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1、2010年考研数学一真题一、选择题（1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)极限(A)1 (B)(C)(D)【考点】C。【解析】【方法一】这是一个“”型极限【方法二】原式而则【方法三】对于“”型极限可利用基本结论：(等价无穷小代换)若则由于,且,求极限则【方法四】综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限(2)设函数,则由方程确定，其中 为可微函数，且。(A)(B)(C)(D)【答案】B。【解析】因为,所以综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】高
2、等数学多元函数微分学多元函数的偏导数和全微分(3)设为正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关 (B)仅与 的取值有关(C)与的取值都有关 (D)与的取值都无关【答案】D。【解析】本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在和时无界在反常积分由于，中，被积函数只在时无界。已知反常积分在反常积分收敛，则也收敛。时无界，由于中，被积函数只在 (洛必达法则)且反常积分综上所述，无论收敛，所以收敛收敛。取任何正整数，反常积分综上所述，本题正确答案是 D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分(4)(A)(C)【答案】D。【解析】因为综上所述，本题正确答案是 C。【考点】高等数学多元函数积分
3、学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(5)设 为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若 (B)(D),则(A)秩(C)秩【答案】A。【解析】因为又因为阶单位矩阵，知,故秩秩 (B)秩 (D)秩秩秩另一方面，为矩阵，为矩阵，又有可得秩秩综上所述，本题正确答案是 A。【考点】线性代数矩阵矩阵的秩(6)设 为 4 阶实对称矩阵，且于，若 的秩为 3，则 相似(A)(B)(C)(D)【答案】D。【解析】由知，那么对于推出来所以 的特征值只能是再由 是实对称矩阵必有可知 D 正确，而 是 的特征值，那么由,综上所述，本题正确答案是 D。【考点】线性代数特征值与特征向量实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似
4、对角矩阵(7)设随机变量 的分布函数,则(A)0 (B)(C)(D)【答案】C。【解析】综上所述，本题正确答案是 C。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布随机变量分布函数的概念及其性质(8)设为标准正太分布的概率密度，为上均匀分布得概率密度，若为概率密度，则(A)(C)应满足(B)(D)【答案】A。【解析】根据密度函数的性质为标准正态分布的概率密度，其对称中心在为上均匀分布的概率密度函数，即处，故所以,可得综上所述，本题正确答案是 A。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的分布二、填空题（9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）(9)设【答
5、案】。【解析】【方法一】，则。则【方法二】由参数方程求导公式知，代入上式可得【方法三】由得，则。当时，则综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10)【答案】【解析】令,则综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学一元函数积分学基本积分公式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法(11)已知曲线 的方程为，则曲线积分【答案】。【解析】如图所示,其中,起点是。终点是所以综上所述，本题正确答案是。-1 O 1【考点】高等数学多元函数积分学两类曲线积分的概念、性质及计算(12)设【答案】。【解析】，则 的
6、形心坐标。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用(13)设生成的向量空间的维数为，则【答案】6。【解析】生成的向量空间的维数为，所以可知，若由。所以可得综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数向量向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念(14)设随机变量 的概率分布为。【答案】。【解析】泊松分布的概率分布为随机变量 的概率分布为,则对比可以看出所以而综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论与数理统计随机变量及其分布常见随机变量的分布；概率论与数理统计随机变量的数字特征随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及
7、其性质三、解答题：程或演算步骤。(15)求微分方程【解析】由齐次微分方程的特征方程所以，齐次微分方程设微分方程则代入原方程，解得的特解为的通解为的通解小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过故特解为所以原方程的通解为【考点】高等数学常微分方程二阶常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程(16)求函数【解析】函数的定义域为，令由上可知，区间为极小值为极大值为，得极小,列表如下极大和极小；的单调减的单调区间与极值的单调增区间为和,【考点】高等数学一元函数微分学基本初等函数的导数，函数单调性的判别 函数的极值高等数学一元函数积分学基本积分公式，积分上限的函数及其导数(17)(
8、I)比较明理由；(II)记【解析】(I)当时，因所以有(II)【方法一】由上可知，所以由夹逼定理可得【方法二】由于为单增函数，则当时，,从而有,所以,求极限。与的大小，说又【方法三】已知因为有界，从而存在则由及夹逼定理知,且使得在上连续，则在上，由夹逼定理知【考点】高等数学函数、极限、连续极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则高等数学一元函数积分学定积分的概念和基本性质(18)求幂级数【解析】的收敛域及和函数。即时，原幂级数绝对收敛时，级数为，由莱布尼茨判别法显然收敛，故原幂级数的收敛域为又令则所以由于所以，所以。所以幂级数的收敛域为，和函数为。【考点】高等数学无穷级数幂级数及其收敛半径、
9、收敛区间(指开区间)和收敛域，幂级数的和函数，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式(19)设 为椭球面线平面与上的动点，若 在点 处的切面垂直，求点 的轨迹,并计算曲面积分,其中是椭圆球面 位于曲线 上方的部分。【解析】求轨迹令向量为由切平面垂直又已知 为椭球面面，得上的动点，所以,故动点的切平面的法为 的轨迹再计算曲面积分因为曲线 在又对方程面的投影为两边分别对求导可得解之得于是【考点】高等数学多元函数积分学两类曲面积分的概念、性质及计算(20)设同的解(I)求；的通解。.已知线性方程组存在 2 个不(II)求方程组【解析】(I)因为已知线性方程组存在 2 个不同的解，所以故知当
10、时，,显然当时，此时方程组无解，舍去，因为即，(II)有解，所以，时，已知所以的通解为其中 为任意常数。【考点】线性代数线性方程组非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解(21)已知二次型,且 的第三列为(I)求矩阵；(II)证明【解析】(I)二次型在正交变换下的标准形为。是矩阵 在特征为正定矩阵，其中 为 3 阶单位矩阵。在正交变换下的标准形为，可知二次型矩阵 的特征值是又因为 的第三列为值的特征向量。，可知根据实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，设 关于的特征向量为则取,即，(II)由于矩阵 的特征值是因为,那么的特征值为正定。，的特征值全大于，所以【考点】线性代数二
11、次型二次型及其矩阵表示，二次型的秩，二次型的标准形和规范形，二次型及其矩阵的正定性(22)设二维随机变量的概率密度为求常数 及条件概率密度【解析】。又即当,等价于时，【考点】概率论与数理统计多维随机变量及其分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度，常用二维随机变量的分布(23)设总体 的概率分布为其中参数未知，以表示来自总体 的简单随机样本（样,试求常数使本容量为）中等于 的个数为 的无偏估计量，并求 的方差。【解析】记,则故要令为 的无偏估计量，则有可得,此时为 的无偏估计量此时，,由于故因为，所以【考点】概率论与数理统计参数估计估计量的评选标准，区间估计的概念，单个正态总体的均值和方差的区间估计