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1、第56章范数理论及其应用矩阵函数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望5.1 向量范数向量范数Problem：线性空间的向量是否定义其他形式的长度？线性空间的向量是否定义其他形式的长度？线性空间的向量是否定义其他形式的长度？线性空间的向量是否定义其他形式的长度？Motivation：欧氏空间的内积可以定义向量的范数欧氏空间的内积可以定义向量的范数 范数的本性特征。范数的本性特征。范数的公理化定义范数的公理化定义Definition(P108):Defin
2、ition(P108):要点：要点：1.1.正定性：长度总为正数；零向量长度为正定性：长度总为正数；零向量长度为正定性：长度总为正数；零向量长度为正定性：长度总为正数；零向量长度为0 0；2.2.齐次性：成比例的向量其长度成比例；齐次性：成比例的向量其长度成比例；齐次性：成比例的向量其长度成比例；齐次性：成比例的向量其长度成比例；3.3.三角不等式：三角形两边之和大于第三三角不等式：三角形两边之和大于第三三角不等式：三角形两边之和大于第三三角不等式：三角形两边之和大于第三边边边边例例 Rn上的上的上的上的2-2-范数，范数，范数，范数，1-1-范数，范数，范数，范数，p-p-范数，范数，范数，
3、范数，-范数范数范数范数RemarkRemark 有限维线性空间上的不同范数是等价有限维线性空间上的不同范数是等价有限维线性空间上的不同范数是等价有限维线性空间上的不同范数是等价的。的。的。的。(P113(P113 定理定理定理定理5.1.2)5.1.2)5.2 矩阵范数矩阵范数Problem：矩阵也可以定义长度？矩阵也可以定义长度？矩阵也可以定义长度？矩阵也可以定义长度？Motivation：矩阵可以视为向量：矩阵可以视为向量：在在matlab中的输入是中的输入是1,2,3;4,5,6;7,8,9 矩阵范数的公理化定义矩阵范数的公理化定义Definition(P116):Definition
4、(P116):要点：要点：1.1.正定性正定性正定性正定性 2.2.齐次性齐次性齐次性齐次性 3.3.三角不等式三角不等式三角不等式三角不等式 4.4.相容性：相容性：相容性：相容性：（这是与向量范数不一样的地方这是与向量范数不一样的地方这是与向量范数不一样的地方这是与向量范数不一样的地方）例例 Rn n上的几种范数上的几种范数上的几种范数上的几种范数RemarkRemark 上面矩阵范数都是向量范数的类推。上面矩阵范数都是向量范数的类推。上面矩阵范数都是向量范数的类推。上面矩阵范数都是向量范数的类推。RemarkRemark 上面矩阵范数都与相应的向量范数上面矩阵范数都与相应的向量范数上面矩
5、阵范数都与相应的向量范数上面矩阵范数都与相应的向量范数相容。相容。相容。相容。例例 Rn n上的几种范数上的几种范数上的几种范数上的几种范数5.2 范数的应用范数的应用Content：范数在特征值理论上的应用；范数在特征值理论上的应用；范数在特征值理论上的应用；范数在特征值理论上的应用；范数在数值计算上的应用；范数在数值计算上的应用；范数在数值计算上的应用；范数在数值计算上的应用；范数在最小二乘解上的应用范数在最小二乘解上的应用范数在最小二乘解上的应用范数在最小二乘解上的应用最小二乘解的问题最小二乘解的问题(1):最小二乘解满足的条件最小二乘解满足的条件最小二乘解满足的条件最小二乘解满足的条件
6、 MotivationMotivation 若线性方程组若线性方程组若线性方程组若线性方程组Ax=bAx=b无解，则希望无解，则希望无解，则希望无解，则希望寻找一个最接近的解。寻找一个最接近的解。寻找一个最接近的解。寻找一个最接近的解。SolutionSolution 定义误差定义误差定义误差定义误差(cost)(cost)函数：使误差最小！函数：使误差最小！函数：使误差最小！函数：使误差最小！SolutionSolution 根据正交投影定理根据正交投影定理根据正交投影定理根据正交投影定理(P039)(P039)或者或者或者或者LaglangeLaglange乘子法乘子法乘子法乘子法:在驻点
7、处取得极值在驻点处取得极值在驻点处取得极值在驻点处取得极值u线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组Ax=bAx=b的最小二乘解一定满足的最小二乘解一定满足的最小二乘解一定满足的最小二乘解一定满足例例例例 求下面方程组的最小二乘解求下面方程组的最小二乘解求下面方程组的最小二乘解求下面方程组的最小二乘解最小二乘解的问题最小二乘解的问题(2):最小二乘解的表示最小二乘解的表示最小二乘解的表示最小二乘解的表示 利用广义逆表示最小二乘解利用广义逆表示最小二乘解利用广义逆表示最小二乘解利用广义逆表示最小二乘解 (P127,Theorem 5.3.7)不相容线性方程不相容线性方程Ax=b的的全部最小二乘解
8、为全部最小二乘解为 Motivation Motivation 最小二乘解如果有多个，那么代价最小二乘解如果有多个，那么代价最小二乘解如果有多个，那么代价最小二乘解如果有多个，那么代价(cost)(cost)最小的一个是什么？最小的一个是什么？最小的一个是什么？最小的一个是什么？最小二乘解的问题最小二乘解的问题(3):极小范数的最小二乘解极小范数的最小二乘解极小范数的最小二乘解极小范数的最小二乘解u Solution Solution 极小范数最小二乘解为极小范数最小二乘解为极小范数最小二乘解为极小范数最小二乘解为(P128,Theorem 5.3.8)(P128,Theorem 5.3.8)
9、例例例例 求下面方程组的最小二乘解求下面方程组的最小二乘解求下面方程组的最小二乘解求下面方程组的最小二乘解,以及极小范数最小以及极小范数最小以及极小范数最小以及极小范数最小二乘解二乘解二乘解二乘解第第6章：矩阵分析及其应用章：矩阵分析及其应用Ch6 Matrix Analysis&its Applictions6.2 矩阵函数及其计算矩阵函数及其计算 1 Definition(P142)是幂级数，收敛半径为是幂级数，收敛半径为是幂级数，收敛半径为是幂级数，收敛半径为R R。如果如果如果如果 (A A)R R，则则 有意义。有意义。定义定义定义定义 ，称之为矩阵函数，称之为矩阵函数，称之为矩阵函
10、数，称之为矩阵函数Remark Remark 一个函数可以写成幂级数，则可以定一个函数可以写成幂级数，则可以定一个函数可以写成幂级数，则可以定一个函数可以写成幂级数，则可以定义相应的矩阵函数义相应的矩阵函数义相应的矩阵函数义相应的矩阵函数常见的矩阵函数常见的矩阵函数 含参数的的矩阵函数含参数的的矩阵函数 例题例题5、设设A为反对称矩阵，证明为反对称矩阵，证明eA为正为正交矩阵。交矩阵。例题例题6 设设 ，讨论，讨论 lnA 是否是否有意义有意义2.矩阵函数的计算矩阵函数的计算PurposePurpose:计算计算计算计算 Idea:Idea:Key step:Key step:计算计算计算计算
11、 Spectial CaseSpectial Case:矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化矩阵可对角化例例例例 ，计算，计算，计算，计算e eA A和和和和e eAtAt。2 最小多项式方法最小多项式方法确定确定确定确定r(r()的依据的依据的依据的依据：由在谱上等值确定由在谱上等值确定由在谱上等值确定由在谱上等值确定r(r(),),即即即即f()f()与与与与r()r()在特征在特征在特征在特征值的各阶导数相等值的各阶导数相等值的各阶导数相等值的各阶导数相等RemarkRemark r(r()为为为为待定函数，其次数比最小多项式低待定函数，其次数比最小多项式低待定函数，其次数比最小多项式低
12、待定函数，其次数比最小多项式低1 1次次次次f(A)=r(A)例例例例 (P147,Ex 6.2.3)(P147,Ex 6.2.3)设设设设 ，计算，计算，计算，计算e eA A和和和和e eAtAt例例例例 (P148,Ex6.2.4)设设设设 ，计算，计算，计算，计算sinA,sinAtsinA,sinAt6.3 矩阵函数的微积分矩阵函数的微积分一、矩阵函数及其分析性质一、矩阵函数及其分析性质矩阵函数：矩阵函数：矩阵函数：矩阵函数：A A（t t）=a aij ij（t t）mm n n，分析性质：分析性质：分析性质：分析性质：A A（t t）连续、可微分、可积分）连续、可微分、可积分）连
13、续、可微分、可积分）连续、可微分、可积分 a aij ij（t t）连续连续连续连续可微分可微分可微分可微分可积分可积分可积分可积分微分性质微分性质微分性质微分性质例题例题1 1.设设设设 ，计算，计算，计算，计算 d e d e AtAt/dt/dt2.对任意方阵对任意方阵对任意方阵对任意方阵A A，计算，计算，计算，计算d e d e AtAt/dt/dt6.4 矩阵函数的应用矩阵函数的应用（求解常系数微分方程组（求解常系数微分方程组（求解常系数微分方程组（求解常系数微分方程组）1.微分方程组的一般形式微分方程组的一般形式 X X （t t）=A=A（t t）X X（t t）+f+f（t
14、t）X X（t t 0 0 ）=C=C。齐次：齐次：齐次：齐次：f f（t t）=0=0非齐次：非齐次：非齐次：非齐次：f f（t t）0 0常系数：常系数：常系数：常系数：A A（t t）=A=A2.一阶线性常系数齐次微分方程组一阶线性常系数齐次微分方程组 X X （t t）=AX=AX（t t）X X（t t 0 0 ）=C=C。其解为：其解为：其解为：其解为：X X（t t）=e=e A A（t t t 0t 0）x x（t t0 0）例例例例 (P161,Ex6.4.2)(P161,Ex6.4.2)求解求解求解求解3.一阶线性常系数非齐次微分方程组一阶线性常系数非齐次微分方程组 X X （t t）=AX=AX（t t）+f+f（t t）X X（t 0 t 0 ）=C=C。其解为：其解为：其解为：其解为：