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1、定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用05372机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束面积：面积：面积元素面积元素一一 平面图形的面积平面图形的面积1.1 直角坐标之一般情形直角坐标之一般情形面积元素：面积元素：面积：面积：1.1.【直角坐标直角坐标情形】情形】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上
2、页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束面积元素面积元素曲边扇形的曲边扇形的面积面积2、【极坐标情形】、【极坐标情形】【解解】由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】利用对称性知利用对称性知机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1
3、、【旋转体的体积旋转体的体积】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束x xy yo o旋转体的旋转体的体积体积为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】直线直线OP方程为方程为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例8】计算椭圆计算椭圆绕绕x轴及轴及y轴旋转而成的椭球体的体积轴旋转而成的椭球体的体积Vx，Vy(ab0)【解解】(1)绕绕x轴旋转轴旋转 (2)绕绕y轴旋转轴旋转 当当a=b=R时，即得球体的体积公式时，即得球体的体积公式V=机动机动 目录目录 上页
4、上页 下页下页 返回返回 结束结束【例例9】求由抛物线求由抛物线y=的的平面图形，绕平面图形，绕y轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积Vy 与与y=1和和y轴围成轴围成【解解】抛物线方程改写为抛物线方程改写为 x=y 2，y 0，1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补充补充】利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中柱壳法柱壳法 机动机动 目录目录 上页
5、上页 下页下页 返回返回 结束结束【解【解】体积元素为体积元素为【注意】【注意】本题易犯的一个本题易犯的一个错误错误是是两者两者截然不同截然不同.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解【解】柱壳法柱壳法 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2、【平行截面面积为已知的立体的体积】【平行截面面积为已知的立体的体积】如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积又如又如机动
6、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解【解】取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】如图如图垂直于垂直于y 轴的截面为矩形轴的截面为矩形截面面积截面面积立体体积立体体积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1、【平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念】三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长【定理定理】光滑曲线弧是可求长
7、的。光滑曲线弧是可求长的。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束弧长元素（弧长元素（即弧微分）即弧微分）弧长公式弧长公式2、【直角坐标情形直角坐标情形】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解解】所求弧长为所求弧长为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】【练习】【练习】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束曲线弧为曲线弧为弧长公式弧长公式3、【、【参数方程情形参数方程情形】【解】【解】星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限
8、部分的弧长机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证】【证】根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束曲线弧为曲线弧为弧长公式弧长公式4、【、【极坐标情形极坐标情形】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【解】【解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5、【小结小结】直角坐标系下直角坐标系下参数方程下参数方程下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念（弧微分的概念（三种形式三种形式）弧长公式弧长公式平面曲线弧长平面曲线弧长的概念的概念,弧微分弧微分的概念的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题】【思考题】【思考题解答】【思考题解答】不一定不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长线光滑才可求长结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！38