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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷3-5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。参考公式：如果事件A、B互斥，那么()()()P
2、 ABP AP BU.如果事件A、B相互独立，那么()()()P ABP A P B.圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxxR,，则()ACBIUA.2 B.2,3 C.1,2,3 D.1,2,3,42.设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy则目标函数4zxy的最大值为A.2 B.3 C.5 D.6 3.设xR，则“250 xx”是“|1|1x”的A.充分而不
3、必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A.5 B.8 C.24 D.29 5.已知抛物线24yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线分别交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.56.已知5log2a，0.5og2.l0b，0.20.5c，则,a b c的大小关系为A.acb B.abc C.bca D.cab7.已知函数()sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数，将yfx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐
4、标不变），所得图像对应的函数为g x.若g x的最小正周期为2，且24g，则38fA.2 B.2 C.2 D.28.已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxf xxaxx,若关于x的不等式()0f x 在R上恒成立，则a的取值范围为A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如
5、果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有2.本卷共 12 小题，共110 分。二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.9.i是虚数单位，则51ii的值为 .10.83128xx是展开式中的常数项为 .11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一
6、个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .12.设aR，直线20axy和圆22cos,12sinxy（为参数）相切，则a的值为 .13.设0,0,25xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为 .14.在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAEuuu r uuu r .三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC.（）
7、求cosB的值；（）求sin26B的值.16.（本小题满分13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件M发生的概率.17.（本小题满分13 分）如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC.（）求证：BF 平面ADE；（）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值
8、；（）若二面角EBDF的余弦值为13，求线段CF的长.分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲
9、线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有18.（本小题满分13 分）设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（）求椭圆的方程；（）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率.19.（本小题满分14 分）设na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba，.（）求na和nb的通项公式；（）设数列nc满足111,22,2,1,kknkkcncb n其中*kN.（i）求数列221nnac的通项公式
10、；（ii）求2*1niiia cnN.20.（本小题满分14 分）设函数()e cos,()xf xxg x为fx的导函数.（）求fx的单调区间；（）当,42x时，证明()()02fxg xx；（）设nx为 函 数()()1u xf x在 区 间2,242mm内 的 零 点，其 中nN，证 明20022sincosnnnxxex.分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么
11、柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分40 分.1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，
12、满分30 分.9.13 10.28 11.4 12.34 13.43 14.1三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13 分.（）解：在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC，得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又 因 为2bca，得 到43ba，23ca.由 余 弦 定 理 可 得222222416199cos22423aaaacbBaa.（）解：由（）可 得215sin1cos4BB，从 而15sin 22sin
13、cos8BBB，227cos2cossin8BBB，故153713 57sin 2sin 2coscos2sin666828216BBB，16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30 之前到校的概率均为23，故23,3XB，从而3321(),0,1,2,333kkkP XkCk.所以，随机变量X的分布列为X0 1 2 3 分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷
14、时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有P1272949827随机变量X的数学期望2()323E X.（）解：设 乙 同 学 上
15、学 期 间 的 三 天 中7：30之 前 到 校 的 天 数 为Y，则23,3YB，且3,12,0MXYXYU.由题意知事件3,1XY与2,0XY互斥，且事件3X与1Y，事件2X与0Y均相互独立，从而由（）知()(3,12,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XYU824120(3)(1)(2)(0)279927243P XP YP XP Y.17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.依题意，可以建立以A为原点，分别以ABADAEuuu ruuu
16、ruuu r，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如 图），可 得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E.设(0)CFhh，则1,2,Fh.（）证明：依题意，(1,0,0)ABuuu r是平面ADE的法向量，又(0,2,)BFhuuu r，可得0BFABuuu r uuu r，又因为直线BF平面ADE，所以BF 平面ADE.（）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BDBECEuuu ruuu ruuu r.设(,)nx y z为平面BDE的法向量，则0,0,n BDn BEuuu ruuu r即0,20,xyx
17、z不妨令1z，可得(2,2,1)n.因此有4cos,9|CE nCE nCEnuuu ruuu ruuu r.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49.（）解：设(,)mx y z为平面BDF的法向量，则0,0,m BDm BFuuu ruuu r即0,20,xyyhz不妨令1y，可得21,1,mh.分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的
18、底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有由题意，有224|1cos,|343 2m nhm nmnh，解得87h.经检验，符合题意.所以，线段CF的长为87.18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分.（）
19、解：设椭圆的半焦距为c，依题意，524,5cba，又222abc，可得5a，2,b1c.所以，椭圆的方程为22154xy.（）解：由题意，设0,0PPpMP xyxMx，.设直线PB的斜率为0k k，又0,2B，则直线PB的 方 程 为2ykx，与 椭 圆 方 程 联 立222,1,54ykxxy整 理 得2245200kxkx，可 得22045Pkxk，代入2ykx得2281045Pkyk，进而直线OP的斜率24510Ppykxk.在2ykx中，令0y，得2Mxk.由 题 意 得0,1N，所 以 直 线MN的 斜 率 为2k.由OPMN，得2451102kkk，化简得2245k，从而2305
20、k.所以，直线PB的斜率为2305或2 305.19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应
21、的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分 14 分.（）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.依题意得2662,6124,qdqd解得3,2,dq故14(1)331,6232nnnnannb.所以，na的通项公式为31,nnanb的通项公式为32nnb.（）（i）解：22211321321941nnxnnnnacab.所以，数列221nnac的通项公式为221941nnnac.（ii）解：22221111211nnniiniiii
22、iiiiiia caacaac12212439412nnnnii2124 143252914nnnn211*2725212nnnnN.20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由已知，有()(cossin)xfxexx.因此，当52,244xkk()kZ时，有sincosxx，得0fx，则fx单调递减；当32,244xkk()kZ时，有sincosxx，得0fx，则fx单调递增.所 以，fx的 单 调 递 增 区 间 为32,2(),()44kkkf
23、xZ的 单 调 递 减 区 间 为52,2()44kkkZ.（）证 明：记()()()2h xf xg xx.依 题 意 及（），有()(cossin)xg xexx，从 而()2sinxgxex.当,42x时，0gx，故()()()()(1)()022h xfxgxxg xgxx.分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的
24、体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有因此，h x在区间,42上单调递减，进而()022h xhf.所以，当,42x时，()()02f xg xx.（）证明：依题意，10nnu xfx，即cos1nxnex.记2nnyxn，则,42ny，且22ecosecos2ennyxnnnnnnNfyyxn.由201nnfyefy,及（），得0nyy.由（）
25、知，当,42x时，0gx，所以g x在,42上为减函数，因此004ngygyg,.又由（）知，02nnnfygyy，故0222200002sincossincosnnnnnnynneeeefyygygyg yyxxey剟.所以，20022sincosnnnxxex.分钟第卷至页第卷页答卷前考生务必将自己的姓名准考号填写在答题卡上并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时考生务必将答案涂写在答题卡上答在试卷上的无效考试结束后将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利注意事项本卷共小题每小题分共分参考公式如果事件互斥那么如果事件相互独立那么柱的体积公式其中表示柱的底面面积表示柱的高棱锥的体积公式其中表示棱锥的底面面积表示棱锥的高一选择题在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要条件既不充分也不必要条件阅读右边的程序框图运行相应的程序输出的值为已知抛物线的焦点为准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点且为原点则双曲线的离心率为已知则的大小关系为已知函数是奇函数将的图像上所有