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1、立体几何中的公理、定理和常用结论立体几何中的公理、定理和常用结论一、定理一、定理1公理公理 1 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内若若 A Al l，B Bl l，A A，B B，则，则 l l 2公理公理 2 2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P P，P P l l，且，且 P Pl l3公理公理 3 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论推论 1 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论推论 2 2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论推论 3 3经过两条平行直线，有
2、且只有一个平面4异面直线的判定定理异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线（若 a，A/，B，B/a，则直线 AB 和直线 a 是异面直线）5公理公理 4 4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等7定理定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线若若 b bc c，a ab b，则，则 a ac c8直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和
3、这个平面平行若若 a a，b b，a ab b，则，则 a a 9直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行若若 a a，a a，b b，则，则 a ab b10直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直若若 m m，n n，m m n nO O，l lm m，l ln n，则，则 l l 11：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直若若 a ab b，a a，则，则 b b 12直线与平面垂直的性质定
4、理直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行若若 a a，b b，则，则 a ab b13平面与平面平行的判定定理：平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行若若 a a ，b b ，a a b bA A，a a，b b，则，则 14平面与平面平行的性质定理：平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行若若 ，a a，b b，则，则 a ab b15定理定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面若若 ，a a，则，则 a a 16两个平面垂直的
5、判定定理：两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直若若 l l，l l，则，则 17两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若若 ，l l，a a，a al l，则，则 a a 18两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内若若 ，P P，P Pa a，a a，则，则 a a 19长方体的体积公式：长方体的体积公式：V长方体abc，其中 a，b，c 分别为长方体的长、宽、高20祖暅原理
6、祖暅原理：两个等高（夹在两个平行平面之间）的几何体，如果在任何等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等二、常识二、常识1过空间一点，与已知平面垂直的直线有且只有一条2过空间一点，与已知直线垂直的平面有且只有一个3经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行三、常用结论三、常用结论（可用来解决选择、填空题）1空间四点 A、B、C、D，若直线 AB 与 CD 异面，则 AC与 BD，AD 与 BC 也一定异面2如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内3如果过平面内一点的直线垂直于与此平面垂直的一条直线，那么这条直线在此平面内4夹在两个平行平面间的平行线段相
7、等5经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面与另一条直线平行6若直线 a 同时平行于两个相交平面，则 a 一定也平行于这两个相交平面的交线7如果一条直线垂直于一个三角形的两边，那么它也垂直于第三边8如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在直线上9 如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行10平行于同一平面的两个平面平行11空间四面体 ABCD 中，若有两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直，且顶点 A 在平面 BCD 内的射影是BCD的垂心（类似地，顶点 B 在平面 ACD 内的射影是ACD 的垂心，）12空间四面体 PABC 中，若 PA、PB、PC 两两垂直，则点 P 在平面 ABC 内的射影是ABC 的垂心；ABC 的垂心 O 也是点 P 在平面 ABC 内的射影（PO平面 ABC）13空间四面体 PABC 中，若 PAPBPC，则点 P 在平面 ABC 内的射影是ABC 的外心若三个侧面上的斜高PH1PH2PH3，则点 P 在平面 ABC内的射影是ABC 的内心14如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面的交线垂直于第三个平面若若 ，P P，P Pa a，a a，则，则 a a