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1、二二次次函函数数知识要点知识要点一二次函数概念一二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如y ax2bxc（a，b，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。2.二次函数y ax2bxc的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2（2）a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二二次函数的基本形式二二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：a的符开口方向顶点坐标对称轴号性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，a 0向上0，0y轴y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，a 0向下
2、0，0y轴y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.y ax2c的性质：a的符号开口方向顶点对称轴性质坐标a 00，c向上x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y轴y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值cx 0时，y随x的增大而减小；x 0时，a 00，c向下y轴y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c3.y axh的性质：a的符号2开口方向顶点坐标对称轴性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，a 0向上h，0X=hy随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 x h时，y随x的增大而减小；x h时，a 0向下h，0X=hy随x的增大而增大；x
3、h时，y有最大值04.y axhk的性质：开口方a的符号2顶点坐标对称轴向性质x h时，y随x的增大而增大；x h时，ya 0向上h，kX=h随x的增大而减小；x h时，y有最小值kx h时，y随x的增大而减小；x h时，ya 0向下h，kX=h随x的增大而增大；x h时，y有最大值k2y ax bxc的性质的性质三二次函数三二次函数b4acb2bb1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ，顶点坐标为，当 x 4a2a2a2a时，y随x的增大而减小；当x bb时，y随x的增大而增大；当x 时，y有最小值2a2a4acb24ab4acb2bb2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x ，顶点
4、坐标为，当x 4a2a2a2a时，y随x的增大而增大；当x bb时，y随x的增大而减小；当x 时，y有最大值2a2a4acb24a四二次函数解析式的表示方法四二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a 0）；知道三点的坐标用一般式。2.顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数，a 0）；知道顶点坐标或对称轴和最值时用顶点式。3.交点式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标），当函数与 x 轴有两个交点时，用交点式。注意中间的“-”。经典例题经典例题例例 1 1函数y(m1)x2m212mx1是抛物线，则m.例例
5、2.2.二次函数y 3x 6x5的图像的顶点坐标是（）A（-1，8）B.（1，8）2C（-1，2）D（1，-4）例例 3 3.若二次函数y ax bx4的图像开口向上，与 x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时x1 1,x2 2时，对应的y1与y2的大小关系是（）Ay1y2D.不确定例例 4 4函数 y=ax1 与 y=ax2bx1（a0）的图象可能是（）A2BCD例例 5 5 已知=次函数 yax+bx+c 的图象如图则下列 5 个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab 中，其值大于 0 的个数为（）A2B 3C 4D 5例例 6 6已
6、知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b24ac0；abc0；a+c0；9a+3b+c0其中，正确的结论有（）A4 个例例 7.7.将抛物线y 2x向下平移 1 个单位，得到的抛物线是（）Ay 2(x1)22B3 个C2 个D1 个By 2(x1)2Cy 2x 12Dy 2x 12例例 8 8 某商品的进价每件为50 元，现在的售价为每件60 元，每星期可卖出70 件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10 元（售价每件不能高于 140 元），那么每星期少卖5 件，设每件涨价 x 元（x 为 10 的正整数倍），每周销售量为 y 件。求 y 与 x 的函数关系式及自
7、变量x 的取值范围。如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？同步练习同步练习1下列函数中，是二次函数的有（）y=1x2y=y=x（1x）y=（12x）（1+2x）A1 个B2 个C3 个D4 个2当 ab0 时，y=ax2与 y=ax+b 的图象大致是（）ABCD3关于抛物线 y=x2（a+1）x+a2，下列说法错误的是（）A开口向上B当 a=2 时，经过坐标原点 OCa0 时，对称轴在 y 轴左侧D不论 a 为何值，都经过定点（1，2）4抛物线 y=3（x4）2+5 的顶点坐标为（）A（4，5）B（4，5）C（4，5）D（4，5）5当二次函数 y=x2+4x+9 取
8、最小值时，x 的值为（）A2B1C2D96与 y=2（x1）2+3 形状相同的抛物线解析式为（）Ay=1+x2By=（2x+1）2Cy=（x1）2Dy=2x27若点 A（4，y1），B（1，y2），C（1，y3）在抛物线 y=（x+2）21 上，则（）Ay1y3y2By2y1y3Cy3y2y1Dy3y1y28已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（1，2），则此二次函数的解析式为（）Ay=3x2+6x+1By=3x2+6x1Cy=3x26x+1Dy=3x26x+19抛物线 y=x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表所示：xy2014061624从上表可知，下
9、列说法中，错误的是（）A抛物线于 x 轴的一个交点坐标为（2，0）B抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）C抛物线的对称轴是直线x=0D抛物线在对称轴左侧部分是上升的10如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；3a+c=0；其中说法正确的是（）ABCD11如果函数 y=（k3）+kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是12已知，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，当 x=2 时，y 的值为13二次函数 y=（k+2）x2的图象如图所示，则 k 的取值范围是14二次函数y=x2bx+
10、c 的图象上有两点 A（3，8），B（5，8），则此抛物线的对称轴是直线 x=15抛物线的顶点在（1，2），且过点（2，3），则函数的关系式：2+k 的图象与 x 轴交于 A，16 如图，二次函数 y=a（x2）B 两点，且点 A 的横坐标为1，则点 B 的横坐标为拓展提高拓展提高1在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数 y=ax2+b 的大致图象是（）ABCD2如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与X 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中2x11，0 x21，下列结论：4a2b+c0；2ab0；a+c1；b2+8a4ac，其中正确的有（）A1 个B
11、2 个C3 个D4 个3如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象过点（1，0），顶点为（1，2），则结论：abc0；x=1 时，函数最大值是 2；4a+2b+c0；2a+b=0；2c3b其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个4如图，已知顶点为（3，6）的抛物线 y=ax2+bx+c 经过点（1，4），则下列结论中错误的是（）Ab24acBax2+bx+c6C关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=4 的两根分别为5 和1D若点（2，m），（5，n）在抛物线上，则 mn5 已知抛物线 y=x2（4m+1）x+2m1 与 x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另
12、一个交点的横坐标小于 2，并且抛物线与 y 轴的交点在点（0，取值范围是（）ABCD全体实数）的下方，那么 m 的6在如图所示的二次函数y=ax2+bx+c 的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：a0，b0，c0；b24ac=0；c；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有（）A1 条7已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列7 个结论正确的有个ac02a+b=04a+2b+c0对于任意 x 均有 ax2+bxa+b3a+c=0b+2c0当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小B2 条C3 条D4 条8当1x2 时，二次函数
13、 y=x2+2kx+1 的最小值是1，则 k 的值可能是9如图，抛物线y=x2+2x+3 与 y 轴交于点 C，点D（0，1），点P 是抛物线上的动点若 PCD 是以 CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为10如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=OC，则下列结论：abc0；中正确结论的序号是；acb+1=0；OAOB=其11某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1 元，其销量可增加 10 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利润
14、多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元若商场经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价多少元？求出 y 与 x 之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当 x 取何值时，商场获利润不少于2160 元12 某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1 次 在 112 月份中，公司前x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（xh）2+k，二次函数y=a（xh）2+k 的一部分图象如图所示，点A 为抛物线的顶点，且点A、B、C 的横坐标分别为 4、10、12，
15、点A、B 的纵坐标分别为16、20（1）试确定函数关系式 y=a（xh）2+k；（2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及10 月份一个月内所获得的利润；（3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？第二讲第二讲二次函数综合题二次函数综合题1 二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起 这类试题一般难度较大 解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件2.二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在
16、于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义知识要点知识要点经典例题经典例题例例 1 1 已知：二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，其中 A 点坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C，点 D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出 PA+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点P，使三角形 ABP 的面积为 6，求 P 点坐标例例 2 2 如图，抛物线的顶点为C（1，2），直线 y=kx+m 与抛物线交于 A、B 来两点，其中 A 点在 x
17、 轴的正半轴上，且OA=3，B 点在 y 轴上，点 P 为线段 AB 上的一个动点（点P与点 A、B 不重合），过点 P 且垂直于 x 轴的直线与这条抛物线交于点E（1）求直线 AB 的解析式（2）设点 P 的横坐标为 x，求点 E 的坐标（用含 x 的代数式表示）（3）求 ABE 面积的最大值例例 3 3某商场要经营一种新上市的文具，进价为20 元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250 件，销售单价每上涨1 元，每天的销售量就减少10 件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具
18、每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B 两种营销方案：方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过30 元；方案 B：每件文具的利润不低于25 元且不高于 29 元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由例例 4 4已知一次函数 y=x+1 与抛物线 y=为 10，抛物线的顶点为 C（1）求 b，c 的值；（2）判断 ABC 的形状并说明理由；（3）点 D、E 分别为线段 AB、BC 上任意一点，连接 CD，取 CD 的中点 F，连接 AF，EF 当四边形 ADEF 为平行四边形时，求平行四边形ADEF 的周长x2+bx+c 交于 A（0，1），B 两点，B 点纵坐标同
19、步练习同步练习1如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当 0 x3 时，求 y 的取值范围；（3）点 P 为抛物线上一点，若 SPAB=10，求出此时点 P 的坐标2已知抛物线 y=a（x1）23（a0）的图象与 y 轴交于点 A（0，2），顶点为 B（1）试确定 a 的值，并写出 B 点的坐标；（2）若一次函数的图象经过A、B 两点，试写出一次函数的解析式；（3）试在 x 轴上求一点 P，使得PAB的周长取最小值3如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（4，），且与y 轴交于点 C（0，2），与 x
20、轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）（1）求抛物线的解析式及A，B 两点的坐标；（2）若（1）中抛物线的对称轴上有点P，使ABP 的面积等于ABC 的面积的 2 倍，求出点 P 的坐标；（3）在（1）中抛物线的对称轴 l 上是否存在一点 Q，使 AQ+CQ 的值最小？若存在，求AQ+CQ 的最小值；若不存在，请说明理由拓展提高拓展提高1如图，点A（2，0）、B（4，0）、C（3，3）在抛物线y=ax2+bx+c 上，点D 在 y 轴上，且 DCBC，BCD 绕点 C 顺时针旋转后两边与x 轴、y 轴分别相交于点 E、F（1）求抛物线的解析式；（2）CF 能否经过抛物线的顶点？若能，
21、求出此时点E 的坐标；若不能，说明理由；（3）若 FDC 是等腰三角形，求点 F 的坐标2如图，已知抛物线 l1经过原点与 A 点，其顶点是 P（2，3），平行于 y 轴的直线 m 与x 轴交于点 B（b，0），与抛物线 l1交于点 M（1）点 A 的坐标是；抛物线 l1的解析式是；（2）当 BM=3 时，求 b 的值；（3）把抛物线 l1绕点（0，1）旋转 180，得到抛物线 l2直接写出当两条抛物线对应的函数值y 都随着 x 的增大而减小时，x 的取值范围；直线 m 与抛物线 l2交于点 N，设线段 MN 的长为 n，求 n 与 b 的关系式，并求出线段 MN的最小值与此时 b 的值3如图
22、，抛物线y=x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标4如图 1，在平面直角坐标系中有一 RtAOB，O 为坐标原点，OA=1，OB=3，将此三角形绕
23、原点 O 逆时针旋转 90，得到DOC，抛物线 l：y=x2+bx+c 经过 A、B 两点（1）求抛物线 l 的解析式及顶点 G 的坐标（2）求证：抛物线 l 经过点 C分别连接 CG，DG，求GCD 的面积（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G 的一点 P，使PCD 与CDG 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标5如图，抛物线 y=x2+x+2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C关于 x 轴对称，点P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作 x 轴的垂线l 交抛物线于点 Q（1）求点 A，点 B，点 C 的坐标；（2）求直线 BD 的解析式；（3）在点 P 的运动过程中，是否存在点Q，使 BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由