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1、 专题8 导数的几何意义(切线问题)一、考情分析二、考点梳理1、切线的定义:在曲线的某点A附近取点B,并使B沿曲线不断接近A.这样直线AB的极限位置就是曲线在点A的切线.(1)此为切线的确切定义,一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰,另一方面也可理解为一个动态的过程,让切点A附近的点向不断接近,当与距离非常小时,观察直线是否稳定在一个位置上.(2)判断一条直线是否为曲线的切线,不再能用公共点的个数来判定。例如函数在处的切线,与曲线有两个公共点.(3)在定义中,点不断接近包含两个方向,点右边的点向左接近,左边的点向右接近,只有无论从哪个方向接近,直线的极限位置唯一时,这个极限位置才能够
2、成为在点处的切线。对于一个函数,并不能保证在每一个点处均有切线。例如在处,通过观察图像可知,当左边的点向其无限接近时,割线的极限位置为,而当右边的点向其无限接近时,割线的极限位置为,两个不同的方向极限位置不相同,故在处不含切线. (4)由于点沿函数曲线不断向接近,所以若在处有切线,那么必须在点及其附近有定义(包括左边与右边)2、函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地,切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点:(1)函数的边
3、界点:此类点左侧(或右侧)的点不在定义域中,从而某一侧不含割线,也就无从谈起极限位置.故切线不存在,导数不存在;与此类似还有分段函数如果不连续,则断开处的边界值也不存在导数.(2)已知点与左右附近点的割线极限位置不相同,则不存在切线,故不存在导数.例如前面例子在处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处,判断时只需选点向已知点左右靠近,观察极限位置是否相同即可.(3)若在已知点处存在切线,但切线垂直轴,则其斜率不存在,在该点处导数也不存在.例如:在处不可导.综上所述:(1)-(3)所谈的点均不存在导数,而(1)(2)所谈的点不存在切线,(3)中的点存在切线,但没有导数.由此可见:某点有
4、导数则必有切线,有切线则未必有导数.三、题型突破重难点题型突破1 在某点的切线方程例1(1)、(2021青铜峡市高级中学高三月考(理)已知函数在R上满足,则曲在点处的切线方程是( )ABCD【答案】A【分析】先根据求出函数的解析式,然后对函数进行求导,进而可得到在点处的切线方程的斜率,最后根据点斜式可求切线方程.【详解】,.将代入,得,在处的切线斜率为,函数在处的切线方程为,即.故选:A.(2)、(2021全国高三月考(文)函数的图象在处的切线方程为_.【答案】【分析】利用导数的几何意义,求在处的切线方程即可.【详解】,可得,又,在处的切线方程为,即.故答案为:【变式训练1-1】(2020河南
5、省实验中学高三二测)已知函数,若函数在处的切线方程为,则的值为( )A1B2C3D4【答案】B【解析】,解得,.故选:B。【变式训练1-2】(2020届四川省成都市高三第二次诊断)曲线在点处的切线方程为( )ABCD【答案】D【解析】由已知,故切线的斜率为,所以切线方程为,即,故选D。【变式训练1-3】(2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测)已知函数,则曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】因为,所以,又故切线方程为,整理为。重难点题型突破2 过某点的切线方程例2(1)、(2018义乌市义亭中学高二期中)已知函数,若过点且与曲线相切的切线方程为,则实数的值是( )A6B9C6D9【
6、答案】B【分析】设出切点为,利用导数表示出切线斜率及切线方程,把代入求出x0,可以得到斜率,即为a的值.【详解】设切点为,因为,所以所以在点处的切线方程为,把点A(0,16)代入,得,解得.所以过点A(0,16)的切线方程为,a=9.故答案为:9.(2)、(2022全国高三专题练习)已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线,则( )ABCe2D【答案】C【分析】首先利用导数的几何意义得到切线为,设的切点为,从而得到,代入切线得到切点为,再代入即可得到答案.【详解】,所以切点.,切线,即.设的切点为,所以.将代入切线得:,的切点为,将代入得:,解得.故选:C【变式训练2-1】(2020铜梁中学校高
7、三期中)已知过点可作两条不同的直线与曲线相切,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【分析】设切点坐标为,求出切线的方程,将点的坐标代入切线方程得出关于的二次方程由两个不等的实根,可得出,由此可求得实数的取值范围.【详解】设切点坐标为,对函数求导得,切线斜率为,切线在点处的切线方程为,将点的坐标代入切线方程可得,化简可得,由题意可知,关于的二次方程由两个不等的实根,则,解得或.故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查利用过点引切线的条数求参数的取值范围,解题的关键在于将切线的条数转化为切点的个数问题,进而等价转化为方程的根的个数问题求解.【变式训练2-2】(2022全国高三专题练习)已知函数
8、,过点作曲线的切线,则函数的切线方程为_【答案】【分析】对函数求导,设切点坐标,表示出与,根据导数的几何意义写出切线方程,且该直线过点,代入求解出的值,即可得切线方程.【详解】,设切点坐标为,则,所以切线方程为,且该直线过点,所以,得,得,所以切线方程为.故答案为:【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题:一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质,直线与曲线只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线,同样,直线是曲线的切线,则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式由外向内逐层求导,其导数为
9、两层导数之积.重难点题型突破3 综合问题例3(1)、(2021广东实验中学附属天河学校)已知k为常数,函数,若关于x的函数有4个零点,则实数k的取值范围为_.【答案】【分析】将x的函数有4个零点,转化为与有4个不同的交点,然后利用数形结合法求解.【详解】因为函数有4个零点,所以与有4个不同的交点,在同一坐标系中作出与的图象,如图所示:当时,单调递减,与有一个交点,则;所以当时,有3个交点,求出与相切时的k值,当时,设切点为,所以,则,所以切线方程为,又因为点在切线上,所以则,解得,所以,由图像知有4个零点,则,故答案为: 【点睛】方法点睛:函数零点个数问题:若方程可解,通过解方程即可得出参数的
10、范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用(2). 己知曲线上存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零, 则实数的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知,即有两个解,且均大于零。即,解得,选A.(3)(2021江西临川一中高二月考(理)已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则的值为( )ABCD【答案】A【分析】函数的图象在点处的切线与直线平行,利用导函数的几何含义可以求出,转化求解数列的通项公式,进而由数列的通项公式,利用裂项相消法求和即
11、可【详解】解:函数的图象在点处的切线与直线平行,由求导得:,由导函数得几何含义得:,可得,所以,数列的通项为,所以数列的前项的和即为,则利用裂项相消法可以得到: 所以数列的前2021项的和为:. 故选:A.【变式训练3-1】(2021全国)已知定义在上的函数,若函数恰有个零点,则实数的取值范围为( )ABCD【答案】C【分析】将问题转化为与恰有两个不同的交点的问题;分别在、和三种情况下,结合导数几何意义可确定切线方程,由数形结合的方式可求得结果.【详解】恰有个零点等价于与恰有两个不同的交点;由解析式可得图象如下图所示:当时,与恰有两个不同交点,符合题意;当时,设直线与相切于点,又,解得:,此时
12、,解得:;由图象可知:当且仅当时,与恰有两个不同交点;当时,设直线与相切于点,解得:;由图象可知:当时,与恰有两个不同交点,;综上所述:实数的取值范围为.故选:C.【变式训练3-2】(2021曲周县第一中学高二月考)设曲线上任一点处的切线的斜率为则函数的部分图象可以为( )ABCD【答案】A【分析】利用导数几何意义可得,令,利用奇偶性可排除BD;根据时可排除C.【详解】由题意得:,令,则,为定义在上的奇函数,图象关于原点对称,可排除BD;当时,则,可排除C.故选:A.【变式训练3-3】 (湖南省长沙市长郡中学2021届高三期中)设直线,分别是函数,图象上点,处的切线,与垂直相交于点,且,分别与
13、轴相交于点,的面积的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可知,且明显地,分别在分段函数的两段上设,且 , ,即:方程为:;方程为:, 联立可得点横坐标为:且在上单调递减 ,即的面积的取值范围为:本题正确结果:。四、迁移应用一、单选题1(2022全国高三专题练习)已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件:斜率相等且纵截距相等,列出关系式,从而得出,判断单调性,可得出的取值范围【详解】解:当时,的导数为;当时,的导数为,设,为该函数图象上的两点,且,当,
14、或时,故,当时,函数在点,处的切线方程为:;当时,函数在点,处的切线方程为两直线重合的充要条件是,由及得,由令,则,且,记导数为,且在恒成立,则函数在为减函数,实数的取值范围是故选:B2(2021榆林市第十中学高三月考(文)若直线与曲线相切,则直线的斜率的最大值为()ABCD【答案】C【分析】由导数的几何意义可知直线的斜率即为,求出表达式,再利用基本不等式求最大值即可求解.【详解】本题考查导数的几何意义,基本不等式的应用由可得因为,当且仅当即,时等号成立,所以,所以直线的斜率的最大值为,故选:C.3(2022全国高三专题练习)已知为奇函数,且时,则曲线在点处的切线方程为( )ABCD【答案】C
15、【分析】先根据奇函数的性质求解当时,再根据导数的几何意义求解即可【详解】由为奇函数,且时,可得当时,则,解得.故曲线在点处的切线方程为,即.故选:C.4(2021江西高三月考(文)设函数的图象在点(t,f(t)处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的图象大致为( )ABCD【答案】A【分析】求出的导函数得函数g(t),再判断g(t)的奇偶性及在上的函数值和极值点位置即可判断作答.【详解】由求导得:,于是得,显然,即函数k=g(t)是偶函数,C选项不满足;当时,且有,则B选项不满足;当时,由得,从而得g(t)在上的极小值点,选项D不满足,所以函数k=g(t)的图象大致为选项A.故选:A5(2021
16、南昌市豫章中学高三开学考试(文)点是曲线上的点,是直线上的点,则的最小值为( )ABCD【答案】A【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点,则两平行线间的距离最小,求出最小值即可.【详解】设与直线平行的直线与曲线相切于点,则两平行线间的距离即为的最小值,因为,所以,解得,所以,即,所以曲线的切线为,由平行线间的距离公式可得的最小值为故选:A6(2021广东汕尾高二期末)若直线与曲线相切,则的值为( )A0BC1D2【答案】D【分析】求出函数的导数,由导数值为1求得切线点坐标(横坐标),再由切线得纵坐标,代入函数式可得值【详解】由得,即,易知函数在上是增函数,所以方程有唯一解,在直线中,代入得,
17、所以切点为,所以,故选:D7(2021山东省淄博实验中学高三月考)函数的图象存在与直线垂直的切线,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【分析】根据题意将问题转化为“有解”,由此得到在上有解,根据的取值范围求解出的取值范围即可.【详解】因为的图象存在与直线垂直的切线,且直线的斜率为,所以的图象存在斜率为的切线, 所以有解,所以在上有解,所以在上有解,因为,所以,故选:C.8(2021全国(理)已知函数,且曲线点处的切线方程为,则实数和的值分别为( )A,B,C,D,【答案】B【分析】对函数求导得,进而得到,,即可得到答案;【详解】由已知可得,故选:B【点睛】本题考查导数的几何意义,考查运算
18、求解能力.9(2020广西(理)设直线,分别是函数,图象上点,处的切线,且与垂直相交于点,分别与轴相交于点A,则的面积的取值范围是( )ABCD【答案】A【分析】先设切点,依题意得到和切线方程,再令得到点A,联立直线得到P点横坐标,即得,根据求得面积范围即可.【详解】设,当时,;当时,.的斜率为,的斜率为,由与垂直知,即,直线的方程为,即,则点,直线的方程为,即,由得,则点,所以,联立直线方程,消去y得P点横坐标,所以的面积,因为对勾函数在是单调递减的,取值范围为,故,即.故选:A.【点睛】方法点睛:求曲线切线方程的一般步骤:(1)求出在处的导数,即在点出的切线斜率(当曲线在处的切线与轴平行时
19、,在处导数不存在,切线方程为);(2)由点斜式求得切线方程.10(2021安徽省舒城中学(理)已知函数,若方程有4个零点,则a的可能的值为( )AB1CD【答案】A【分析】先画出函数图象,由图可知方程有4个零点,只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可,然后利用导数的几何意义求解【详解】解:根据函数的解析式可知,函数的图象如下:要使方程有4个零点,则的图象与直线有4个不同的交点,所以只需a小于在区间上的过坐标原点的切线的斜率即可.由,得,设切点坐标为,则切线方程为,又切线过,所以,解得,故此时切线的斜率为,故,结合选项知,选:A.故选:A【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数
20、值(取值范围)常用方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系画出函数的图象,利用数形结合的方法求解11(2020安徽高三月考(文)已知函数与存在公切线,则实数a的最小值( )ABCD【答案】B【分析】分别求出函数与的导数,设出切点写出切线方程,利用对应系数相等列出方程,构造函数,利用导数判断出单调性求出最值,可得实数a的最小值【详解】,设和的切点分别为,则和切线方程分别为,即与存在公切线,则方程有解,即,在上递减,在递增,在处取
21、到最小值,的最小值为,即a的最小值为故选:B【点睛】关键点点睛:本题考查导数的几何意义,考查导数研究函数的单调性和最值,解决本题的关键点是利用点斜式方程写出切线,列出方程,并构造函数求出导函数得出单调性和最值,可得a的最小值,考查学生计算能力,属于中档题12(2020渝中区重庆巴蜀中学)已知函数若函数有四个零点,则实数的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】转化条件得直线与函数的图象有四个交点,作出函数图象,结合导数的几何意义,数形结合即可得解.【详解】函数有四个零点等价于方程有四个解,即直线与函数的图象有四个交点,因为直线过定点,在同一直角坐标系中作出直线与函数的图象,如下图所示,当直线
22、过原点时,;当直线与函数的图象相切时,对函数求导得,设切点为,则,解得,数形结合可知,当时,直线与函数的图象有四个交点,即函数有四个零点.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用,考查了导数几何意义的应用及数形结合思想,属于中档题.13(2020河北高三(理)已知函数有两个零点,则实数k的取值范围为( )A或B或CD或【答案】D【分析】令,问题可转化为有两个不等实根,通过图象观察可求出.【详解】令,问题可转化为有两个不等实根,即与有两个交点,作出图象:设过原点的直线与的切点为,斜率为,则切线方程为,把代入,可得,即,切线斜率为,设与相切,则,得,由图可得实数k的取值范围为或故选:D【点
23、睛】本题考查函数零点问题,利用图象的交点是解决此类问题的有效办法,属于中档题.二、填空题14(2021长春市基础教育研究中心(长春市基础教育质量监测中心)(文)曲线在点处的切线与曲线的公共点个数为_.【答案】2【分析】先对函数曲线进行求导可得到,即为切线的斜率,根据点斜式求得切线方程,将曲线方程和切线方程联立求得交点坐标,便可求得答案.【详解】解:由题意知,切线方程为,即于是联立可得方程得,因式分解后可得解得或于是可以解得或即所求切线与曲线的交点为,共2个.故答案为:215(2021太原市第五十六中学校(理)曲线在点处的切线方程为_.【答案】【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率,点斜式即可写
24、出切线方程.【详解】,又,所以曲线在点处的切线方程为,即.故答案为:.16(2021重庆市江津中学校高二月考)曲线的切线中,斜率最小的切线方程为_【答案】【分析】先计算,再由基本不等式求出的最小值以及此时的值,即可得切点和斜率,进而可得所求的切线方程.【详解】的定义域为,由可得:,因为,所以,当且仅当即时等号成立,取得最小值,即切线方程斜率最小为,因为,所以切点为,所以切线方程为,即,故答案为:.17(2021安徽高二月考(理)已知函数,若直线与曲线及均相切,且切点相同,求公切线的方程为_【答案】【分析】由条件可知,求得切点后,再求切线方程.【详解】设切点为,由,得 解得,故切线方程为,即故答
25、案为:18(2021山东烟台市高二期末)与有一条斜率为2的公切线,则_.【答案】【分析】设上切点坐标为,的切点坐标为,根据导数的几何意义求出切线方程,由两切线方程相同且斜率为2可结论【详解】设图象上切点坐标为,图象上切点坐标为,则,切线方程为,即,由得,切线方程为,则,切线方程为,即,所以,解得故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查导数的几何意义,利用导数求切线的斜率,是函数图象上一点时,函数图象在点处的切线方程是,若是平面上任一点,则函数图象过点的切线方程,应设切点为,求出切线方程,利用切线过,代入点坐标求得,得出切线方程19(2021安徽宣城高三(文)曲线在点处的切线与曲线相切,则_【答案
26、】【分析】由求导,求得曲线在点处的切线方程,然后设该切线与相切于点,利用导数的几何意义求解【详解】解:对求导,得,则曲线在点处的切线方程为,即设与相切于点,对求导,得,由,得,即切点为又切点在切线上,即故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查导数几何意义的应用,解答此类问题的关键是求出切点坐标若切点已知,则直接求导即可得切线的斜率,若切点未知,在解题时首先要设出切点,然后根据切点在曲线上及导数的几何意义得到关于切点坐标的方程,求出切点坐标后可得切线方程20(2021河南许昌(文)曲线在点处的切线方程为_【答案】【分析】求出原函数的导函数,得到函数在处的导数,再求出(1)的值,利用直线方程的点斜式
27、得答案【详解】由,得,(1),又(1),曲线在点,(1)处的切线方程为,即故答案为:【点睛】方法点睛:在函数上的点处的切线方程为,在解题时注意灵活运用.21(2020全国(理)已知曲线在点处与曲线在点处的切线相同,则_【答案】【分析】求出两切线的切线方程,由两切线方程相同得斜率相等,纵截距相等可得的关系【详解】,则,切线斜率为,所以曲线在点处的切线方程为,即,由得,切线斜率为,所以曲线在点处的切线方程为,即,于是得,则,所以,所以,得故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查导数的几何意义求解本题的关键:(1)根据已知得到(2)知道将中的等式进行相互代换,得到22(2021江西宜春市(文)若,则曲
28、线在点处的切线方程是_【答案】【分析】求得函数的导数,令,求得,得出函数的解析式,再求得,结合直线的点斜式方程,即可求解.【详解】由题意,函数,可得,令,可得,解得,所以,可得,所以曲线在点处的切线方程是,即.故答案为:.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程,其中解答中熟记导数的几何意义,以及导数的运算公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力.23(2020四川遂宁市射洪中学高二期中(文)点是曲线:上的一个动点,曲线在点处的切线与轴、轴分别交于,两点,点是坐标原点,;的面积为定值;曲线上存在两点使得是等边三角形;曲线上存在两点,使得是等腰直角三角形,其中真命题的序
29、号是_.【答案】【分析】利用导数的几何意义求得过点的切线方程,结合函数性质,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断和选择.【详解】设点,由得切线方程:,即,为中点,正确;,正确;过原点作倾斜角等于和的2条射线与曲线的交点为由对称性可知中,又,为等边三角形,正确;过原点作2条夹角等于的射线与曲线交于点,当直线的倾斜角从减少到的过程中,的值从变化到0,在此变化过程中必然存在的值为和的时刻,此时为等腰直角三角形,正确.真命题的个数为4个.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,涉及函数性质的应用,属综合中档题.24(2020全国(理)已知函数若关于的方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范围是_
30、【答案】【分析】根据题意,得到的图象和直线有4个交点,作出函数的图象,结合图像,即可求出结果.【详解】若关于的方程恰有4个不相等的实数根,则的图象和直线有4个交点作出函数的图象,如图,故点在直线的下方所以,解得.当直线和相切时,设切点横坐标为,则,所以,此时,的图象和直线有3个交点,不满足条件,故所求的的取值范围是故答案为:【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题,利用数形结合的方法求解即可,属于常考题型.25(2020河南洛阳高二期末(理)已知函数,下面四个结论:函数在其定义域上为增函数;对于任意的,都有;有且仅有两个零点;若在点处的切线也是的切线,则必是的零点,其中所有正确的结论序号
31、是_.【答案】【分析】利用特殊值法可判断的正误 ; 推导出当 时 从而可判断的正误;对函数,化简得,定义域为,利用函数单调性的性质,得到函数的单调性,结合零点存在定理可判断的正误; 利用导数的几何意义得到,进而可判断的正误.【详解】,所以,函数在其定义域上不是增函数,错;当时,则,正确;函数,化简得,定义域为,由函数单调性的性质,知函数在,单调递增; 即函数 在区间上有且仅有 1个零点 所以,函数区间上有且仅有1个零点.因此,函数有且仅有两个零点,正确;在点 处的切线的方程 ,即,又也是的切线, 设切点为,则,即,则且,化简得,则,则,故必是函数的零点,正确;故答案为:.【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的判断,同时也考查了导数的几何意义,考查了推理能力,属于中等题.26(2020江苏南通市)已知函数,在函数的图象上,对任意一点,均存在唯一的点(且、均不为),使得、两点处的切线斜率相等,则实数的取值构成的集合是_.【答案】【分析】求出函数的导函数,根据题意得出,并作出函数的图象,由此可得出关于的等式,进而可求得实数的值.【详解】由题意得.当时,;当时,其图象的对称轴为直线.因为,所以,所以,函数的图象如下: 因为对任意的,均存在,且,使得,所以,即实数的取值构成的集合为.故答案为:.【点睛】本题考查利用切线斜率相等求参数,考查数形结合思想的应用,属于中等题.30
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