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1、【精品】高等数学【精品】高等数学1-2-1-2-数数列的极限解析列的极限解析“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽（公元（公元3世世纪，魏晋）纪，魏晋）典型问题典型问题 圆面积问题圆面积问题正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积如图所示,由正弦定理可知当n无限增大时,无限逼近S.如何用数学语言来描述这一逼近过程呢？回答：需要引入数列极限的概念，用它来刻画这个过程.定义 一个以正整数为定义域的函数 y=f(n)称为整标整标函数函数.当自变量n按正整数增大顺序依次取值时，所得一串有序的函数值：称为数列数列.记为：f(n)（n=1，2，,)
2、一、数列极限的定义一、数列极限的定义 若记：，则数列记为：或 xn （n=1，2，），或 xn，或 数列中的每一项称为数列的项项，其中第n项xn叫做数列的通项通项或一般项一般项.数列xn可以看作数轴上的一个动点 它依次取数轴上的点 x1 x2 x3 xn 数列的几何意义：数列的几何意义：x1x5x4x3x2xn数列的性质数列的性质(1)(1)单调性单调性单调增数列单调减数列2 4 8 2n 单调增与单调减数列统称为单调数列单调数列，单调数列在数轴上的点随n的增大朝着一个方向移动.非单调增与非单调减数列称为摆动数列.1-1 1 (-1)n+1 例如数列 例如数列（2 2）有界性）有界性 如果对任
3、何的正整数n，恒有：其中，M为与n无关的正数，那么称数列 xn有界，否则无界.有界 例如数列 数列 1，8，27，n3，无界，因为无论正数M取多大，当 时，必有：无界无界数列有上界有下界数列有上界有下界若存在实数M，有：称数列 xn有上界,否则称为无上界.若存在实数m，有：称数列 xn有下界，否则称为无下界.例如数列 1，2，3，n，有下界但无上界.数列有界的充分必要条件是既有上界又有下界数列有界的充分必要条件是既有上界又有下界.由于数列每一项与数轴上的点一一对应，故当数列有界时，因为：所以，数列对应的点都落在有限区间-M，M内.0-MM 讨论的问题：当n无限增大时（即n时），对应的 xn=f
4、(n)是否能无限接近于某个确定的数值？如果能，这个数值等于多少？数列的极限数列的极限（1）当 n 无限增大时,数列 xn 无限接近于某一确定的数值.“无限接近”如何用数学语言来刻划；（2）当 n 无限增大时,数列 xn 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?问题问题:以 为例.（1）用两个数之间的距离来刻化两个数的接近程度：用表示数列与常数值的距离，另用正数表示两者接近的程度.随着n的增加，会越来越小.引入 (不论多么小的正数)来刻划接近程度，即（2）引入符号N和来刻化无限增大和无限接近：只要n无限增大，xn 就会与1无限接近.确保定义定义 设xn为一数列，如果存在常数 a
5、，对于任意给定的正数 （不论它多么小）总存在正整数 N，使得当 nN时，不等式 都成立，那么称常数 a 是数列xn的极限极限，或者称数列xn收敛于 a，记为或 如果数列没有极限，就说数列是发散发散的.也说极限不存在.(其中其中 任意，任意，存在存在.)定义定义几何解释几何解释:说明：说明：N 与任意给定的整数 有关，且不是唯一的.【例例1 1】证：证：所以,注意：注意：定义只能用于证明极限,不能用来求极限.【例例2 2】已知 ，证明 .证：证：由于取 ，则当n N时，就有所以或取 ，则当n N时，就有所以【例例3 3】证证【例例4 4】观察以下数列的变化趋势，并判断其极限是否存在(1)(2)(
6、4)(3)(6)(5)(8)(7)解解(1)0;(2)0;(5)1;(7)1;(3)(4)(6)(8)都不存在.定理定理1 1（极限的唯一性）（极限的唯一性）如果数列如果数列 收敛，那收敛，那么它的极限唯一么它的极限唯一.二、数列极限的性质二、数列极限的性质证 用反证法.设数列有两个极限 及且 a N时，（2-2）（2-3）同时成立.但由（2-2），有 ，但由（2-3），有 ，这是不可能的，所以极限唯一.【例例5 5】证明数列 是发散的.证 设数列收敛，其极限为 a，取 .即当nN时，xn 都在开区间 内.但这是不可能的，因为当n时，xn 都在1和-1摆动，不可能同时属于长度为1的开区间内.因
7、此数列发散.定理定理2 2 （收敛数列的有界性）（收敛数列的有界性）证证 设数列xn收敛于a 根据数列极限的定义 =1 NZ+当nN 时,有|xn-a|N时|xn|=|(xn-a)+a|xn-a|+|a|0的情形证明，由数列极限的定义，对当n N时，有从而推论推论 如果数列xn从某项起有xn0（或xn0）且，则 a0（或a0）。收敛数列与其子数列的关系收敛数列与其子数列的关系子数列概念：设为一数列.如果从 中选取无限多项，并保持这些项在原数列 中的先后次序，记为那么把此数列 称为数列 的一个子数列子数列.例如，设数列的一般项则它偶数项组成的子数列的第k项为则它奇数项组成的子数列的第k项为 注意
8、注意 子数列 中的一般项 是第 k 项，而在原数列 中却是第 项.显然，nk k，且k时，nk 也趋于.*定理定理4 4（收敛数列与其子数列间的关系）（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收如果数列收敛，则它的任一子数列也收敛，且收敛于同一值敛，则它的任一子数列也收敛，且收敛于同一值.证证设数列 是数列 的一个子数列.由于 ，故 取K=N，则当 kK时，.于是这就证明了例如，数列的奇数项构成的子数列 1,1,1,收敛于1；而偶数项构成的子数列-1,-1,-1,收敛于-1；故原数列是发散的.由定理4可知，如果一个数列存在发散的子数列或者存在两个收敛于不同极限的子数列，则该数列必发散.五、小结五、小结2.2.会从图像中观察出数列的极限会从图像中观察出数列的极限3.3.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性唯一性、有界性、保号性1.1.理解数列极限的理解数列极限的 定义定义思考题思考题(1)解：原式解：原式=(2)解：原式解：原式=思考题思考题解：原式解：原式=(3)思考题思考题练练 习习 题题发散（至无穷大）发散(在1与-1间振荡)收敛于1收敛于0收敛于1如果数列发散是极限趋于无穷大，也记为结束！结束！