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1、定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用09377093772目录 上页 下页 返回 结束 一、平面图形的面积1、直角坐标情形我们将给出在直角坐标下求面积的定积分公式。3目录 上页 下页 返回 结束 4目录 上页 下页 返回 结束 5目录 上页 下页 返回 结束 6目录 上页 下页 返回 结束 7目录 上页 下页 返回 结束 8目录 上页 下页 返回 结束 9目录 上页 下页 返回 结束 解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积10目录 上页 下页 返回 结束 面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2.极坐标系情形
2、极坐标系情形11目录 上页 下页 返回 结束 解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积12目录 上页 下页 返回 结束 解解利用对称性知利用对称性知13目录 上页 下页 返回 结束 14目录 上页 下页 返回 结束 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1.旋转体的体积旋转体的体积15目录 上页 下页 返回 结束 xyo旋转体的体积为旋转体的体积为16目录 上页 下页 返回 结束 解解直线直线 方程为方程为17目录 上页
3、下页 返回 结束 18目录 上页 下页 返回 结束 解解19目录 上页 下页 返回 结束 20目录 上页 下页 返回 结束 解解21目录 上页 下页 返回 结束 22目录 上页 下页 返回 结束 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积切片法23目录 上页 下页 返回 结束 24目录 上页 下页 返回 结束 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程
4、为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积25目录 上页 下页 返回 结束 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积26目录 上页 下页 返回 结束 三、平面曲线的弧长27目录 上页 下页 返回 结束 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念并称该曲线弧是可求长的。并称该曲线弧是可求长的。定理定理:光滑曲线弧是可求长的。光滑曲线弧是可求长的。28目录 上页 下页 返回 结束 弧长元素弧长元素弧长弧长直角坐标表示的平面曲线的弧长直角坐标表示的平面曲线的弧长29目录 上页 下页 返回 结束 解解所求弧长为所求弧长为30目录 上页 下页 返回 结束 曲线弧为曲线
5、弧为弧长弧长参数方程参数方程表示的平面曲线的弧长表示的平面曲线的弧长31目录 上页 下页 返回 结束 解解星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长32目录 上页 下页 返回 结束 证证33目录 上页 下页 返回 结束 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.34目录 上页 下页 返回 结束 曲线弧为曲线弧为弧长弧长极坐标方程极坐标方程表示的平面曲线的弧长表示的平面曲线的弧长35目录 上页 下页 返回 结束 解解36目录 上页 下页 返回 结束 解解37目录 上页 下页 返回 结束 微元
6、法的提出、思想、步骤微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）四、小结38目录 上页 下页 返回 结束 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式39目录 上页 下页 返回 结束 作业nP284 2（2，4），3，4，6，8，10，12，nP285 15（1，4），17，18，21，25结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！40