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1、数列知识点复习数列的概念内 容考点关注点数列的概念数列的概念数列概念数列的通项公式归纳通项公式数列的递推公式由递推公式求通项公式an与Sn的关系由Sn求an。利用an求通项数列an的前n项和(1)数列an从第1项起到第n项止的各项之和称为数列an的前n项和，记作Sn，即Sna1a2an.(2)如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式(3)数列an的通项an与前n项和Sn之间的关系为an数列通项公式与递推公式递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种
2、方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式等差数列的概念等差数列的定义文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*)用于证明等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A.等差数列的通项公式ana1(n1)d由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量等
3、差数列的常用性质数列an是公差为d的等差数列1.an，am是数列an中任意两项，则anam(nm)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用2.若n，m，p，qN*，且nmpq，则anamapaq.特别地：若mn2k(k，m，nN*)，则有anam2ak.若an为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1ana2an1a3an2akank1.3.下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公差为md的等差数列如a1，a3，a5，组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，a5n2，组成公差为5d的等差数
4、列4.若an为等差数列，则a1a2a3am，am1am2a2m，a2m1a2m2a3m，仍为等差数列，且公差为m2d.等差数列的前n项和已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1d等差数列求和的基本方法1求数列的基本量的基本方法求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，(1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.(2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解.2在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项
5、的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值(2)借助二次函数的图象及性质求最值3寻求正、负项分界点的方法(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找(2)利用到yax2bx(a0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点4求解数列|an|的前n项和，应先判断an的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题5.形如的式子，若可分解为的形式，则一般可用裂项相消法求解等比数列的概念文字语言一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫
6、做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)符号语言q(q为常数，q0，nN*)等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列(2)结论：G叫做a，b的等比中项(3)满足的关系式：G2ab.等比中项与等差中项的区别(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个等比数列的单调性(1)当a10，q1或a10，0q1时，等比数列an为递增数列；(2)当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an为递减数列；(3)当q1时，数列an是常数列；(4)当q0时，数列an是摆动数列等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项a
7、n，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比等比数列的常用性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.设数列an为等比数列，则：(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列(3)在等比数列an中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列(4)若an是等比数列，公比为q，则数列an(0)，a都
8、是等比数列，且公比分别是q，q2.(5)若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么anbn与也都是等比数列，公比分别为pq和等比数列的前n项和1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列3等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10，0q1时为递增数列；当a11或a
9、10，0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解数列通项公式的求法(1)观察法根据给出数列的前几项观察归纳；(2)累加法适合类型为an1anf(n)；(3)累乘法适合类型为an1anf(n)；(4)利用an与Sn关系，即an数列求和的常用方法数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式.(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导.学科网（北京）股份有限公司