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1、平面图形的面积平面图形的面积本节重点：定积分的元素法 直角坐标系下求面积 极坐标系下求面积 微元法求旋转体的体积 微元法求平面曲线的弧长本节难点：定积分的元素法返回例1计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积。解法一画出图形（图5-4）联立两曲线方程 得交点选择横坐标x为积分变量,.对应于子区间 上的小矩形面积为,（1，1）图5-4解法二选择纵坐标y为积分变量，。对应于 上的小矩形面积为 ，即面积元素于是即面积元素于是例2求由抛物线 及直线 所围成的平面图形的面积.（如图5-5）解由联立方程 得交点 .选择y为积分变量，.在 上任取子区间 ，其上相应小矩形面积为于是图5-5（8，4）-24（2
2、，-2）8若选择x为积分变量，.但当子区间 取在 中时，面积元素为；而当子区间 取在 中时，面积元素为 （2，-2）因此积分区间需分成 和 两部分，即所给图形由直线x=2分成两部分 及 ，（如图5-6）（8，4）图5-6显然，比较两种算法可见，取y为积分变量要简单得多。因此，对具体问题应选择积分简便的算法。返回则有2.极坐标情形某些平面图形，用极坐标计算他们的面积比较简便.由曲线 与两射线 所围成的图形（如图5-7），称为曲边扇形。下面用元素法求它的面积A.用从原点O出发的射线将曲边扇形分割成小曲边扇形，相应于 上的小曲边扇形的面积近似等于以 为半径，为圆心角的扇形面积，即面积元素于是 图5-
3、7例3求心形线所围成平面图形的面积A。解：由图形（如图5-8）的对称性可得=返回图5-8三、用微元法求体积1平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的平面可求，则该物体可用微法求体积.不妨设上述直线为x轴，则在x处的截面积A(x)是x的已知连续函数,求该物体介于x=a和x=b（ab）之间的体积。在x,x+dx上视A(x)不变，即把x,x+dx上的立体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱体，于是得体积微元于是例1设有底圆半径的的圆柱，被一与圆柱面交成 角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积。解取坐标系如图5-9，则底圆方程为在x处垂直于x轴做立体截面，得一直角三角形，两
4、条直角边分别为及，即 及 ，其面积为从而得楔形体积为2旋转体的体积(1)由连续曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周而成的立体叫做旋转体(如图5-10).现在求它的体积V.用垂直于x轴的平行平面将旋转体截成几个小旋转体，所得截痕都是圆。取x为积分变量，xa，b。在a，b内的任一小区间x，x+dx上小旋转体的体积近似等于以f(x)为底圆半径，以dx为高的小圆柱体的体积，即得体积微元于是旋转体体积图5-10例4证明底面半径为r，高为h的圆锥体的体积为 。解：如图5-11所示，设圆锥的旋转轴重合于x轴，即圆锥是由直角三角形ABO绕OB旋转而成。直线OA的方程为.取x
5、的积分变量，x0,h,相应于0,h上任一小区间x,x+dx的薄片的体积近似等于底半径为x,高为dx的圆柱体的体积，图5-11即体积微元为例5计算由椭圆所围成的圆形绕x轴旋转而成的旋转体（叫旋转椭球体）的体积（如图5-12）。解：这个旋转体可以看成是x轴上方的半个椭圆与x轴围成的图形绕X轴旋转而成的立体。于是，所求圆锥的体积为图5-12取x为积分变量，x-a,a,则体积元素为：.于是特别当a=b时，旋转椭球体就成为半径为a的球体，它的体积为 .(2)由曲线,直线y=c、y=d(cd)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体（图5-13）的体积为例6设平面图形由曲线y=2与直线x=1及y=
6、0所围成。试求此平面图形绕y轴旋转而成的旋转体（图5-14）的体积。12图5-13图5-14即返回解。图所给旋转体的体积V可看作是由矩形OABC绕y轴旋转所得的柱体体积 ,减去由 、直线x=0及y=2所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积 ,T 四、平面曲线的弧长在平面几何中，直线的长度容易计算，而曲线（除圆弧外）长度的计算比较困难，现在就讨论这一问题。计算曲线y=f(x)上相应于从x=a到x=b的一段弧的长度.如图5-15所示.在a,b上任取一子区间x,x+dx,相应小弧度的长度可以用曲线在点M（x,f(x)）处的切线上相应的小直线段MT近似代替，MN图5-15即弧长微元于是所求弧长为若曲线由参数方程 给出，则弧长微元为于是弧长例7计算曲线 对应0 x1上一段的弧长。解由于从而弧长元素为所求弧长为例8、计算摆线的一拱的弧长.(图5-16）解弧长元素为返回图5-16