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1、非对称屏蔽带状线的TM模研究一一频域有限差分法一、非对称屏蔽带状线TM模的理论分析本文研究的屏蔽带状线结构如图1所示。接地外导体为方形，边长为2=10mm,导带平行 于上下壁，到上下壁的距离壁为1:3,即。= 7.5mm,到左右壁的距离为令p = alb,那么导带宽度 /= 26(1-)，P的取值范围在0.3到0.7之间，导带宽度相对于外导体边长的变化率为2b= 1-,其取 值范围也在0.3到0.7之间。(1.1)(1.2)(13)用自由空间波阻抗o的平方根对Maxwell旋度方程中的电场和磁场进行归一化处理：上式中的等号代表赋值。设波导结构中不填充电磁介质，频域的Maxwell旋度方程可写为
2、:两万=Vx片jk0E = VxH其中，公为自由空间波数。在外导体和导带外表，切向电场分量为零，边界条件为纥1=，玛J=纥篇=，瓦扁=E =0z y=c-b,xly=c-b,x)-2 纥 & j)Hy (=g纥(力)- 纥(，+1,7 )-Ez(i,j) rvQfvQ rZ%(M=o纥)(21)4(5=K() 纥(5-京凡(M凡(T 川+京风)-乩葭/t)结合反和反的格点分布情况，为了能够直接应用边界条件(1.3)式，导带结构应该正位于整网格 点上，网格数N取4的整数倍。导带宽度方向的取样点数为(2A/ + 1),其中M =表示取整。导带中点的坐标为(N/2+l,3N/4+l),最左侧点的坐标
3、为(N/2 + 1 Af,3N/4+l),最右侧点的坐标为(N/2+1 + M 3N/4 + l)o2.3差分方程的导出由(1.3)式，可以得到该波导系统的离散化边界条件。场分量及满足的边界条件为：E 亿 1) = 04&N + l) = 0,l VzYN + 14(1,=0,纥(N + l,J) = 0,lqyN + l(2.2)纥亿 3N/4 + l) = 0,N/2-A/+1 iN/2 + M +1场分量反满足的边界条件为：(2.3)(2.4)纥亿1) = 0,纥 5)= O,1WN Ex(i,3N/4 + l) = 0.N/2-M-liN/2 + M场分量为满足的边界条件为:“l,J)
4、 = 0,，(5) = 0,jyN假设网格划分得足够细，引入离散边界条件(2.2)(2.4)式，现以各场分量的第1,2行格点为例进行说明：将每一行格点上的场分量构成一列向量，记作%（/） =囱（1,/），）=纥（1,万鸟=约（1,万&（2J）Hz（N + J,jN,，（2J）JYN + 1Ex（2J）,（NJ）,l_/VN + l4（2,./）j,（N + l,./）,lS/WN（2.5）用（/）=纥（1，/）纥（2J）Ez（N + 1J）TAj kh%Hy (d + 1) =纥(d + 1)+ AR纥(d + 1)纥(d + l) = g,(d + l)约(1) = -g.乩( + 1) W
5、(l) =-吉R%( + 1)+* 尸风(+ 1)-%。)：fVq fl/vq fl(2.10)其中，。是N+l阶对角方阵，。是N阶对角方阵，R是Nx(N+l)阶矩阵。P,。,火的具体形式为:P = diag(O 1 1 0 0 11 0), Q = diag(l 1 0 0 1 . 1),0 -10 16-11 0000 -11 ,-.,. -1 01 0(2.H)矩阵己。,分别与矩阵4/,8相对应。P相当于在4的基础上，将主对角线上最中间的2M+1个元 素由1替换成0;。相当于在/的基础上，将主对角线上最中间的2个元素由1替换成0；火相当 于在B基础上将最中间的2/+1个列向量全部替换成0
6、向量。按照前面的步骤，继续写出每一行格点满足的方程。对于远离导带区域的格点，方程的形式与 第1,2行格点满足的方程形式类似，遍历所有的格点后得到完整的方程组，这里不再重复表达。记% =也 /（2）,（N）1凡=凡凡%（N + D纥=凡纥。）纥（N + 1）了（212）玛=4纥约了4=应2（2）E/N + 1）了那么Hx, Hy, Ex, Ey,及各自满足的方程为:H、+ K%E_=-邑 I0AE、, x kh 照 ，H.=艮 K：E、+-KEy k. X X k.h 2 z(2.13)(2.13)E%KHy kE、,=储0 AH、 k。Ez=-工 K；H,+ - K；H、 kQh kh/区N表
7、示矩阵/与力的Kronecker积。其中，K是N+1阶元胞方阵，氏是N+1阶元胞方阵，K3是Nx（N+l）阶元胞矩阵。具体表达式为：。1K、=Q(2.14)K相当于在/的基础上，将主对角线上第d+1个元胞由/替换为。K?=殳相当于在/（8）5的基础上，将主对角线上第d+1个元胞由B替换为心O -AO AOAA -PP -AA-A OA OK相当于在8区/的基础上，将第d+1列上的非零矩阵元由4替换成P,由-/替换成孑。将(2.13)式整理成心=的形式，即-O(3hKx00hK；OOOOOOO -f3hIAO-jK；。OO例/ AOJK；O西o_此oE、HyEy =攵/H, EzEx Hy Ey
8、 Hx Ez(2.15)(2.16)(2.17)由此可以看出矩阵K是Hermit矩阵，其特由此可以看出矩阵K是Hermit矩阵，其特考虑到Kronecker积的重要性质：（/（8）8），=,征值居上必定为实数。求解该特征值问题，可得该波导的一组特征模及与各特征模对应的特征值 质鼠 逐点扫描口值，可得到各模式的色散曲线。矩阵K是（N+l）（5MH）阶人型稀疏方阵，随着网格数N的增加，矩阵K的阶数会急剧上升。通 过数值试验可以发现，矩阵K的特征值有正有负，有多重0特征值，还有等于6的多重特征值，而我 们需要的是大于丑的两个最小特征值及其特征向量。倘假设N值取得过大，最后的计算结果虽然精确度 高，但
9、是却消耗了大量的计算资源和计算时间，因此要对网格数N值作一定的限制，既不能太小而影响计算精度，又不能太大而消耗过多的计算本钱。上述方法求解问题的程序框图如图4所示。图4频域有限差分法计算程序框图波导系统的色散方程为/=后2-瓦2,上为对应模式的截止波数。按照之前的分析，令B = 0,该情 况下求出自就是截止波数左C。取2=0.5,先采取比拟稀疏的网格划分（例如N=12）,可以大致求出 两个最低阶TM模的截止波数为519.4464和742.9025 mL 对应的截止频率约为24.8和35.5GHz。 为了画出比拟完整的色散曲线，取频率描的变化范围在2242 GHz之间，对应波长的变化范围是 7.
10、14-13.64 mmo为了保证计算精度，网格步长至少是最小波长的1/201/10,因此N的取值范 围是140NW28, N取4的整数倍，所以N= 16,20,24,28。三、结果分析导带宽带对两个最低阶TM模的影响网格数为20x20, 4 = 300m/时，两个最低阶TM模式的截止频率随的变化关系如表1所示。 可见，随着p的增大，如和如都在减小。由色散方程可知叱=心2_.2,随着导带宽度的减小，两个 最低阶TM模的截止波数（截止频率）也在减小。表1公随p的变化情况（N=20/=300nri）7P0.30.40.50.60.7如(1)602.5396601.9488600.5992598.06
11、19593.8980如(1)809.5382807.8823804.2900798.0258788.93313.1 两个最低阶TM模的色散特性和横截面场分布由表1可知，夕固定不变，p取不同值时，用的变化程度最高不超过3%。由色散方程可知，色散 特性曲线基本保持不变，只需画出p取某个特定值时两个最低阶TM模的色散特性曲线。取网格数为 20x20, p = 0.5o先令夕=0,由此计算出两个模式的截止波数为七1 = 520.3070 m,L2= 746.2455 mL 根据色散方程可以画出色散特性曲线的“解析解工逐渐增大的值，能计算出一系列与之对应的4o 值，这就是用频域有限差分法（FDFD）计算
12、得到的“数值解”。将解析解与数值解画在同一幅图上进 行比照，如图5所示。可以发现，数值解几乎与解析解完全重合，这也从一方面说明了 FDFD方法 计算程序的正确性。两个G低阶TM极色取曲线 800 7002000 2224262830323436384042-Hz)图5 = 0.5时两个最低阶TM模的色散特性曲线不管在取何值，两个最低阶TM模的横向场分布不变，只是幅度略有不同。这里给出=0.5、相 位常数夕=300 m”时非对称屏蔽带状线横截面的场分布，如图6和7所示，网格数为20x20。仔细观 察这两个模式的电场和磁场分布，可以发现，导带结构的上半空间区域的电/磁场强度非常弱，这说 明导带和周围的外导体结构对电磁场起到了 “屏蔽”的作用，将绝大局部的场约束在导带结构的下 半空间区域。现在考虑一个矩形波导结构（横截面长10 mm、宽7.5 mm）,计算出它两个最低阶TM模（TM” 和 TM21）的截止波数：及1=523.5988 m/,加2=755.1449 mL 当=300m/时，相应的攵oi=6O3.4531mL 公2 = 812.5539 mL这与表1中=0.3时的计算结果非常接近。这说明导带结构越宽，对电/磁场的 屏蔽作用越强，非对称屏蔽带状线的工作模式就越接近于矩形波导。