导数的综合应用，不等式的证明，运用导数研究函数性质的根底知识和方法，考察函数的转化思想，考察抽象概括能力，综合分析和解决问题的能力。1解：x由题意，有f(x)e(cosx sin x)5x（2k+,2k）44时，有sin x cosx，则f(x)0，即f(x)单调递减因此，当x（2k-3,2k）44时，有sin x cosx，则f(x)0，即f(x)单调递增2k35,2k2k+,2k44，单调递减区间为44当所以，f(x
26、)的单调递增区间为（kN*）2证明：h(x)f(x)g(x)(x)xg(x)e(cosx sinx)2记，由题意，有x,g(x)2e sin x4 2时，g(x)0从而，当x h(x)f(x)g(x)(x)g(x)(1)g(x)(x)022因此x,h(x)h()f()0h(x)4 2时，22因此，在区间x,f(x)g(x)(x)04 22所以，当时，.z.-3证明：yn(,)ecosx 1u(x)f(x)1 0y x 2nn4 2nnnn由题意，即，记，则xnynxn2n2nf(y)ecos y ecos(x 2n)e(nN*)nnn且 2nf(y)e1=f(y0)及1n由，得yn y0 x(,)4 2时，g(x)0由2知，当,g(yn)g(y0)g()0g(x)4所以在4 2上为减函数，因此 f(x)g(x)(x)02又由2知，故f(yn)e2ne2ne2ne2n yn 2g(yn)g(yn)g(y0)ey0(sin y0cos y0)sin x0cosx0所以，e2n2n xn2sin x0cosx0.z.