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1、素养提升微专题（六）截面问题问题提出在处理空间几何问题时，常遇到用一个平面去截几何体,判断截面的形状或求截面的周长、 面积等问题.很多同学空间想象力不强，确定平面的公理运用不够熟练,遇到此类问题往往束 手无策，为此，有必要总结一下画截面的方法，帮助学生又快又准地找出截面，顺利解决截面问 题.画一个平面截多面体的截面，关键是确定交线，常用的方法有：方法1.直接连接法:当有两点在几何体的同一个面上时，连接该两点即为几何体与截面的 交线.方法2.作平行线法:过直线与直线外一点作截面，常用到面面平行、线面平行的性质，通过 该点找直线的平行线，即找到几何体与截面的交线.方法3.作延长线找交点法:观察在同
2、一个平面上的两点,连接并延长至另一个点所在平面, 同一个平面有两点那么可连线，需要注意长度的运算、比例关系，否那么难以确定位置关系.名师点析确定截面的主要依据有:（1）平面的四个公理及推论;（2）直线和平面平行的学商 和性质;（3）两个平面平行的性质;（4）球的截面的性质.结论应用例1如图，在正方体ABCD-AxBxCxDx中，点E,F,G分别在AB,BC,DDi上,求作过E,F,G三 点的截面.例2（2018全国I ,理12）正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相 等，那么。截此正方体所得截面面积的最大值为（）例3（2021山东日照一模）直三棱柱A3C-A15G的侧棱长为2AB
3、_LBCAB=BC=2.过的中点瓦尸作平面a与平面A4CC垂直，那么所得截面周长为（）A.2V2 + V6B.V2+2V6C.3V2 + V6D.3V2+2V6针对训练L如图，在正方体ABCQ.A/Cid中，点瓦尸分别是棱8/IiG的中点，点G是棱GC的中点, 那么过线段AG且平行于平面AiEF的截面图形为（）A.矩形B.三角形C.正方形D.等腰梯形2.（2021内蒙古呼和浩特一模）在棱长为2的正方体中石为5G的中点，那么过B,D,E三点的平面截正方体ABCD-MBxCxDx所得的截面面积为（）C.3V2D.27103.如图，在棱长为6的正方体A3CD-A向GOI中，邑F分别是棱GU囚G的中点
4、，过A,邑F三点 作该正方体的截面，那么该截面周长为（）A.3713+6V2B.2V13+4V3C.5713+3V3D.6V134-3V24.（2021山西临汾一模）在棱长为2的正方体A8CZ43iGZ）i中，平面a J_8。,那么以平面。截正 方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以8为顶点的锥体的外接球的外表积为（）A.12兀25tiD.6兀20n5.如图，在长方体ABCD-A/iGDi中,48=16万。=1044=8,点 反尸分别在 上,4E=DiF=4,过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；求直线AF与平面a所成角的
5、正弦值.素养提升微专题（六）截面问题【例。解作法:在底面ABCD内，过作直线EF,分别与D4,。的延长线交 于 L,M.在侧面AAiDiD内，连接LG交A4于K.在侧面CCiDiD内，连接GM交CCi于H.连接KE,FH.那么五边形EFHGK即为所求的截面.【例2】A 解析满足题设的平面a可以是与平面43cl平行的平面,如图所示.图再将平面AiBC平移，得到如图(2)所示的六边形.图图设如图所示，可得截面面积为SV2(1 -a) +V2(72x-3x|x(V26i)2x =彖-2q2+2q+1),所以当 a=乙乙乙乙乙乙时,Smax二噂 X (-2 X：+2X:+1) =.Z 4Z /4【例3
6、】C解析如下图，取AC的中点J,连接BJM A/的中点连接DEM A1C1 的中点K,连接K7,BK.9：AB=BC,J 为 AC 的中点，那么 BJLACX A/LAAi,，A/_L平面 AAiCiC.*. D,E分别为AJ.AB的中点,那么DE/ BJ,：.平面441C C/平面DEF.L平面A41cle，平面a即为平面DEF.JK分别为AC,AiCi的中点，四边形581KJ为平行四边形.设平面I平面 BBiKJ=FG,那么 FG/BJ,一为531的中点,G为KJ的中点.延长DG交AiCi于点“，那么为KG的中点，设平面a交BiCi于点/,那么所求截面为五边形DHIFE.;平面4BC平面4
7、B1C,平面aA平面及平面afl平面AiBiCi=/H,:DEBJ,BJBK,DE 1H,：.1HBK,：J 为 BC 的中点30,43=30=2,那么 ACAB2 + BC2 =2a/2,为AC的中点,二yc=vx那么。=物/二*同理1H空, 乙乙乙乙BF=1, EFHbF? + BE2 =同理可得 IF又 DH= 22 + (V2)2 = V6,因此截面的周长为OE+/H+Eb+/+。”二孝2+72+=3/+应选C. 乙【针对训练】D解析取5C的中点H,连接A”,GH,由题意得 GH/EFAH/A1F,又GM平面4ERR=平面AiEF,G平面4ER同理A”平面AiEF,又 GnAH=H,G
8、H,AHu平面 AHG,，平面 AHG平面 4ER连接 ADiQiG, 那么 AD/GH,又A6平面AG,GHu平面AG,，AZ)iu平面AHG,即点A,H,G,Di确定一个 平面，故过线段AG且与平面AiE/平行的截面图形为四边形AHGD,显然为等腰 梯形.1.B 解析取出C的中点连接OF,瑁荧瓦即等腰梯形BEFD为截面,设梯形砥方。的高为力由平面几何知识得力=15-=，所以截面y Z Z由和% c EP+BD 1 V2+2V2 3V29 牡、上口面积为S=-h=- X - = 5.应选B. 乙乙乙乙2. D解析延长EF与AiBi的延长线相交于M,连接AM交BB于H,连接FH.延长FE与Ai
9、Di的延长线相交于N,连接AN交DDi于G,连接G瓦可得截面 五边形AHFEG.立方体ABCQ-AiBCDi是边长为6的正方体，且&F分别是棱CiDi.BiCi 的中点、，:.EF=3a,AG=AH=762 + 42=2旧,6=r=，32 + 2 = g.，截面的周长为6尺+3企.应选D.D4.B解析如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形EFGHKI时，截面面积最大, 此时正六边形的边长为鱼，设81。交截面EFGHKI于M那么加为的中点，所以乙显然正六棱锥外接球的球心在直线BQ上，设外接球半径为R,当球心在棱锥内部时，如图。1,有R2=（或）2 + （遮一R，,解得氏二竿，外接球的外表积
10、为4/（写/=等；假设球心在棱锥外部时，如图02,有产=（遮）2 + （R_b）2,解得氏=苧 8（舍去）.O所以外接球的外表积为孥.应选B.5.解(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作垂足为，那么 AM=AlE=4,EM=AA=S.因为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC= 10.于是 MHZEH2-EM2=6,所以 AH=10.以。为坐标原点，方彳的方向为x轴的正方向,建立如下图的空间直角坐标系, 那么A(10,0,0), ”(10,10,0),石(10,4,8)4(0,4,8),朋=(10,0,0),近=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，贝U嚷之解得10% = 05 匕匕 7 r.6y + 8z =。所以可取 n=(0,4,3),又Q=(-1048),故Icosvn,而|=吗=率.nAF15所以A/与平面EWG尸所成的角的正弦值为率. JL J