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1、素养提升微专题(二)应用洛比达法那么速求参数范围问题提出如果当XXO(XO也可以是8)时，两个函数危)和g(x)都趋向于零或都趋向于无穷大，那么 极限曾。招可能存在，也可能不存在我们称这类极限为号型或/型不定式极限.对于这类极限, 一般要用洛比达法那么来求解.定理1：假设函数人幻和以月满足条件：(1加幻和g(x)在xo的某个去心邻域内可导，且gQ)WO.(2) limf(x)= lim g(x)=O. XXqXXq妈编=凡那么有期播=蝇篇定理2:假设函数#x)和g(x)满足条件：信)和g(x)在为的某个去心邻域内可导，且gQ)纳(2) limX)= lim g(x)=oo.XXqX%o姆卷h那
2、么有黑需=姆卷h那么有黑需=ir(为 hm -a.x-x0 9(%)在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛比达法那么.结论应用例1设心0,假设In(需)2a|x|对x(1l)恒成立，求。的取值范围.例 2 设函数 /(x)=ev-l -x-tzx2.假设=0,求段)的单调区间；(2)当时次x)20,求a的取值范围.针对训练L函数）=。+1）皿/（工-1）.假设当x（l,+oo）时次x）0,求a的取值范围.2 .函数X）二署+ 2曲线产危）在点（1川）处的切线方程为x+2y-3=0.（1）求a,b的值;（2）如果当x0,且 印 时段）当+ 2求k的取值范围.X-1 x素养提
3、升微专题（二）应用洛比达法那么速求参数范围【例1解令f=|x|O,l）,那么In（翳）法对x（-l,l）恒成立等价于皿（甘）NG 对，0）恒成立.当t=Q时，不等式恒成立，也（罟） 一当t0时，有左一4对y （0/）恒成立.人曾信）令G二一42，那么G，LL令如尸壬山(甘)，ml ,/、2+2t224t2八贝I H(D=六n = -70,(14)21-t2(1.产)2所以“在(0,1)上单调递增，于是“(0)=0, 即G0,所以G在(0,1)上单调递增.22由洛比达法那么，可得lim G(Z)= lim 4=2,于是00时了(1)0於)单调递增，当xQ时了(1)0配)单调递 减.函数於)的单调
4、递增区间是(0,+oo),单调递减区间0 时4%巨0,即 e-1 -xax2;当 x=Q 时,e0-l-0ZQx0 恒成立,qR；当X0时,eM-XN以2等价于6Z0),g(%芦02,令 /z(x)=(x-2)er+x+2(x0),那么 h r(x)=(x-1 )eA+1 (x0),(h z(x) -xex0, /. h r(x)=(x-l)ex+l 单调递增,: h x) h (0)=0, .* h(x)=(x-2)eJ+x+2 单调递增,e. 7z(x)7z(O)=O, /.当 .(0,+8)时以(%)=幺孚0,二 g(x)=e 一产在(0,+8)上单调递增，由洛比达法那么得limg(x)
5、 = lim %0%-0v ex-l v ex 1hm = hm =%0 2x ao 22ex-l-x1111,当X0时,g(x)一5，当了(。,+8)时,g(x)5,因此 史5综上，当 好5且它。 乙乙乙乙时犹MK)恒成立.故a的取值范围为(-吗-.【针对训练】x+1Xx+1Xl-lnx)(x-l)-(x+l)lnx x-2nx1，令 K(x)=x-1-21rLx,那么K3=x2-2x+10,于是K(x)在(l,+oo)上单调递增，所以K(x)K=0,于是1 .解当 a (1, +00)时次 x)0qq 1+ X-1/与耳臀=j l+x：m%=2,于是好2,于是a的取值范围是(-oo,2.X
6、1+X1+1a2 ,角翠二a2 ,角翠二(x+1)2由于直线x+2y-3=0的斜率为且过点(1),故,故,r/(i) = 1, 1即I/=弓，b = 19a ,1解得，2-b = a = 1,b = 1.(2)当X0,且/1时於)曾+ 1 %-1 X加 Inx , 1、Inx , k . xlnx . xnx 2xnx t 即 + -? + -,k。,且 #1,那么 g(x) =2(x2+l)lnx+2(l-%2) _ 2(%2+1)八口 +-(I-%2)2 记 /Z(X)=11U：4I-%2x2 + l5=二组0,(1+x2)%(l+x2)所以/z(x)在(0,+oo)上单调递增，且/?(1)=0, 因此当 工(0,1)时)(x)0,当 x(l,+oo)时 j(%)0;当 x(0,D时,g30,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+cc)上单调递增.由洛比达法那么有妈g(%尸驯(咨+1)=1 +妈咨=1 +妈驾坟=0,即当x0,且时,g(x)0. -ZX因为Zvg(x)恒成立，仁0.综上所述，当x0,且样1时次x)詈+ ：成立此的取值范围为(.8,0.