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1、中考二次函数压轴题(共23 道题目)一选择题(共10 小题)1如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(1,2)且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中 1 x10,1x22,下列结论:4a+2b+c 0,2a+b 0,b+8a4ac,a 1,其中结论正确的有(2)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2如图是某二次函数的图象,将其向左平移2 个单位后的图象的函数解析式为)y=ax+bx+c(a 0),则下列结论中正确的有(2(1)a0;(2)c0;(3)2ab=0;(4)a+b+c 0A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图
2、象如图,在下列代数式中(1)a+b+c0;(2)4ab 2a(3)abc 0;(4)5a b+2c 0;其中正确的个数为()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个第 1 页(共 38 页)4已知点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)都在抛物线y=x2+bx 上,x1、x2、x3为 ABC 的三边,且 x1x2 x3,若对所有的正整数x1、x2、x3都满足 y1y2 y3,则 b 的取值范围是()Ab 2 Bb 3Cb 4 Db 55如图,点 A(m,n)是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点,AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,那么三角形 ABO 的面积 S 关于 m 的函数关系的图
3、象大致为()ABCD6抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过原点和第一、二、三象限,那么下列结论成立的是()Ba0,b0,c=0Ca 0,b 0,c=0D aAa0,b0,c=00,b0,c=07已知抛物线 y=x2(4m+1)x+2m 1 与 x 轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于 2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与 y 轴的交点在点(0,)的下方,那么 m 的取值范围是()D全体实数ABC8函数 y=与 y=kx2+k(k 0)在同一直角坐标系中的图象可能是()ABCD9已知抛物线y=x2+bx+c(c0)经过点(c,0),以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S,
4、则 S 可表示为()第 2 页(共 38 页)A|2+b|b+1|Bc(1 c)C(b+1)2 D10下列关于函数y=(m2 1)x2(3m1)x+2 的图象与坐标轴的公共点情况:当 m 3 时,有三个公共点;m=3 时,只有两个公共点;若只有两个公共点,则 m=3;若有三个公共点,则m3其中描述正确的有()个C三个D四个A一个B两个二填空题(共10 小题)11已知:如图,过原点的抛物线的顶点为M(2,4),与 x 轴负半轴交于点P 作 PQ MA于点A,对称轴与 x 轴交于点 B,点 P 是抛物线上一个动点,过点Q(1)抛物线解析式为(2)若 MPQ 与 MAB相似,则满足条件的点 P 的坐
5、标为2 向左平移 3 个单位,所得抛物线的函数表达式为将抛物线12y=x213如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH,延长 BC 至 M,使 CM=|CE EO|,再以 CM、CO 为边作矩形CMNO令 m=,则 m=;又若 CO=1,CE=,Q 为 AE 上一点且 QF=,抛物线 y=mx2+bx+c 经过 C、Q 两点,则抛物线与边 AB 的交点坐标是第 3 页(共 38 页)15在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)如果 P(x,y)是 ABC 围成的区域(含边界)上的
6、点,那么当w=xy 取得最大值时,点 P 的坐标是16如图为二次函数y=ax2+bx+c 的图象,在下列结论中:ac0;方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x2=5;a+b+c 0;当 x2 时,y 随着 x 的增大而增大正确的结论有(请写出所有正确结论的序号)1232+mx 对应的函数值分别为 y1,17已知当 x=a,x=b,x=c 时,二次函数 y=xy2,y3,若正整数 a,b,c 恰好是一个三角形的三边长,且当abc 时,都有y1 y2y3,则实数 m 的取值范围是2 3x+3 上运动若 P 半径为 1,如图,已知一动圆的圆心P 在抛物线 y=x18点 P 的坐标为(m,n
7、),当 P 与 x 轴相交时,点 P 的横坐标 m 的取值范围是第 4 页(共 38 页)19如图,四边形 ABCD 是矩形,A、B 两点在 x 轴的正半轴上,C、D 两点在抛物线 y=x2+6x 上设 OA=m(0 m3),矩形 ABCD 的周长为 l,则 l 与 m 的函数解析式为20若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(1,0),则 y=a+b+c 的取值范围是三解答题(共4 小题)21已知抛物线 y=ax 2x+c 与 x 轴交于 A(1,0)、B 两点,与 y 轴交于点 C,对称轴为 x=1,顶点为 E,直线 y=x+1 交 y 轴于点 D2(1)
8、求抛物线的解析式;(2)求证:BCE BOD;(3)点 P 是抛物线上的一个动点,当点 P 运动到什么位置时,BDP 的面积等于 BOE 的面积?第 5 页(共 38 页)22如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a0)相交于 A(,)和 B(4,m),点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标23已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2 与 x 轴的交
9、点是 A(3,0)、B(6,0),与y 轴的交点是 C(1)求抛物线的函数表达式;(2)设 P(x,y)(0 x6)是抛物线上的动点,过点P 作 PQ y 轴交直线 BC于点 Q当 x 取何值时,线段PQ 的长度取得最大值,其最大值是多少?第 6 页(共 38 页)是否存在这样的点 P,使 OAQ 为直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由24如图,直角梯形 ABCO 的两边 OA,OC 在坐标轴的正半轴上,BCx 轴,OA=OC=4,以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A,B,C 三点(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线 l 的解析式为 y=x+m,它与 x 轴交
10、于点 G,在梯形 ABCO 的一边上取点 P当 m=0 时,如图 1,点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点,过点 P 作 PH直线 l于点 H,连结 OP,试求 OPH 的面积;当 m=3 时,过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线,垂足为点E,F是否存在这样的点 P,使以 P,E,F 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由第 7 页(共 38 页)二次函数压轴题(共 24 道题目)参考答案与试题解析一选择题(共10 小题)1如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(1,2)且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1,x2,其中 1 x10,
11、1x22,下列结论:4a+2b+c 0,2a+b 0,b+8a4ac,a 1,其中结论正确的有(2)A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断【解答】解:由抛物线的开口向下知a 0,与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上,得 c 0,对称轴为 x=1,a 0,2a+b 0,而抛物线与 x 轴有两个交点,b24ac 0,当 x=2 时,y=4a+2b+c 0,当 x=1 时,a+b+c=2 2,24ac b8a,b2+8a4ac,a+b+c=2
12、,则 2a+2b+2c=4,第 8 页(共 38 页)4a+2b+c 0,a b+c 0由,得到 2a+2c 2,由,得到 2ac 4,4a2c 8,上面两个相加得到 6a 6,a1故选:D2如图是某二次函数的图象,将其向左平移2 个单位后的图象的函数解析式为)y=ax+bx+c(a 0),则下列结论中正确的有(2(1)a0;(2)c0;(3)2ab=0;(4)a+b+c 0A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】如图是 y=ax2+bx+c 的图象,根据开口方向向上知道a0,又由与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上得到c 0,由对称轴 x=1,可以得到 2ab=0,又当 x=1 时,
13、可以判断a+b+c 的值由此可以判定所有结论正确与否【解答】解:(1)将其向左平移 2 个单位后的图象的函数解析式为 y=ax+bx+c(a 0)(如虚线部分),2y=ax2+bx+c 的对称轴为:直线 x=1;开口方向向上,a 0,故正确;(2)与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上 c0,故正确;第 9 页(共 38 页)(3)对称轴 x=1,2ab=0,故正确;(4)当 x=1 时,y=a+b+c 0,故正确故选:D3已知二次函数 y=ax+bx+c(a0)的图象如图,在下列代数式中(1)a+b+c20;(2)4ab 2a(3)abc 0;(4)5a b+2c 0;其中正确的个数为()A
14、1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由抛物线开口向上得到 a 大于 0,再由对称轴在 y 轴右侧得到 a 与 b 异号,即 b 小于 0,由抛物线与 y 轴交于正半轴,得到 c 大于 0,可得出 abc 的符合,对于(3)作出判断;由 x=1 时对应的函数值小于 0,将 x=1 代入二次函数解析式得到 a+b+c 小于 0,(1)错误;根据对称轴在 1 和 2 之间,利用对称轴公式列出不等式,由 a 大于 0,得到 2a 小于 0,在不等式两边同时乘以 2a,不等号方向改变,可得出不等式,对(2)作出判断;由 x=1 时对应的函数值大于 0,将 x=1 代入二次函数解析式得到 a b+
15、c 大于 0,又 4a 大于 0,c 大于 0,可得出 a b+c+4a+c 大于 0,合并后得到(4)正确,综上,即可得到正确的个数【解答】解:由图形可知:抛物线开口向上,与y 轴交点在正半轴,第 10 页(共 38 页)a 0,b 0,c0,即 abc 0,故(3)错误;又 x=1 时,对应的函数值小于 0,故将 x=1 代入得:a+b+c 0,故(1)错误;对称轴在 1 和 2 之间,12,又 a 0,在不等式左右两边都乘以2a 得:2a b 4a,故(2)正确;又 x=1 时,对应的函数值大于 0,故将 x=1 代入得:a b+c 0,又 a0,即 4a0,c0,5ab+2c=(a b
16、+c)+4a+c 0,故(4)错误,综上,正确的有 1 个,为选项(2)故选:A4已知点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)都在抛物线y=x2+bx 上,x1、x2、x3为 ABC 的三边,且 x1x2 x3,若对所有的正整数x1、x2、x3都满足 y1y2 y3,则 b 的取值范围是()Ab 2 Bb 3Cb 4 Db 5【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,结合已知条件,可知 x1、x2、x3的最小一组值是 2、3、4;根据抛物线,知它与 x 轴的交点是(0,0)和(b,0),对称轴是 x=因此要满足已知条件,则其对称轴应小于2.5【解答
17、】解:x1、x2、x3为 ABC 的三边,且 x1 x2x3,x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4抛物线 y=x2+bx 与 x 轴的交点是(0,0)和(b,0),对称轴是 x=,若对所有的正整数 x1、x2、x3都满足 y1y2y3,则 2.5解,得 b 5故选:D5如图,点 A(m,n)是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点,AB 垂直于 x 轴,垂足为 B,那么三角形 ABO 的面积 S 关于 m 的函数关系的图象大致为()第 11 页(共 38 页)ABCD【分析】因为 A(m,n)是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点,所以 n=2m 根据三角形面积公式即可得出 S 与 m
18、之间的函数关系,根据关系式即可解答【解答】解:由题意可列该函数关系式:S=|m|?2|m|=m,2因为点 A(m,n)是一次函数 y=2x 的图象上的任意一点,所以点 A(m,n)在第一或三象限,又因为 S0,所以取第一、二象限内的部分故选:D6抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过原点和第一、二、三象限,那么下列结论成立的是()Ba0,b0,c=0Ca 0,b 0,c=0D aAa0,b0,c=00,b0,c=0【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推抛物线经过第一,二,三象限,理【解答】解:
19、抛物线经过原点,c=0,第 12 页(共 38 页)x+2m可推测出抛物线开口向上,对称轴在y 轴左侧a 0,对称轴在 y 轴左侧,对称轴为 x=0,又因为 a 0,b 0故选:A7已知抛物线 y=x2(4m+1)x+2m 1 与 x 轴交于两点,如果有一个交点的横坐标大于 2,另一个交点的横坐标小于2,并且抛物线与 y 轴的交点在点(0,)的下方,那么 m 的取值范围是()ABCD全体实数【分析】因为抛物线 y=x2(4m+1)x+2m 1 与 x 轴有一个交点的横坐标大于 2,另一个交点的横坐标小于 2,且抛物线开口向上,所以令 f(x)=x2(4m+1),则 f(2)0,解不等式可得m,
20、又因为抛物线与y 轴的交点在点(0,)的下方,所以f(0),解得 m,即可得解【解答】解:根据题意,令 f(x)=x2(4m+1)x+2m1,抛物线 y=x2(4m+1)x+2m1 与 x 轴有一个交点的横坐标大于2,另一个交点的横坐标小于2,且抛物线开口向上,f(2)0,即 42(4m+1)+2m10,解得:m,又抛物线与 y 轴的交点在点(0,)的下方,f(0),解得:m,综上可得:m,故选:A第 13 页(共 38 页)12+k(k 0)在同一直角坐标系中的图象可能是(函数y=与 y=kx8)ABCD【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致
21、【解答】解:由解析式 y=kx+k 可得:抛物线对称轴x=0;2A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得 k0,则 k0,抛物线开口方向向上、抛物线与 y 轴的交点为 y 轴的负半轴上;本图象与 k 的取值相矛盾,故A错误;B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k0,则 k0,抛物线开口方B 正确;向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,本图象符合题意,故C、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得 k0,则 k0,抛物线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,本图象与 k 的取值相矛盾,故C错误;D、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k0,则 k0,抛物
22、线开口方向向下、抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上,本图象与k 的取值相矛盾,故D错误故选:B9已知抛物线y=x2+bx+c(c0)经过点(c,0),以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S,则 S 可表示为()A|2+b|b+1|Bc(1 c)C(b+1)2 D【分析】把点(c,0)代入抛物线中,可得 b、c 的关系式,再设抛物线与 x 轴的交点分别为 x1、x2,则 x1、x2满足 x2+bx+c=0,根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1x2|,那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积【解答】解:抛物线 y=x2+bx+c(c0)经过点(c,0)
23、,第 14 页(共 38 页)c2+bc+c=0;c(c+b+1)=0;c0,c=b1;设 x1,x2是一元二次方程x2+bx+c=0 的两根,x1+x2=b,x1?x2=c=b1,抛物线与x=轴的交点间的距离为=|2+b|,|x1x2|=S 可表示为|2+b|b+1|故选:A10下列关于函数y=(m2 1)x2(3m1)x+2 的图象与坐标轴的公共点情况:当 m 3 时,有三个公共点;m=3 时,只有两个公共点;若只有两个公共点,则 m=3;若有三个公共点,则m3其中描述正确的有()个C三个D四个A一个B两个【分析】令 y=0,可得出(m21)x2(3m1)x+2=0,得出判别式的表达式,然
24、后根据 m 的取值进行判断,另外要注意m 的取值决定函数是一次函数还是二次函数,不要忘了考虑一次函数的情况【解答】解:令 y=0,可得出(m21)x2(3m 1)x+2=0,=(3m 1)28(m21)=(m3)2,当 m 3,m=1 时,函数是一次函数,与坐标轴有两个交点,故错误;当 m=3 时,=0,与 x 轴有一个公共点,与y 轴有一个公共点,总共两个,故正确;若只有两个公共点,m=3 或 m=1,故错误;若有三个公共点,则m3 且 m 1,故错误;综上可得只有正确,共个故选:A第 15 页(共 38 页)二填空题(共10 小题)11已知:如图,过原点的抛物线的顶点为M(2,4),与 x
25、 轴负半轴交于点P 作 PQ MA于点A,对称轴与 x 轴交于点 B,点 P 是抛物线上一个动点,过点Q(1)抛物线解析式为 y=x 4x(2)若 MPQ 与 MAB相似,则满足条件的点 P 的坐标为(,)、(2,)【分析】(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+2)+4,因为抛物线过原点,把(0,0)代入,求出 a 即可2(2)由于 PQ MA,即 MQP=MBA=90;所以只要满足 PMQ=MAB或PMQ=AMB PMQ=AMB时,先找出点 B 关于直线 MA的对称点(设为点 C),显然有AC=AB=2、MC=MB=4,可根据该条件得到点 C 的坐标,进而求出直线 MC(即直线 MP)的解析
26、式,联立抛物线的解析式即可得到点P 的坐标;PMQ=MAB时,若设直线 MP 与 x 轴的交点为 D,那么 MAD必为等腰三角形,即 MD=AD,根据此条件先求出点 D 的坐标,进而得出直线 MP 的解析式,联立抛物线的解析式即可得解【解答】解:(1)过原点的抛物线的顶点为M(2,4),设抛物线的解析式为:y=a(x+2)2+4,将 x=0,y=0 代入可得:4a+4=0,解得:a=1,抛物线解析式为:y=(x+2)2+4,第 16 页(共 38 页)即 y=x2 4x;(2)PQ MA MQP=MBA=90;若 MPQ、MAB 相似,那么需满足下面的其中一种情况:PMQ=AMB,此时 MA为
27、 PMB 的角平分线,如图;取点 B 关于直线 MA的对称点 C,则 AC=AB=2,MC=MB=4,设点 C(x,y),有:,解得(舍),点 C 的坐标为(,);设直线 MP 的解析式:y=kx+b,代入 M(2,4)、(,)得:,解得直线 MP:y=x+联立抛物线的解析式,有:,解得,点 P 的坐标(,);PMQ=MAB,如右图,此时 MAD为等腰三角形,且 MD=AD,若设点 D(x,0),则有:(x+4)2=(x+2)2+(04)2,解得:x=1点 D(1,0);设直线 MP 的解析式:y=kx+b,代入 M(2,4)、D(1,0)后,有:,解得:第 17 页(共 38 页)直线 MP
28、:y=x+联立抛物线的解析式有:,解得:,点 P 的坐标(,)综上,符合条件的 P 点有两个,且坐标为(,)、(,)故答案:(1)y=x24x;(2)(,)、(,)12 将抛物线 y=x2 2 向左平移 3 个单位,所得抛物线的函数表达式为y=x2+6x+7【分析】根据二次函数图象的平移规律:左右平移,x 改变:左加右减,上下平移,x 不变,y 改变,上加下减进行计算即可【解答】解:根据平移规律:将抛物线y=x22 向左平移 3 个单位得到:y=(x+3)22,y=x2+6x+7故答案为:y=x2+6x+7第 18 页(共 38 页)不变;y13如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点
29、 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH,延长 BC 至 M,使 CM=|CE EO|,再以 CM、CO 为边作矩形CMNO令 m=,则 m=1;又若 CO=1,CE=,Q 为 AE 上一点且QF=,抛物线y=mx2+bx+c 经过 C、Q 两点,则抛物线与边AB 的交点坐标是(,)【分析】求出 CM=OECE,求出四边形 CFGH 的面积是 CO(OE CE),求出四边形 CMNO 的面积是(OECE)CO,即可求出 m 值;求出 EF 值,得出 EF=QF,得出等边三角形 EFQ,求出 EQ,求出 CEF、OEA,过 Q 作 QD OE 于 D,求出 Q 坐标,代
30、入抛物线求出抛物线的解析式,把即得出答案x=代入抛物线即可求出 y,【解答】解:沿 AE 折叠,O 和 F 重合,OE=EF,EC在 Rt CEF 中,EFCE,即 OE CE,2 CM=|CEEO|=OECE,S四边形 CFGH()()(),=CF=EF=EO=EO+ECEOEC=COEOECS四边形CMNO=CM CO=(OECE)OC,22 EC22 m=1;CO=1,CE=,QF=,第 19 页(共 38 页)EF=EO=QF,C(0,1),sinEFC=,EFC=30,CEF=60,FEA=(18060)=60,EF=QF,EFQ 是等边三角形,EQ=,过 Q 作 QDOE 于 D,
31、ED=EQ=由勾股定理得:DQ=,OD=,即 Q 的坐标是(,),抛物线过 C、Q,m=1 代入得:,解得:b=,c=1,抛物线的解析式是:y=x2x+1,AO=EO=把 x=,代入抛物线得:y=,),抛物线与 AB 的交点坐标是(故答案为:1,第 20 页(共 38 页)14该试题已被管理员删除15在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)如果 P(x,y)是 ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 w=xy 取得最大值时,点 P 的坐标是(,5)【分析】分别求得线段 AB、线段 AC、线段 BC 的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值
32、,再进一步比较【解答】解:线段 AB 的解析式是 y=x+1(0 x4),此时 w=x(x+1)=则 x=4 时,w 最大=8;+x,线段 AC 的解析式是 y=x+1(0 x2),此时 w=x(x+1)=+x,此时 x=2 时,w 最大=12;线段 BC 的解析式是 y=2x+10(2x4),此时 w=x(2x+10)=2x2+10 x,此时 x=时,w 最大=12.5 综上所述,当 w=xy 取得最大值时,点 P 的坐标是(,5)16如图为二次函数y=ax2+bx+c 的图象,在下列结论中:第 21 页(共 38 页)ac0;方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x2=5;a+b+
33、c 0;当 x2 时,y 随着 x 的增大而增大正确的结论有(请写出所有正确结论的序号)【分析】根据抛物线的开口向下判断出 a 0,再根据与 y 轴的交点判断出 c0,然后判断出错误;根据与 x 轴的交点坐标判断出正确;取 x=1 的函数值判断出错误;先求出抛物线对称轴为直线 x=2,然后根据二次函数的增减性判断出正确【解答】解:抛物线开口向下,a 0,与 y 轴的正半轴相交,c0,ac0,故错误;抛物线与 x 轴的交点坐标为(1,0),(5,0),方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=1,x2=5,故正确;由图可知,当 x=1 时,函数值 y0,即 a+b+c 0,故错误;抛物线对称轴为
34、直线x=2;当 x2 时,y 随着 x 的增大而增大,故正确;综上所述,正确的结论是故答案为:第 22 页(共 38 页)已知当172+mx 对应的函数值分别为 y,x1=a,x2=b,x3=c 时,二次函数 y=x1y2,y3,若正整数 a,b,c 恰好是一个三角形的三边长,且当y1 y2y3,则实数 m 的取值范围是mabc 时,都有【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出函数的增减性和对称性判断出对称轴在a 最小为 2,再根据二次2、3 之间偏向 2,即小于 2.5,然后列出不等式求解即可【解答】方法一:解:正整数 a,b,c 恰好是一个三角形的三边长,且 a 最小是 2,y1y
35、2y3,2.5,解得 m 2.5方法二:解:当 a bc 时,都有 y1y2 y3,即,a,b,c 恰好是一个三角形的三边长,abc,a+b b+c,m(a+b),a,b,c 为正整数,a,b,c 的最小值分别为 2、3、4,m(a+b)(2+3)=,第 23 页(共 38 页)abc,m,故答案为:m 18如图,已知一动圆的圆心 P 在抛物线 y=x2 3x+3 上运动若 P 半径为 1,点 P 的坐标为(m,n),当 P 与 x 轴相交时,点 P 的横坐标 m 的取值范围是3 m2 或 4 m3+【分析】由圆心 P 在抛物线 y=x23x+3 上运动,点 P 的坐标为(m,n),可得n=m
36、23m+3,又由 P 半径为 1,P 与 x 轴相交,可得|m2 3m+3|1,继而可求得答案【解答】解:圆心 P 在抛物线 y=x2 3x+3 上运动,点 P 的坐标为(m,n),n=m2 3m+3,P 半径为 1,P 与 x 轴相交,|n|1,|m 3m+3|1,1m2 3m+3 1,2解m 3m+3 1,得:3m 3+,解m23m+3 1,得:m2 或 m4,点 P 的横坐标 m 的取值范围是:3m 2 或 4m 3+2故答案为:3 m2 或 4 m3+第 24 页(共 38 页)19如图,四边形 ABCD 是矩形,A、B 两点在 x 轴的正半轴上,C、D 两点在抛物线 y=x2+6x
37、上设 OA=m(0 m3),矩形 ABCD 的周长为 l,则 l 与 m的函数解析式为 l=2m+8m+12 2【分析】求 l 与 m 的函数解析式就是把 m 当作已知量,求 l,先求 AD,它的长就是 D 点的纵坐标,再把 D 点纵坐标代入函数解析式求 C 点横坐标,C 点横坐标与 D 点横坐标的差就是线段 CD 的长,用 l=2(AD+CD),建立函数关系式【解答】解:把 x=m 代入抛物线 y=x2+6x 中,得 AD=m2+6m把 y=m+6m 代入抛物线 y=x+6x 中,得 m2+6m=x2+6x22解得 x1=m,x2=6mC 的横坐标是 6m,故 AB=6 mm=62m矩形的周
38、长是l=2(m2+6m)+2(62m)即 l=2m2+8m+12 20若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(1,0),则 y=a+b+c 的取值范围是0y 2【分析】由二次函数的解析式可知,当x=1 时,所对应的函数值y=s=a+b+c 把点(0,1),(1,0)代入 y=ax2+bx+c,得出 c=1,ab+c=0,然后根据顶点在第一象限,可以画出草图并判断出 a 与 b 的符号,进而求出 y=a+b+c 的变化范围【解答】解:二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限,且经过点(0,1),(1,0),易得:c=1,a b+c=0,a0,b0,第 2
39、5 页(共 38 页)由 a=b10 得到 b1,结合上面 b 0,所以 0 b 1,由 b=a+1 0 得到 a 1,结合上面 a0,所以 1a0,由得:1a+b 1,且 c=1,得到:0a+b+c 2,则 y=a+b+c 的取值范围是 0y2故答案为:0y 2三解答题(共4 小题)21已知抛物线 y=ax22x+c 与 x 轴交于 A(1,0)、B 两点,与 y 轴交于点 C,对称轴为 x=1,顶点为 E,直线 y=x+1 交 y 轴于点 D(1)求抛物线的解析式;(2)求证:BCE BOD;(3)点 P 是抛物线上的一个动点,当点 P 运动到什么位置时,BDP 的面积等于 BOE 的面积
40、?【分析】(1)在抛物线 y=ax 2x+c 中,已知对称轴 x=2=1,可求出 a 的值;再将点 A 的坐标代入抛物线的解析式中,可确定c 的值,由此得解(2)首先由抛物线的解析式,确定点 B、C、E 的坐标,由直线 BD 的解析式能得到点 D 的坐标;在求出 BCE、BOD 的三边长后,由 SSS 来判定这两个三角形相似(3)BOE 的面积易得,而在(2)中求出了 BD 的长,由 BDP、BOE 的面积相等先求出点 P 到直线 BD 的距离,如何由这个距离求出点 P 的坐标?这里需第 26 页(共 38 页)要进行适当的转化;首先在 y 轴上取一点(可设为点 M),使得点 M 到直线 BD
41、 的距离等于点 P 到直线 BD 的距离,通过解直角三角形先求出 DM 的长,由此确定点M 的坐标,然后过 M 作平行于直线 BD 的直线,再联立抛物线的解析式即可确定点P 的坐标【解答】解:(1)抛物线 y=ax22x+c 中,对称轴 x=1,a=1;将点 A(1,0)代入 y=ax2 2x+c 中,得:1+2+c=0,c=3;抛物线的解析式:y=x2 2x3(2)抛物线的解析式:y=x22x 3=(x1)2 4=(x+1)(x3),点 C(0,3)、B(3,0)、E(1,4);易知点 D(0,1),则有:OD=1、OB=3、BD=;CE=、BC=3、BE=2;=,BCE BOD(3)SBO
42、E=BO|yE|=3 4=6;S,即BDP=BD h=SBOE=6h=在 y 轴上取点 M,过点 M 作 MN1 BD 于 N1,使得 MN1=h=;在 RtMN1中,1,且1;则DsinMDN=MN=MD=点 M(0,3)或(0,5)过点 M 作直线 l MN2,如右图,则 直线 l:y=x3 或 y=x+5,联立抛物线的解析式有:或第 27 页(共 38 页);=4解得:、当点 P 的坐标为(0,3)、(,)、(,)、(,)时,BDP 的面积等于 BOE 的面积22如图,直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6(a0)相交于 A(,)和 B(4,m),点 P 是线段 AB 上异于
43、A、B 的动点,过点 P 作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标第 28 页(共 38 页)【分析】(1)已知 B(4,m)在直线 y=x+2 上,可求得 m 的值,抛物线图象上的 A、B 两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值(2)要弄清 PC 的长,实际是直线 AB 与抛物线函数值的差 可设出 P 点横坐标,根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出 P、C 的纵坐标,进而得到关于 PC
44、 与 P 点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC 的最大值(3)当 PAC 为直角三角形时,根据直角顶点的不同,有三种情形,需要分类讨论,分别求解【解答】解:(1)B(4,m)在直线 y=x+2 上,m=4+2=6,B(4,6),A(,)、B(4,6)在抛物线 y=ax2+bx+6 上,解得,抛物线的解析式为y=2x2 8x+6(2)设动点 P 的坐标为(n,n+2),则 C 点的坐标为(n,2n28n+6),PC=(n+2)(2n28n+6),=2n2+9n4,=2(n)2+,PC0,当 n=时,线段 PC 最大且为(3)PAC 为直角三角形,i)若点 P 为直角顶点,则 APC=
45、90 由题意易知,PCy 轴,APC=45,因此这种情形不存在;ii)若点 A 为直角顶点,则 PAC=90 如答图 3 1,过点 A(,)作 ANx 轴于点 N,则 ON=,AN=第 29 页(共 38 页)过点 A 作 AM直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易知,AMN为等腰直角三角形,MN=AN=,OM=ON+MN=+=3,M(3,0)设直线 AM的解析式为:y=kx+b,则:,解得,直线 AM的解析式为:y=x+3又抛物线的解析式为:y=2x2 8x+6 联立式,解得:x=3 或 x=(与点 A 重合,舍去)C(3,0),即点 C、M 点重合当 x=3 时,y=x+2=5,P1(
46、3,5);iii)若点 C 为直角顶点,则 ACP=90 如答图 3 2,作点 A(,)关于对称轴 x=2 的对称点 C,y=2x28x+6=2(x2)2 2,抛物线的对称轴为直线 x=2则点 C 在抛物线上,且 C(,)当 x=时,y=x+2=第 30 页(共 38 页)P2(,)点 P1(3,5)、P2(,)均在线段AB上,)综上所述,PAC 为直角三角形时,点 P 的坐标为(3,5)或(,23已知:如图,抛物线y=ax2+bx+2 与 x 轴的交点是 A(3,0)、B(6,0),与y 轴的交点是 C(1)求抛物线的函数表达式;(2)设 P(x,y)(0 x6)是抛物线上的动点,过点 P
47、作 PQ y 轴交直线BC 于点 Q当 x 取何值时,线段 PQ 的长度取得最大值,其最大值是多少?是否存在这样的点 P,使 OAQ 为直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)已知了 A,B 的坐标,可用待定系数法求出函数的解析式(2)QP 其实就是一次函数与二次函数的差,二次函数的解析式在(1)中已经求出,而一次函数可根据B,C 的坐标,用待定系数法求出那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式,得出的新的函数就是关于PQ,x 的函数关系式,那么可根据函数的性质求出PQ 的最大值以及相对应的x 的取值(3)分三种情况进行讨论:当 QOA=90 时,Q 与 C
48、 重合,显然不合题意因此这种情况不成立;当 OAQ=90 时,P 与 A 重合,因此 P 的坐标就是 A 的坐标;当 OQA=90 时,如果设 QP 与 x 轴的交点为 D,那么根据射影定理可得出DQ2=OD?DA由此可得出关于 x 的方程即可求出 x 的值,然后将 x 代入二次函数式中即可得出 P 的坐标【解答】解:(1)抛物线过 A(3,0),B(6,0),第 31 页(共 38 页),解得:,所求抛物线的函数表达式是y=x2x+2(2)当 x=0 时,y=2,点 C 的坐标为(0,2)设直线 BC 的函数表达式是 y=kx+h则有,解得:直线 BC 的函数表达式是 y=x+2 0 x6,
49、点 P、Q 的横坐标相同,PQ=yQyP=(x+2)(x2x+2)=x2+x=(x 3)2+1当 x=3 时,线段 PQ 的长度取得最大值最大值是解:当 OAQ=90时,点 P 与点 A 重合,P(3,0)当 QOA=90 时,点 P 与点 C 重合,x=0(不合题意)当 OQA=90 时,设 PQ与 x 轴交于点 D OQD+AOQ=90,QAD+AQD=90,OQD=QAD又 ODQ=QDA=90,第 32 页(共 38 页)1 ODQ QDA2,即 DQ=OD?DA(x+2)2=x(3x),10 x239x+36=0,x1=,x2=,y1=()+2=;y2=()+2=,22;)P(,)或
50、 P(所求的点 P 的坐标是 P(3,0)或 P(,)或 P(,)24如图,直角梯形 ABCO 的两边 OA,OC 在坐标轴的正半轴上,BCx 轴,OA=OC=4,以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A,B,C 三点(1)求该抛物线的函数解析式;(2)已知直线 l 的解析式为 y=x+m,它与 x 轴交于点 G,在梯形 ABCO 的一边上取点 P当 m=0 时,如图 1,点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点,过点 P 作 PH直线 l于点 H,连结 OP,试求 OPH 的面积;当 m=3 时,过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线,垂足为点E,F是否存在这样的点 P,使以 P,E,F 为