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1、精品文档高三数学第二轮复习教案高三数学第二轮复习教案第第 8 8 讲讲导数应用的题型与方法导数应用的题型与方法（4 4 课时）课时）一、考试内容一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求二、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。熟记基本导数公式（c,xm(m 为有理数)，sin x,cos x,ex,ax,lnx,logax 的导数）。掌握两个函数四
2、则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、复习目标三、复习目标1了解导数的概念，能利用导数定义求导数掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念了解曲线的切线的概念在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念2熟记基本导数公式（c,x(m 为有理数)，sin x,cos x,e,a,lnx,logax 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数
3、求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用 3了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确精品文档mxx精品文档运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。4了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1 1导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线
4、）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。2 2关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。3 3导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。4 4曲线的切线曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的如图31 中的曲线 C 是我们熟
5、知的正弦曲线y=sinx直线l1与曲线 C有惟一公共点 M，但我们不能说直线l1与曲线 C 相切；而直线l2尽管与曲线 C 有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线 C 在点 N 处的切线因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线5 5瞬时速度瞬时速度精品文档精品文档在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间
6、运动的平均速度的极限来定义瞬时速度6 6导数的定义导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x 是自变量 x 在x0处的增量(或改变量)(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果 x0 时，y=f(x)在点x0处可导或可微，才能得到f(x)在点x0处的导数(3)如果函数 y=f(x)在点x0处可导，那么函数 y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知)反之不一定成立例如函数y=|x|在点 x=0 处连续，但不可导由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量
7、y f(x0 x)f(x0)；y有极限，那么函数x(2)求平均变化率yf(x0 x)f(x0)；xxy。x0 x(3)取极限，得导数f(x0)lim7 7导数的几何意义导数的几何意义函数 y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线 y=(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步：(1)求出函数 y=f(x)在点x0处的导数，即曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y y0 f(x0)(x x0)特别地，如果曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于 y 轴，这时
8、导数不存，根精品文档精品文档据切线定义，可得切线方程为x x08和（或差）的导数和（或差）的导数上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数f(x)x x的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。32f(x x)f(x)(x x)3(x x)2(x3 x2)limf(x)limx0 x0 xx3x2x 3x(x)2(x)3 2xx (x)2 limx0 x lim(3x2 2x 3xx (x)2 x)x02 3x 2x32232我们不难发现(x x)3x 2x (x)(x)，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，这就
9、是两个函数的和（或差）的求导法则。9 9积的导数积的导数两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（具体过程见课本P120）说明：（1）(uv)uv；（2）若 c 为常数，则(cu)=cu。1010商的导数商的导数两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：设y f(x)u(x)v(x)y u(x x)u(x)u(x x)v(x)u(x)v(x x)v(x x)v(x)v(x x)v(x)u(x x)u(x)v(x)u(x)v(x x)v(x)v(x x)v(x)精品文档精品文档u(x x)u(x)v(x
10、x)v(x)v(x)u(x)yxxxv(x x)v(x)因为 v(x)在点 x 处可导，所以它在点x 处连续，于是x0 时，v(x+x)v(x)，从而yu(x)v(x)u(x)v(x)u uv uvy即。22x0 xvvv(x)lim说明：（1）uvuuuv uv；（2）2vvv学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。11.11.导数与函数的单调性的关系导数与函数的单调性的关系f(x)0与f(x)为增函数的关系。f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f
11、(x)x3在(,)上单调递增，但f(x)0，f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系。若将f(x)0的根作为分界点，因为规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f(x)0。当f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件。f(x)0与f(x)为增函数的关系。f(x)为增函数，一定可以推出f(x)0，但反之不一定，因为f(x)0，即为f(x)0或f(x)0。当函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中
12、阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到精品文档精品文档端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知y f(x)（1）分析y f(x)的定义域；（2）求导数y f(x)（3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数y f(x)在某个区间内可导。函
13、数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。12.12.y f(x)xa,b（1）f(x)0恒成立y f(x)为(a,b)上 对任意x(a,b)不等式f(a)f(x)f(b)恒成立（2）f(x)0恒成立y f(x)在(a,b)上 对任意x(a,b)不等式f(a)f(x)f(b)恒成立五、注意事项五、注意事项1导数概念的理解2利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大
14、值与最小值复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。3 3要能正确求导，必须做到以下两点：精品文档精品文档（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。4 4求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：（1）适当
15、选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f()，=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导(y)，中间变量对自变量求导(x)；最后求yx，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解求导回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。六、范例分析六、范例分析x2例例 1 1y f(x)ax bx2思路思路：y f(x)ax bx1x 1在x 1处可导，则a b x 1x 1在x 1处可导，必连续limf(x
16、)1x1x 1lim f(x)a bf(1)1a b 1limyy 2lim aa 2b 1x0 xxx0例例 2 2已知 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)=b，求下列极限：f(a h2)f(a)f(a 3h)f(a h)（1）lim；（2）limh0h0h2h分析：分析：在导数定义中，增量x 的形式是多种多样，但不论x 选择哪种形式，y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：解：（1）limh0f(a 3h)f(a h)f(a 3h)f(a)f(a)f(a h)limh02h2h精品文档精品文档f(a
17、3h)f(a)f(a)f(a h)limh0h02h2h3f(a 3h)f(a)1f(a h)f(a)limlim2h03h2h0 h31f(a)f(a)2b22 lim f(a h2)f(a)f(a h2)f(a)limh（2）lim2h0h0hhf(a h2)f(a)limh f(a)0 0 limh0h0h2说明：说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例例 3 3观察(x)nxnn1，(sin x)cosx，(cosx)sin x，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。f(x
18、x)f(x)f(x)x0 xf(x x)f(x)f(x x)f(x)f(x)lim limx0 x0 x xf(x x)f(x)lim f(x)x0 解：解：若f(x)为偶函数f(x)f(x)令lim 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f f(x)f(x)(x)f(x)可导的偶函数的导函数是奇函数2x在点（1，1）处的切线方程；x21t 12（2）运动曲线方程为S 2 2t，求 t=3 时的速度。t例例 4 4（1）求曲线y 分析：分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x)在x0处的导数就是曲线 y=f(x)在点p(x0,y0)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对
19、时间的导数。精品文档精品文档2(x21)2x2x22x2解：解：（1）y，2(x21)2(x 1)22 2 0，即曲线在点（1，1）处的切线斜率 k=042x因此曲线y 2在（1，1）处的切线方程为 y=1x 1y|x1（2）S t 1(2t2)2tt2 2t(t 1)12 4t 4tt4t2t3S|t3 例例 5 5 求下列函数单调区间（1）y f(x)x 3122612 11。9272712x 2x 52x21（2）y xk2 x(k 0)（3）y x（4）y 2x ln解：解：（1）y 3x x 2(3x 2)(x 1)x(,)(1,)时y 02223x(222,1)y 0(,)，(1,
20、)(,1)333x21（2）y(,0)，(0,)x2k2（3）y 12xx(,k)(k,)y 0 x(k,0)(0,k)y 0精品文档精品文档(,k)，(k,)(k,0)，(0,k)14x21（4）y 4x定义域为(0,)xx11x(0,)y 0 x(,)y 022例例 6 6求证下列不等式x2x2 ln(1 x)x（1）x x(0,)22(1 x)（2）sin x 2xx(0,2)（3）x sin x tanx xx(0,2)x21x21)f(0)0f(x)1 x 0证：证：（1）f(x)ln(1 x)(x 21 xx 1y f(x)为(0,)上x(0,)f(x)0恒成立x2x2ln(1 x
21、)g(0)0ln(1 x)x g(x)x 2(1 x)24x2 4x 2x212x2g(x)1 0221 x4(1 x)4(1 x)x2ln(1 x)0恒成立g(x)在(0,)上x(0,)x 2(1 x)（2）原式sin x2令f(x)sin x/xx2cosx(x tan x)x(0,)(0,)f(x)0f(x)22x222xf()sin x 2（3）令f(x)tan x 2x sin xf(0)0精品文档x(0,)cosx 0 x tan x 0精品文档(1cosx)(cosx sin2x)f(x)sec x 2 cosx 2cos x22tan x x x sin xx(0,)f(x)0
22、(0,2)例例 7 7利用导数求和：（1）（2）。；分析：分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式(x)nxnn1，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：解：（1）当 x=1 时，当 x1 时，；两边都是关于 x 的函数，求导得，即（2）两边都是关于 x 的函数，求导得令 x=1 得即精品文档，。精品文档例例 8 8求满足条件的a（1）使y sin xax为R上增函数（2）使y x ax a为R上（3）使f(x)ax x x 5为R上解：解：（1）y cosx aa 1a 1时y sin x x也成立a1,)（2）
23、y 3x aa 0a 0时y x也成立a0,)（3）a,)23323131x 11 lnx 1xx11111（2）nNn 2求证 lnn 123n2n 111（1 1）证：）证：令1 tx 0t 1x xt 111原不等式1 lnt t 1令f(t)t 1lntf(t)1tt例例 9 9（1）x(0,)求证t(1,)f(t)0t(1,)f(t)f(t)f(1)0t 1 lnt令g(t)lnt 1g(t)1t11t 12tt2tt(1,)g(t)0t(1,)g(t)g(t)g(1)0lnt 1（2）令x 1,2n 1上式也成立1t1x 11 lnx 1xx11123n11 ln ln lg123
24、n12n 12n 111111即 lnn 123n2n 1将各式相加精品文档精品文档例例 1010（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19）设a 0，求函数f(x)x ln(x a)(x(0,)的单调区间.分析：分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：解：f(x)12 x1(x 0).x a当a 0,x 0时f(x)0 x2(2a 4)x a2 0.f(x)0 x2(2a 4)x a2 0（i）当a即1时，对所有x 0，有x2(2a 4)a2 0.f(x)0，此时f(x)在(0,)内单调递增.（ii）当a即1时，对x 1，
25、有x2(2a 4)x a2 0，f(x)0，此时f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数f(x)在 x=1 处连续，因此，f(x)在（0，+）内单调递增函数（iii）当0 解得xa 1时，令f(x)0，即x2(2a 4)x a2 0.2 a 2 1 a,或x 2 a 2 1 a.因此，函数f(x)在区间(0,2 a 2 1 a)内单调递增，在区间(2 a 2 1 a,)内也单调递增.令f(x)0,即x2(2a 4)x a2 0，1 a x 2 a 2 1 a.解得2 a 2因此，函数（2 a-2 1 a,2 a 2 1 a)内单调递减.f(x)在区间说明：说明：本题用传统作差比较法无法划分函数
26、的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数。如果f(x)0，则f(x)为常数。精品文档精品文档例例 1111已知抛物线y x 4与直线 y=x+2 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点的切线分别为l1和l2。（1）求 A、B 两点的坐标；（2）求直线l1与l2的夹角。分析：分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解解（1）由方程组2y x24,y x 2,解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由 y=2x，则y|x2 4，y|x3
27、6。设两直线的夹角为，根据两直线的夹角公式，tan46101(4)6231023所以 arctan说明：说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。exa例例 1212（2001 年天津卷）设a 0，f(x)是R上的偶函数。aex（I）求a的值；（II）证明f(x)在(0,)上是增函数。exa1xx aex，解：解：（I）依题意，对一切xR有f(x)f(x)，即aeae1x1)(e x)0对一切xR成立，ae12由此得到a 0，a 1，a又a 0，a 1。(a 精品文档精品文档（II）证明：由f(x)e e当x(0,)时，有exxx，得f
28、(x)e exx ex(e2x1)，(e2x1)0，此时f(x)0。f(x)在(0,)上是增函数。例例 1313（2000 年全国、天津卷）设函数f(x)（I）解不等式f(x)1；（II）证明：当a 1时，函数f(x)在区间0,)上是单调函数。解解 1 1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。（II）作差比较（略）。解解 2 2：f(x)x21ax，其中a 0。xx 1x2 a（i）当a 1时，有x 121 a，此时f(x)0，函数f(x)在区间(,)上是单调递减函数。但f(0)1，因此，当且仅当x 0时，f(x)1。（ii）当0 a 1时，解不等式f(x)0，得x 上是单调递减函数。解方程f(
29、x)1，得x 0或x a1 a2，f(x)在区间(,a1 a22a1 a2，0 a1 a22a1 a2，当且仅当0 x 2a1 a2时，f(x)1，综上，（I）当0 a 1时，所给不等式的解集为：x|0 x；21 a2a精品文档精品文档当a 1时，所给不等式的解集为：x|x 0。（II）当且仅当a 1时，函数f(x)在区间0,)上时单调函数。例例 1414（2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷理科类20）已知a 0，函数f(x)1 ax2,x(0,),设0 x1，记曲线y f(x)在点xaM(x1,f(x1)处的切线为l。（）求l的方程；（）设l与x轴的交点为(x2,0)，证明：
30、0 x2解：解：（1）f(x)的导数f(x)111若x1，则x1 x2aaa1，由此得切线l的方程2xy 1 ax11 2(x x1)，x1x1（2）依题得，切线方程中令y 0，得x2 x1(1 ax1)x1 x1(2 ax1)，其中0 x1（）由0 x12，a2121，x2 x1(2 ax1)，有x2 0，及x2 a(x1)，aaa1110 x2，当且仅当x1时，x2。aaa11（）当x1时，ax11，因此，x2 x1(2 ax1)x1，且由（），x2，aa1所以x1 x2。a例例 1515（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷21）已知a 0,n为正整数.（）设y (x a)n
31、,证明y n(x a)n1；（）设fn(x)xn(x a)n,对任意n a,证明fn1(n1)(n1)fn(n).分析：分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。精品文档精品文档n证明证明：（）因为(x a)nCkn(a)nkxk，k0n所以y kCkn(a)nkxk1k0nnCk1nkn1(a)xk1 n(x a)n1.k0（）对函数fn(x)xn(x a)n求导数:fn(x)nxn1 n(x a)n1,所以f1n(n)nnn1(n a)n.当x a 0时,fn(x)0.当x a时,fn(x)xn(x a)n是关于x的增函数.因此,当n a时,(n 1
32、)n(n 1 a)n nn(n a)nfn1(n1)(n1)(n1)n(n1a)n (n1)(nn(na)n)(n1)(nnn(na)n1)(n1)fn(n).即对任意n a,f1)fn1(n1)(nn(n).七、强化训练七、强化训练1设函数 f(x)在xf(x0 x)f(x0)0处可导，则x等于（）limx0Af(x0)Bf(x0)C f(x0)D f(x0)2若f(x0 2x)f(x0)limx03x1，则f(x0)等于（）A23B32C3D23曲线y x33x上切线平行于 x 轴的点的坐标是（）A（-1，2）B（1，-2）C（1，2）D（-1，2）或（1，-2）4 若函数 f(x)的导数
33、为 f(x)=-sinx，则函数图像在点（4，（f 4）处的切线的倾斜角为（A90B0C锐角D钝角精品文档）精品文档5函数y 2x 3x 12x 5在0，3上的最大值、最小值分别是（）A5，15B5，4C4，15D5，16326一直线运动的物体，从时间t 到 t+t 时，物体的位移为s，那么limA从时间 t 到 t+t 时，物体的平均速度B时间 t 时该物体的瞬时速度C当时间为t 时该物体的速度D从时间 t 到 t+t 时位移的平均变化率s为（）t0t7关于函数f(x)2x 6x 7，下列说法不正确的是（）A在区间（，0）内，f(x)为增函数B在区间（0，2）内，f(x)为减函数C在区间（2
34、，）内，f(x)为增函数D在区间（，0）(2,)内，f(x)为增函数8对任意 x，有f(x)4x，f(1)=-1，则此函数为（）Af(x)xBf(x)x 2Cf(x)x 1Df(x)x 29函数 y=2x3-3x2-12x+5 在0,3上的最大值与最小值分别是（）A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-1610设 f(x)在x0处可导，下列式子中与f(x0)相等的是（）（1）lim4444332x0f(x0)f(x0 2x)f(x0 x)f(x0 x)；（2）lim；x02xxf(x0 2x)f(x0 x)f(x0 x)f(x0 2x)（4）lim。x0 xx（3）limx0A（1）
35、（2）B（1）（3）C（2）（3）D（1）（2）（3）（4）11（2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷理工农医类16）f(x)是定义在区间c,c上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数 g（x）的叙述正确的是（）精品文档精品文档A若 a0,则函数 g（x）的图象关于原点对称.B若 a=1，2b0,则方程 g（x）=0 有大于 2 的实根.C若 a0,b=2,则方程 g（x）=0 有两个实根.D若 a1,b2,则方程 g（x）=0 有三个实根.12若函数 f(x)在点x0处的导数存在，则它所对应的曲线在点(x0,f(x0)处的切线方程是_。13设f(x)
36、x 1，则它与 x 轴交点处的切线的方程为_。xh014设f(x0)3，则limf(x0 h)f(x03h)_。h3215垂直于直线 2x-6y+1=0，且与曲线y x 3x 5相切的直线的方程是_16已知曲线y x 1x，则y|x1_。17y=x2ex的单调递增区间是18曲线y 33x21在点(1,34)处的切线方程为_。19P 是抛物线y x上的点，若过点 P 的切线方程与直线y 处的切线方程是_。20在抛物线y x上依次取两点，它们的横坐标分别为x11，x2 3，若抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行，则P 点的坐标为_。21曲线f(x)x在点 A 处的切线的斜率为 3，求该曲线
37、在 A 点处的切线方程。22在抛物线y x上求一点 P，使过点 P 的切线和直线 3x-y+1=0 的夹角为23221x 1垂直，则过 P 点2。4x(x 0)23判断函数f(x)在 x=0 处是否可导。x(x 0)24求经过点（2，0）且与曲线y 1相切的直线方程。x精品文档精品文档25求曲线 y=xcosx 在x 26已知函数 f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d.若 f(2x+1)=4g(x)，且 fx=g(x)，f(5)=30，求 g(4).27 已知曲线C12处的切线方程。:y x2与C2:y (x 2)2。直线 l 与C1、C2都相切，求直线 l 的方程。28设 f(
38、x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求 f(1)。29求曲线y 11在点(1,)处的切线方程。(3x x2)21630求证方程xlgx 1在区间(2,3)内有且仅有一个实根31a、b、x、y均为正数 且a b 1 nNn 1求证：ax by(ax by)32（1）求函数y nnnx在 x=1 处的导数；2（2）求函数y x ax b（a、b 为常数）的导数。33证明：如果函数 y=f(x)在点x0处可导，那么函数 y=f(x)在点x0处连续。34（2002 年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类21）3已知a 0,函数f(x)x a,x0,)，设x1 0，记曲线y f(x)在点M
39、(x1,f(x1)处的切线为l。（）求l的方程；（）设l与x轴的交点为(x2,0)，证明：x21a311a3，则a3；若x1 x2 x1。八、参考答案八、参考答案15 CBDCA；610 BDBAB；11 B12y f(x0)f(x0)(x x0)13y=2(x-1)或 y=2(x+1)精品文档精品文档14-6153x+y+6=01617(-,-2)与(0,+)18x 32y 1 0192x-y-1=020（2，4）21由导数定义求得f(x)3x，令3x2 3，则 x=1。当 x=1 时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为 y-1=3(x-1)即 3x-y-2=0；当 x=
40、-1 时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为 y+1=3(x+1)即 3x-y+2=0。22由导数定义得 f(x)=2x，设曲线上 P 点的坐标为(x0,y0)，则该点处切线的斜率为212kp 2x0，根据夹角公式有解得x0 1或x02x0311 2x031，由x0 1，得y01；41111y 由x0，得016；则 P（-1，1）或P(,)。44 16yf(0 x)f(0)x 0 lim lim1，x0 xx0 x0 xxyf(0 x)f(0)x 0lim lim lim 1，x0 xx0 x0 xxyylim，limx0 xx0 xylim不存在。x0 x2
41、3lim函数 f(x)在 x=0 处不可导。24可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为P(x0,y0)。精品文档精品文档11x xx0 x由y|xx0 lim0 limx0 x0 x(x x)xx00 lim11 2，x0 x(x x)x000得所求直线方程为y y0 1(x x0)。2x02由点（2，0）在直线上，得x0y0 2 x0，再由P(x0,y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01。所求直线方程为 x+y-2=0。25Y=xcosx+x(cosx)=cosx-xsinxy|2x 2，切点为,0，2切线方程为：y 0 即2x 4y 2(x)22 0。26 解：由已知(
42、2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)=2x+a=2x+ca=c 又知 52+5a+b=305a+b=5由知 a=c=2.依次代入、知 b=5，d=g(4)=42+24=23精品文档精品文档27解：设 l 与C1相切于点P(x1,x1)，与C2相切于Q(x2,(x2 2)。对C1:y 2x，2则与C1相切于点 P 的切线方程为y x1 2x1(x x1)，即y 2x1x x1。222对C2:y 2(x 2)，则与C2相切于点 Q 的切线方程为2y (x2 2)2 2(x2 2)(x x2)，即y 2(x2 2)x x2 4。两切线重合，2x1 2(x22)x x 42122，解
43、得x1 0,x1 2或，x 0 x 2;22直线方程为 y=0 或 y=4x-4。28解：令 x=1 得29解：y (3x x)，则y 2223 2x23(3x x)55。332415(x 1)即 5x+32y-7=0。切线方程为y 1632y|x1 230 解：y f(x)xlgx 1y lgx lg10 lg10 xx(2,3)y 0y f(x)在(2,3)f(2)lg精品文档4 0f(3)lg2.7 010精品文档y f(x)在(2,3)内与x轴有且仅有一个交点 方程xlgx 1在(2,3)内仅有一解31证：由对称性不妨设x y（1）若x y显然成立（2）若x y设f(x)ax by(a
44、x by)f(x)naxn1nnn nbyn1 n(ax by)n1a na(a b)n1xn1(ax by)n1 na(ax bx)n1(ax by)n1x yf(x)0 x(y,)时f(x)f(x)f(y)0ax by(ax by)32分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。解解（1）y 1 x 1nnny1 x 11，xx1 x 1limy111 limy|x1。x0 xx021 x 12，22（2）y(x x)a(x x)b(x ax b)2xx (x)ax，2y(2x a)x (x)2(2x a)x。xxlimy lim(2x a)x 2x ax0 xx0y=2x+a精
45、品文档精品文档说明说明 应熟练掌握依据导数的定义求函数的导数的三个步骤。33分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点x0处连续，必须证明lim f(x)f(x0)，由于函数 f(x)在点x0处可导，因此根据函数在点x0处可xx0导的定义，逐步实现这个转化。已知：已知：lim证明：证明：考虑lim f(x)，令x x0 x，则x x0，等价于x0，于是xx0 x0f(x0 x)f(x0)f(x0)求证：求证：lim f(x)f(x0)xx0 x limf(x1 x)f(x0)f(x0)x0 f(x0 x)f(x0)limx f(x0)x0 x f(x0 x)f(x0
46、)f(x0)limxx0 xf(x0 x)f(x0)f(x0)lim lim xx0 x0 x f(x0)0 f(x0)f(x0)函数 f(x)在点x0处连续。说明：说明：函数 f(x)在点x0处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点 x=0 处有极限且连续，但导数不存在。34解：（1）f(x)的导数f(x)3x，由此得切线l的方程2y(x13 a)3x12(x x1)，精品文档精品文档x13a2x13 a（2）依题意，在切线方程中令y 0，得x2 x1，3x123x12131111132332（）x2a(2x a 3x a)(x a)(2x1 a3)0，111223x13x1x2 a，当且仅当x1 a时取等成立。1313x13a（）若x1 a，则x a 0，x2 x1 0，且由（）x2 a3，23x131131所以a x2 x1。13精品文档