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1、 通常是指与随机变量通常是指与随机变量(su j bin lin)有关的，有关的，虽然不能完整地刻划随机变量虽然不能完整地刻划随机变量(su j bin lin)，但却能较为集中地反映随机变量，但却能较为集中地反映随机变量(su j bin lin)某些方面的重要特征的一些数值。某些方面的重要特征的一些数值。3.1 随机变量的数学随机变量的数学(shxu)期望；期望；3.2 随机变量随机变量(su j bin lin)的方差的方差；本章内容：本章内容：数字特征数字特征第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一页，共35页。定义定义 设离散设离散(lsn)型随机变量型随机变量X的概率
2、的概率分布为分布为PX=xk=pk ，k=1,2,3若级数若级数(j sh)，则称级数，则称级数(j sh)和和为随机变量为随机变量 X 的的数学期望数学期望（或均值），（或均值），记作记作E（X）随随机机变变量量 X 的的数数学学期期望望完完全全是是由由它它的的概概率率分分布布确确定定的的，而而不不应应受受 X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求的可能取值的排列次序的影响，因此要求否则，称随机变量的数学期望不存在否则，称随机变量的数学期望不存在第二页，共35页。解解 易知易知 X 1 3 P 0.4 0.6 例1 设随机变量(su j bin lin)X的分布列为求求 若将此例视为甲、乙两
3、队若将此例视为甲、乙两队“比赛比赛(bsi)”，甲队赢的概率，甲队赢的概率为为0.6，输的概率为，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得，并且甲队每赢一次得3分，每输一次分，每输一次扣扣1分，则分，则 E(X)=1.4 是指甲队平均每次可得分是指甲队平均每次可得分第三页，共35页。定义(dngy)设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 说明：如果积分说明：如果积分 不收敛不收敛，则称随机变则称随机变量量X的数学期望不存在。的数学期望不存在。收敛，则称积分值收敛，则称积分值 为为X的数学期望（或的数学期望（或均值）。记作均值）。记作E(X)，2.连续型随机变量的数学连续型随机变量的数学(s
4、hxu)期望期望第四页，共35页。试证试证X的数学的数学(shxu)期望不存在期望不存在证证 因因为为(yn wi)例例2 设随机变量设随机变量X 服从柯西分布服从柯西分布(fnb),其密度函数为其密度函数为即即 不收敛，所以不收敛，所以X的数学期望的数学期望不存在不存在 第五页，共35页。求求 X的的 数数 学学(shxu)期期 望望（page 56）.例3 设随机变量(su j bin lin)X的概率密度函数为解解第六页，共35页。3.随机变量函数的数学(shxu)期望如果级数如果级数 收敛，则有收敛，则有 定定理理(dngl)3 设设X是是随随机机变变量量，Y=g(X)是是X的的连连续
5、续函函数数，则则有有(1)若若 为离散型变量，其概率函数为为离散型变量，其概率函数为(2)如果如果X为连续型随机变量，其概率密度为为连续型随机变量，其概率密度为 f(x),如果积分如果积分 收敛收敛则有则有第七页，共35页。求求E(X2)及及E(2X-1).例3.5 设随机变量(su j bin lin)X的概率密度函数为第八页，共35页。证证 可可将将C看看成成离离散散型型随随机机变变量量(su j bin lin)，分分布布律律为为 PX=C=1，故由定义即得故由定义即得E(C)=C.2.设设 C为为 常常 数数(chngsh)，X为为 随随 机机 变变 量量，则则 有有E(CX)=CE(
6、X)证证 设设X的密度函数为的密度函数为 ，则有，则有 3.设设 为任意两个随机变量，都有为任意两个随机变量，都有 1.设设C为常数为常数(chngsh)，则有，则有E(C)=C 4.数学期望的性质数学期望的性质4.设设X,Y为相互独立的随机变量，则有为相互独立的随机变量，则有注：3、4可以推广到有限个的情形第九页，共35页。解解:二项分布的均值二项分布的均值(jn zh)(jn zh)第十页，共35页。Poisson Poisson 分布分布(fnb)(fnb)解解:解解:均匀分布均匀分布第十一页，共35页。指数分布解解:第十二页，共35页。常见常见(chn jin)随机变量的数学期随机变量
7、的数学期望望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()第十三页，共35页。分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)第十四页，共35页。例例 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验血,可采用两可采用两种种方法验血：方法验血：(1)分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；(2)将将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性性,则此则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性个人的血只需化验一次；若为阳性,则则对对 k 个
8、人的血逐个化验，找出有病者个人的血逐个化验，找出有病者,这时这时 k 个人个人的血需化验的血需化验 k+1 次次.设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为p p，且每个人是否为阳，且每个人是否为阳性是相互独立的性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化试说明选择哪一种方法可以减少化验次数验次数第十五页，共35页。为简单计，设 n 是 k 的倍数(bish)，设共分成 n/k 组第第 i 组需化验组需化验(huyn)的次数为的次数为X iXi P 1 k+1解解:第十六页，共35页。若若则则EX n例如例如(lr)，第十七页，共35页。中位数、众数中位数、众数(zhn sh)(z
9、hn sh)和分位和分位点点第十八页，共35页。定义定义(dngy)(dngy)定义定义(dngy)(dngy)第十九页，共35页。定义定义(dngy)(dngy)第二十页，共35页。例例例例解解:解解:第二十一页，共35页。第二十二页，共35页。双侧双侧 分位数的概念分位数的概念(ginin)(ginin)设设X X 为连续型随机变量为连续型随机变量(su j bin lin),(su j bin lin),其概率密其概率密度函数为度函数为f(x)f(x)则对于则对于(duy)(duy)满足满足 0 0 1/2 1/2 的的 ,则称则称 x/2 为为X 所服从的分布的所服从的分布的双侧双侧
10、分位数分位数 若若第二十三页，共35页。标准标准(biozhn)(biozhn)正态分布的上正态分布的上 分分位数位数 z z u 常用常用(chn yn)数字数字/2-u/2=u1-/2/2 u/2-u/2第二十四页，共35页。四分四分(s fn)位数指位数指例：page63 例3.11第二十五页，共35页。若E X-E(X)2 存在(cnzi),则称其为随机称为 X 的均方差均方差或标准差标准差.方差方差(fn ch)的定义的定义定义定义(dngy)1 即 V(X)=E X-E(X)2 变量 X 的方差方差,记为V(X)或 Var(X)两者量纲相同两者量纲相同 D(X)描述 随机变量 X
11、的取值偏离平均值的平均偏离程度 数第二十六页，共35页。若 X 为离散型 随机变量(su j bin lin)，分布律为若 X 为连续型随机变量(su j bin lin)，概率密度为 f(x)计算方差计算方差(fn ch)的常用公式：的常用公式：第二十七页，共35页。(1)V(C)=0(2)V(aX)=a2V(X)（3）若X,Y 相互(xingh)独立，则方差方差(fn ch)的性质的性质若相互独立，为常数则第二十八页，共35页。常见(chn jin)随机变量的方差(P.70)分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()第二十九页，共35页。分布方差概
12、率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)第三十页，共35页。例例1 1 设X P(),求V(X).解解方差方差(fn ch)的计算的计算第三十一页，共35页。例例2 2 设X B(n,p)，求V(X).解解引入随机变量相互独立，故第三十二页，共35页。例例3 设 X N(,2),求 V(X)解解第三十三页，共35页。仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差的期望与方差(fn ch)(fn ch)并不能确定其分布并不能确定其分布P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025与有相同的期望方差但是(dnsh)分布却不相同例如例如(lr)第三十四页，共35页。K阶原点矩和阶原点矩和K阶中心矩的概念阶中心矩的概念(ginin)第三十五页，共35页。