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1、材料仅供参考数学选修 2-2 知识点总结一、导数1函数的平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1 x)f(x1)yfx2 x1xxx注 1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导 函 数 的 概 念:函 数y f(x)在x x0处 的 瞬 时 变 化 率 是f(x0 x)f(x0)y，则称函数y f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫 limx0 xx0 xlim做y f(x)在x0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=limf(x0 x)f(x0)y.limx0 xx0 x3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率
2、；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景1切线的斜率；2瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数y cy xnnN*y axa 0,a 1y exy0y nxn1y axlnay exy logaxa 0,a 1,x 0y y ln xy sin x1xlna1y xy cos xy sin xy cosx6、常见的导数和定积分运算公式:假设fx，gx均可导可积，则有：和差的导数运算积的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x).材料仅供参考特别地：CfxCf x f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)2g(x)商的
3、导数运算1g(x)特别地：2g xgx 复合函数的导数yx yuux微积分根本定理fxdx ab其中Fx fx和差的积分运算f(x)f(x)dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特别地：积分的区间可加性bakf(x)dx kf(x)dx(k为常数)cbacbaf(x)dx f(x)dxf(x)dx(其中a c b)用导数求函数单调区间的步骤:求函数 f(x)的导数f(x)令f(x)0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.令f(x)0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前肯定要先看原函数的定义域。7.求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
4、(2)求函数 f(x)的导数f(x)(3)求方程f(x)=0 的根(4)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在a,b上的极值；.材料仅供参考将f(x)的各极值与f(a),f(b)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求
5、曲边梯形的思想和步骤:分割近似替代求和取极限“以直代曲的思想10.定积分的性质依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 11dx b aababb性质 5 假设f(x)0,xa,b，则f(x)dx 0推广：f1(x)f2(x)a fm(x)dx f1(x)dxf2(x)dxaabbfm(x)ab推广:f(x)dx f(x)dxf(x)dxaac1bc1c2f(x)dxckb11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.(l 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；2当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负
6、值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积12物理中常用的微积分知识1位移的导数为速度，速度的导数为加速度。2力的积分为功。二、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由局部到整体，由个别到一般的推理。14.归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点:归纳推理的前提是几个已知的特别现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的
7、性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有制造性的推理，通过归纳推理的猜测，可以作为进一步研究的起点，援助人们发觉问题和提出问题。16.类比推理的定义：.材料仅供参考依据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特别到特别的推理。17.类比推理的思维过程观察、比拟联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义：演绎推理是依据已有的事实和正确的结论包含定义、公理、定理等按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特别的推理。19演绎推理的主要形式：三段论20.“
8、三段论可以表示为：大前题：M 是 P小前提：S 是 M结论：S 是 P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特别对象；是结论，它是依据一般性原理，对特别情况做出的推断。21.直接证明是从命题的条件或结论出发，依据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包含综合法和分析法。22.综合法就是“由因导果，从已知条件出发，不断用必要条件替代前面的条件，直至推出要证的结论。23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者肯定成立的式子，可称为“由果索因。要注意表达的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件.分析法和综合法常结
9、合使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否认的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否认是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤1假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。26 常见的“结论词与“反义词原结论词反义词至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个一个也没有至少有两个至多有 n-1 个至少有 n+1 个原结论词对任意 x 不成立p 或 qp 且 q反义词存在 x 使成立对全部的 x 都成立 存在 x 使不成立p且qp或q27.反证法的思维方法:正难则反28.归缪矛
10、盾1与已知条件矛盾:2与已有公理、定理、定义矛盾；3自相矛盾29数学归纳法只能证明与正整数有关的数学命题的步骤(1)证明：当 n 取第一个值nn N时命题成立；00.材料仅供参考(2)假设当 n=k(kN N*，且 k n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0开始的全部正整数 n 都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。三、数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如a+bi 的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a叫实部，b叫 虚部，数集C a bi|a,bR叫做复数集。规定：abi cdi a=c 且，b=d 强调：两
11、复数不能比拟大小，只有相等或不相等。实数(b 0)31数集的关系：复数Z一般虚数(a 0)虚数(b 0)纯虚数(a 0)32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.复平面：依据复数相等的定义，任何一个复数z a bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数z abi
12、的模(也叫绝对值)记作z或a bi。由模的定义可知：z a bi a2b235.复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：z1 a bi与z2 c di，则z1 z2 a c (b d)i。注：注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：(a bi)(c di)ac bdad bci。复数的除法法则：因子36.共轭复数:两复数a bi与a bi互为共轭复数，当b 0时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律常见的运算规律a bi(a bi)(c di)ac bdbc adi其中cdi叫做实数化c di(c di)(c di)c2 d2c2 d2(9)设13i3n12,3n2,3n31是 1 的立方虚根，则1 0，2.