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1、数理统计与随机过程ch6 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 数理统计学是一门应用性很强的学科。它数理统计学是一门应用性很强的学科。它研究如何以有效的方式收集、整理和分析研究如何以有效的方式收集、整理和分析带有带有随机性的数据随机性的数据，以便对所考察的问题作出正确，以便对所考察的问题作出正确的推断和预测，为采取正确的决策和行动提供的推断和预测，为采取正确的决策和行动提供依据和建议。依据和建议。数理统计不同于一般的资料统计，它更侧数理统计不同于一般的资
2、料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析。集、整理和分析。第六章 样本及抽样分布6.1 引言引言 由于大量随机现象必然呈现出其规律性，由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。地呈现出来。但是，客观上只允许我们对随机现象进行但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察
3、资料。的只能是局部的或有限的观察资料。数理统计的任务就是研究数理统计的任务就是研究 “如何有效地如何有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的推断研究的问题尽可能地给出精确而可靠的推断”。现实世界中存在着形形色色的数据，分析现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。这些数据需要多种多样的方法。因此，数理统计中的方法和支持这些方法因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。成两大类。参数估计参数估计:根据数据，对分布
4、中的未知参数根据数据，对分布中的未知参数 进行估计；进行估计；假设检验假设检验:根据数据，对分布的未知参数的根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。某种假设进行检验。参数估计与假设检验参数估计与假设检验构成了统计推断的两构成了统计推断的两种基本形式，种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。每个分支。6.2 总体与样本总体与样本 在数理统计中，称研究问题所涉及对象的在数理统计中，称研究问题所涉及对象的全体为全体为总体总体，总体中的每个成员为，总体中的每个成员为个体个体。例如例如:研究某工厂生产的某种产品的废品研究某工厂生产的某种产品的废品率，则这种产
5、品的全体就是总体，而每件产品率，则这种产品的全体就是总体，而每件产品都是一个个体。都是一个个体。6.2.1 总体、个体与样本总体、个体与样本 实际上，我们真正关心的并不一定是总体实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个体本身，而或个体本身，而真正关心的真正关心的是是总体或个体的总体或个体的某某项项数量指标。数量指标。如：如：某电子产品的使用寿命，某天的最高某电子产品的使用寿命，某天的最高气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。气温，加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，因此，有时也将总体理解为那些研究对象的某有时也将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全体项数量指标的全体。为评价某种产品质
6、量的好坏，通常的做法为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是：从全部产品中随机是：从全部产品中随机(任意任意)地抽取一些样品地抽取一些样品进行观测进行观测(检测检测)，统计学上称这些样品为一个，统计学上称这些样品为一个样本。样本。同样同样,我们也将样本的数量指标称为样本。我们也将样本的数量指标称为样本。因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研因此，今后当我们说到总体及样本时，既指研究对象又指它们的某项数量指标。究对象又指它们的某项数量指标。例例1 1：研究某地区研究某地区 N 个农户的年收人。个农户的年收人。在这里，总体既指这在这里，总体既指这 N 个农户，又指我们个农户，又指我们所关心的所关心
7、的 N个农户的个农户的数量指标数量指标他们的年收他们的年收入入(N 个数字个数字)。如果从这如果从这 N 个农户中随机地抽出个农户中随机地抽出 n 个农户个农户作为调查对象，那么，这作为调查对象，那么，这 n 个农户以及他们的个农户以及他们的数量指标数量指标年收入年收入(n个数字个数字)就是样本。就是样本。注意：上例中的总体是直观的，看得见、注意：上例中的总体是直观的，看得见、摸得着的。但是，客观情况并非总是这样。摸得着的。但是，客观情况并非总是这样。例例2 2：用一把尺子测量一件物体的长度。用一把尺子测量一件物体的长度。假定假定 n 次测量值分别为次测量值分别为X1,X2,Xn。显然，。显然
8、，在该问题中，我们把测量值在该问题中，我们把测量值X1,X2,Xn看成看成样本。但总体是什么呢样本。但总体是什么呢?事实上，这里没有一个现实存在的个体的事实上，这里没有一个现实存在的个体的集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可集合可以作为上述问题的总体。可是，我们可以这样考虑，既然以这样考虑，既然 n 个测量值个测量值 X1,X2,Xn 是是样本，那么，总体就应该理解为样本，那么，总体就应该理解为一切所有可能一切所有可能的测量值的全体。的测量值的全体。又如：又如：为研究某种安眠药的药效，让为研究某种安眠药的药效，让 n 个病人个病人同时服用这种药，记录服药者各自服药后的睡同时服用这种药，记录
9、服药者各自服药后的睡眠时间比未服药时增加睡眠的小时数眠时间比未服药时增加睡眠的小时数 X1,X2,Xn，则这些数字就是样本。则这些数字就是样本。那么，什么是总体呢那么，什么是总体呢?设想让某个地区设想让某个地区(或某国家，甚至全世界或某国家，甚至全世界)所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增所有患失眠症的病人都服用此药，则他们所增加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。加睡眠的小时数之全体就是研究问题的总体。对一个总体，如果用对一个总体，如果用X表示其数量指标，表示其数量指标，那么，那么，X的值对不同的个体就取不同的值。因的值对不同的个体就取不同的值。因此，如果我们随机地抽取个体，则此，如果
10、我们随机地抽取个体，则X的值也就的值也就随着抽取个体的不同而不同。随着抽取个体的不同而不同。所以，所以，X是一个随机变量是一个随机变量!既然总体是随机变量既然总体是随机变量X，自然就有其概率，自然就有其概率分布。我们把分布。我们把X的分布称为的分布称为总体分布。总体分布。总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常把总体和总体分布视为同义语。常把总体和总体分布视为同义语。.6.2.2 总体分布总体分布例例 3(例例 l 续续)：在例在例 l l中，若农户年收入以万中，若农户年收入以万元计，假定元计，假定 N户的收入户的收入X只取以下各值只取以下各值:0.5,0
11、.8,l.0,1.2和和1.5。取上述值的户数分别。取上述值的户数分别n1,n2,n3,n4和和n5(n1+n2+n3+n4+n5=N)。则。则X为离散为离散型分布，分布律为型分布，分布律为:例例4 (例例2续续)：在例在例2中，假定物体真实长度为中，假定物体真实长度为(未知未知)。一般说来，测量值。一般说来，测量值X就是总体，取就是总体，取 附近值的概率要大一些，而离附近值的概率要大一些，而离 越远的值被取越远的值被取到的概率就越小。到的概率就越小。如果测量过程没有系统性误差，则如果测量过程没有系统性误差，则X取大取大于于 和小于和小于 的概率也会相等。的概率也会相等。在这种情况下，人们往往
12、认为在这种情况下，人们往往认为X 服从均值服从均值为为，方差为，方差为 2 的正态分布。的正态分布。2 2反映了测量的反映了测量的精度。于是，总体精度。于是，总体X的分布为的分布为 N(,2 2)。说明：说明：这里有一个问题，即物体长度的测这里有一个问题，即物体长度的测量值总是在其真值量值总是在其真值 的附近，它不可能取负值。的附近，它不可能取负值。而正态分布取值在而正态分布取值在(-(-,)上。那么，怎上。那么，怎么可以认为测量值么可以认为测量值X X服从正态分布呢服从正态分布呢?回答这个问题，有如下两方面的理由。回答这个问题，有如下两方面的理由。(1).(1).在前面讲过，对于在前面讲过，
13、对于X N(,2)，P P-3-3 X0，当样本大小当样本大小 n 增大时，上面的概率也随之增增大时，上面的概率也随之增大；大；n 趋于无穷时，上式趋近于趋于无穷时，上式趋近于 1。任给任给c 0，总有，总有例例1：用用机机器器向向瓶瓶子子里里灌灌装装液液体体洗洗涤涤剂剂，规规定定每每瓶瓶装装 毫毫升升。但但实实际际灌灌装装量量总总有有一一定定波波动动。假假定定灌灌装装量量的的方方差差 2 2=1=1，如如果果每每箱箱装装这这样样的的洗洗涤涤剂剂 25 瓶瓶。求求这这 25 瓶瓶洗洗净净剂剂的的平平均均灌灌装装量量与与标标定定值值 相相差差不不超超过过0.3毫毫升升的的概概率率；又又如如果果每
14、箱装每箱装5050瓶时呢瓶时呢?解：解：记一箱中记一箱中 25 瓶洗净剂灌装量为瓶洗净剂灌装量为 X1,X2,X25 是来自均值为是来自均值为 ,方差为方差为1的总体的随机样的总体的随机样本。根据抽样分布定理本。根据抽样分布定理1，近似地有，近似地有 当当 n=50=50时，时，同样可算出：同样可算出：6.4 正态总体正态总体6.4.1 2 分布分布它是由正态分布派生出来的一种分布。它是由正态分布派生出来的一种分布。定义定义1:设设 X1,X2,Xn 相互独立相互独立，且，且均均服从正态分布服从正态分布 N(0,1),则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为 n 的的卡方卡方分布，记成
15、分布，记成 。分布的密度函数为分布的密度函数为由由 分布的定义，不难得到其如下性质：分布的定义，不难得到其如下性质：进一步，由中心极限定理可以推出进一步，由中心极限定理可以推出,n 充充分大时分大时,近似于标准正态分布近似于标准正态分布 N(0,1)。分布密度函数图形分布密度函数图形 n2 2 分布上分布上 分位点有表分位点有表可查，见附表可查，见附表4 4。对于对于给定的给定的(0,1),(0,1),称满足条件称满足条件的点的点 n2()为为 n n2 2分布的上分布的上(右右)分位点。分位点。分布分位点分布分位点t 分布的概率分布的概率密度为密度为为服从自由度为服从自由度 n 的的 t 分
16、布，记为分布，记为 T tn。6.4.2 t 分布分布 定义定义2:设设 X N(0,1),Y n2,且且 X与与Y 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量t 分布的概率分布的概率密度图形密度图形当当 n 充分大时，充分大时，f(x;n)趋近于标准正趋近于标准正态分布的概率密度。态分布的概率密度。数学期望与方差数学期望与方差若若 T tn,对给定的对给定的 (0,1)(0,1)，称满足条件称满足条件t 分布的分位点分布的分位点的点 tn()为为 tn 分布上分布上 分位点。分位点。t 分布的上分布的上 分位点有表分位点有表可查，见附表可查，见附表3 3。tn 分布上分布上 分位点分位点示
17、意图示意图6.4.3 F 分布分布 则称则称 F=(X/m)/(Y/n)服从第一服从第一自由度为自由度为m，第二自由度为，第二自由度为n 的的 F 分布。记分布。记成成 F Fm,n。定义定义3 3：F 分布的概率分布的概率密度为密度为 若若 FFm,n，对给定的，对给定的 (0,1),(0,1),称满足条件称满足条件F 分布的分位点分布的分位点的点的点 Fm,n()为为F分布的上分布的上 分位点。分位点。.F 分布上分布上 分位点有表分位点有表可查，见附表可查，见附表5 5。F 分布上分布上 分位点分位点示意图示意图 一个需要注意的问题一个需要注意的问题:这个关系式的证明如下：这个关系式的证
18、明如下：证明：证明：若若 X Fm,n，则，则 Y=X-1-1 Fn,m。依分位点定义，依分位点定义，上式等价于上式等价于再根据再根据 Y(Fn,m)的上的上 分位点定分位点定义义，有，有这就证明了这就证明了(1)式。式。在通常在通常 F 分布表中，只对分布表中，只对 比较小的值较小的值,如如 =0.01,0.05,0.025及及0.1等列出了分位点。等列出了分位点。但有时我们也需要知道但有时我们也需要知道 比较大的分位点，较大的分位点，它们在它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式分位点的关系式(1)把它们计算出来。把它们计算出来。例如：对例
19、如：对m=12,n=9,=0.95,我我们们在在 F 分布表中分布表中查查不到不到 F12,9(0.95)，但由，但由(1)式，知式，知可从可从F 分布分布 表中查到表中查到 还有一个重要结果还有一个重要结果:若若X tn,则则X2 2 F1,n。请同学们自己证明。请同学们自己证明。定理定理 1：6.4.4 正态总体样本均值与样本方差的分布正态总体样本均值与样本方差的分布 定理的证明超出了教学范围，在此，我定理的证明超出了教学范围，在此，我们不作证明。们不作证明。定理的内容在后面几章的讨论中将多次定理的内容在后面几章的讨论中将多次用到，希望大家牢记。用到，希望大家牢记。例例1：设设某某物物体体
20、的的实实际际重重量量为为(未未知知),),现现在在用用一台天平称量它一台天平称量它,共称共称 n 次次,得到得到X1 1,X2 2,Xn n。假假设设每每次次称称量量过过程程彼彼此此独独立立,且且无无系系统统误误差差,则则可可认认为为这这些些测测量量值值独独立立同同分分布布,均均服服从从正正态态分分布布N(,2 2),),方方差差 2 2反反映映了了天天平平及及测测量量过过程程的总精度。我们通常用样本均值的总精度。我们通常用样本均值根据定理根据定理1(1(基本定理基本定理),),有有再根据正态分布的性质再根据正态分布的性质(见见p110,p110,例例4.2.6),),知知例如：例如：当当 =
21、0.1 时，时，也就是说：我们的估计值也就是说：我们的估计值 与真值与真值 的的偏差偏差不超过不超过 的概率约为的概率约为 99.7499.74%,并且并且随随称量次数称量次数 n 的增加，偏差界限的增加，偏差界限 将越来将越来越小。越小。若取若取 n=10，则，则若取若取 n=100，则，则例例2：在设计导弹发射装置时，重要内容之一在设计导弹发射装置时，重要内容之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从心的距离服从 N(,2 2)，这里，这里 2=100米米2 2。现在进行了现在进行了25次发射试验，用次发射试验，用 S2 2 记这记这25次试次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。求求:S S 2 2 超过超过50米米2 2的概率。的概率。解解:根据基本定理，知根据基本定理，知查附表查附表4,4,得到得到:所以，所以，