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1、高等数学练习测试题库及答案高等数学练习测试题库及答案一选择题一选择题1.函数 y=1x21是（）A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设 f(sinx2)=cosx+1,则 f(x)为（）A 2x22 B 22x2 C 1x2 D 1x23下列数列为单调递增数列的有（）A0.9，0.99，0.999，0.9999 B32，23，54，45Cf(n),其中 f(n)=n1n n,n为奇数 D.2n1n1 n，n为偶数24.数列有界是数列收敛的（）A充分条件 B.必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5下列命题正确的是（）A发散数列必无界 B两无界数列之和必无界C两发散数列之和
2、必发散 D两收敛数列之和必收敛6limsin(x21)x1x 1（）A.1 B.0 C.2 D.1/27设limx(1kx)xe6则 k=()A.1 B.2 C.6 D.1/68.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）A.x2-1 B.x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1)9.f(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（）A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件 D.无关条件10、当|x|2）有211dx即，2,(n 2)201 xn613设f(x)，g(x)区间 a,a(a 0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)f(x)A(A
3、为常数)。证明：af(x)g(x)dx A0g(x)dx证明：af(x)g(x)dx af(x)g(x)dx 0f(x)g(x)dxa0aaa4设 n 为正整数，证明证明：令 t=2x,有201cos xsin xdx n2nn20cosnxdx又，sin tdtt u sin(u)du 2sinnudu，220n0n1所以，2cos xsin xdx n1(2sin tdt 2sin tdt)n00022nnnn1201sin tdt n2n2sinnxdx又，sin xdxx 2n2nt cos tdt 2cosnxdx200n1因此，02cos xsin xdx n2n20cosnxdx
4、a5设(t)是正值连续函数，f(x)x t(t)dt,a x a(a 0),则曲线y f(x)在a a,a上是凹的。证明：f(x)xa(x t)(t)dt(t x)(t)dtxa故，曲线y f(x)在 a,a上是凹的。dxdxx6.证明：11 x2x1 x211dx证明：x1 x21令x1u1dudxxx(du)1x111u211 x2u212u11117设f(x)是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则证明：aTTf(x)dxT令xuTa0f(u T)du f(x T)dx0aTT0af(x)以T为周期af(xT)f(x)0f(x)dx在等式两端各加0f(x)dx，于
5、是得af(x)dx f(x)dxxux8若f(x)是连续函数，则f(t)dtdu(x u)f(u)du000 xuuxx证明：f(t)dtdu uf(t)dtuf(u)du000009设f(x)，g(x)在a,b上连续，证明至少存在一个(a,b)使得证明：作辅助函数F(x)f(t)dtg(t)dt，由于f(x),g(x)在a,b上连续，所以F(x)在axxba,b上连续，在（a,b）内可导，并有F(a)F(b)0由洛尔定理F()0,(a,b)xb即f(t)dtg(t)dtxaxxbxf(x)g(t)dt f(t)dt g(x)xax0亦即，f()g(x)dx g()f(x)dxabbb10设f(x)在a,b上连续，证明：f(x)dx (b a)f2(x)dxaa2xx2证明：令F(x)f(t)dt(x a)f(t)dtaa2故f(x)是a,b上的减函数，又F(a)0，F(b)F(a)0bb故f(x)dx (b a)f2(x)dxaa211设f(x)在a,b上可导，且f(x)M，f(a)0证明：证明：由题设对xa,b,可知f(x)在a,b上满足拉氏微分中值定理，于是有又f(x)M，因而，f(x)M(x a)由定积分比较定理，有f(x)dx M(x a)dx aabbM(b a)22