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1、例谈不等式证明中的“切线法”及其拓展一郭子伟“切线法”作为初等不等式证明的一种入门方法，我相信有一定数学解题经验的应该都有所了解，特别是 对不等式爱好者来说更属于常识C我在论坛上解题或讨论时也不时提及此法，发现此法的普及程度仍然不高, 经常还是有人询问相关资料，或是对此法仅是掌握其外表而未能得其思想精髓。然而，我在网络上也未曾见过一篇对此法讲解得比拟好的文章，不知是觉得太简单没什么可写而没人去写 还是只是我搜索能力太差。由此，经网友建议，我决定自己写一篇，发表在此刊以普及此法并试图给出一定的 拓展，可以说是小题大作番，请不等式高手们莫见笑。一、“切线法”的基础思想下面先由两个简单的例子来引入何
2、谓“切线法例 3.2.L q,Ac2（）,q + /? + c= L 记 T = 74（1 不 1 +，0 + 1 + 1,求证：T /21分析如果我们在放缩时能把根号去掉，并且化为次的多项式，那么就可以代入条件从而解决问 题。观察式子，由对称性，我们只要找到适当的常数p,g满足/4a 4- 1 0,-(4a + 1)=宗(3。- I)2 0,可知式（322）成立。同理对c也有类似的两式，三式相加得到TT ab + be + ca分析 这题待证不等式的形式与例321不一样，需要先转化为a） +/（c） （或封。的形式再考 虑切线。证明由条件，有r FT y- , .厂 fT 厂（。+ 6 +。
3、） 庐 Ja -f- V6 4- /c a6 4- 6c 4- ca /a 4- v6 + y/c Q（? + 2x/a + 庐 + 2/ + 2 + 2 9。（3.2.3）f（x） = x1 + 2y/x在n = 1处的切线为y 3x,故尝试证明q2 + 2/g _ 3q,事实上，由均值不等式，上式显然成立，故式（323）成立，原不等式得证。以上两例是典型的切线法解决不等式问题的例子，其方法可以归纳为：切线法 对丁，21，2,，羟。,化】+ *2 H=。为给定区间，k为常数，求证/ （叫）+ /（X2）+ + / （漏）W （或多。（3.2.4）这样的条件不等式，当观察得取等条件为叫=的=
4、,=/）= 内时，可以找出（工）在= 4处的切线函数 nn（3.2.5）（3.2.5）川+ q （假设/可导），尝试证明局部不等式/（） （或 2）*+ 4,假设式（325）区间。内恒成立，那么式（324）成立。求切线可以使用导数和点斜式的常规方法，也可以待定系数，这相信大家都会的，所以关键就是式（325） 能不能证出。然而，并非所有这类题目求出来的切线都能使式（325）在。内恒成立，实践经验告诉我，恒成 立的很多，不恒成立的也很多。因此，切线法属于试探性的方法,并非通用的完备方法。之类的因式，注意了这有人也许会觉得这类题也可以用琴生不等式去解（如例321）。但事实上，假设仅就此类题来说，切线
5、法比 琴生不等式的适用范围更广，因为使用琴生不等式需要函数保凸，而切线法那么只需函数图象在切线的一侧即 可，例322的函数/ + 26就是半凹半凸的，不能直接使用琴生不等式，而并无碍于切线法的使用。当然， 在其他领域，琴生不等式的应用更多，不是切线法能比的。对于.f（.r）是多项式或简单分式的情形，一般与切线作差后就能分解出 一点后，在实际计算上就比拟好算了。还有就是在思考时可以大概想想函数图象，便于快速判定切线是否可行。以上两例中分析的函数及其切线分别如图及322所示。图 321图 二、退一步，分类使用切线法如果碰到找出的切线时式（325）并不恒成立，是不是就要放弃切线法的方向？其实，我们可
6、以退一步，有 些时候不成立的只是一局部区间，这时我们可以先对不成立的区间局部进行讨论，假如讨论成功就好，剩下成 立的区间继续切线之。下面举两例说明：例32.3.q”.cW %q + /)+ c = 3,求证:1 t 1 152-4a 4-11 + 5分一如+11 + 5c2_*+111-4(3.2.6)i1分析取等条件为a =L求出嬴工五在处的切线为才3一叫但5*工十 1逐枭 一。）一（-1）2（5q-9）W。9显然只对 V成立,故需分类讨论。ao证明 当a”.c中有个大于:，由对称性不妨设因二次函数57 41+11开口向上且时称轴为 559x = -所以有5a2 4 5 5/ 5 + 115
7、5c2-4c 4-11 5-从而1 1 1 1111- -I- -V + =；5a2 - 4a +11 5&2 -46+11 5c2 - 4c+11 20 10 10 49I1当a, Ac都不大于时，由前面的分析知力一一- ab。险t=M，由均值不等式，有加+ 许一曲22t - g = 士仁一声），以及。心（十）晨又由8(1)5 = 0,所以2 步2 0,即得的十孤之而，即此时式(327)成立；(2)当：时。由切线法分析得6x/a + x/b + c ab + be + ca一%+孤+ 。匚- 2 (必+改+ %)+ a2 +产+ /之9一 (2西+滔铝”0eye /0- 1)2(3SZo1
8、+ 9/o2 4- 4q. + 6a - 1) 0,eye , /最后一式显然成立因为a,Ac2 ；,即此时式(3.2.7)也成立。综上所述，式(327)得证。三、齐次无条件可制造条件有一类不等式，虽然没有和为定值的条件，但有齐次性，故可以自行加设条件(关于齐次不等式的概念及 加设条件的依据可参见笔者在人教论坛上发过一篇文章关于不等式证明中的不妨设问题),使之成为可用 切线法的条件不等式。我们继续举例说明：例32.5.N,%2应十，求证：3 + - - z)2( + N - )2 _ (z + 6 - 妨23(X + ?/)2 + Z2 (?/ + z)2 + X2 (z + X)2 + ?户
9、-5 证明 由于不等式中的变元为正，并且不等式是齐次不等式，故可不妨设 + g + z 1,那么(二 + y -(1 2力2(x + y)2 + z2 (1 - z)2 + z2 而(1 - 2z)2 _5423n(1 + 6z)(1 - 3z)2 (1 一 z)2 + 22 252525(1 -2)2 + 25/ - 显然成立，由此可得(7 +- 2产(X + y)2 + z2(7 +- 2产(X + y)2 + z2(劣 + Z - N)2(y + z)2 + x2(z + N -劣产(z + )2 + y254 z 、 233_(x + !z + z) + 3.- = -故原不等式得证。
10、四、延伸到支撑线分析前面讲述的切线法中提到需要观察取等条件为为=*= = 1时才可以继续构造切线去放缩，然而有 时候虽然不等式完全对称，但取等条件却不一定在各元相等时取得。比方我们就将例321改一改，考虑了的 下界，得到下例：例32.6.。,66之0,。+ 6 +。=1,记T= /不1+，551+巫钉，求证：T /5 + 2o分析 不难观察出此时的取等条件是Q,6C中两个为0另一个为1,切线法 失效。但思想是活的，我们延续切线法的思想，仍然希望将各项放缩成直线函数 px + q,要满足/4a 4- 1 pa + q而且由取等条件应当a = 0,1时两边相等，由此, 设/仅)= /WT,那么pa
11、+q应是过两点(0J(0),(lJ(l)的直线(述一1)。+ 1, 假如在由条件所限的区间内/(q)的图象在该直线上方，问题就有望得到解决c事 实匕 想想图象就知道这是显然的(如图323所示)，所以剩下的工序就是证明 这一事实成立。+ 1 (x/5 - l)a + 1。(3.2.8)图323证明 由条件，显然有aepl,我们先证明此时有由24a + l (述 l)a+ 1) =2(3- /5)a(l - a) 0, 可知式(328)成立。同理对b,c也有类似的两式，三式相加得到T (/5 - 1) (a + 6 + c) + 3 = 75 + 2,当a,中两个为0另一个为1时等号成立.由此证法
12、可见，假设改变变量范围的卜界，比方改成。,乩。2-：，那么只需将直线改为过点(R4) 和(I即可。此例的其他证法见： :/. cn/thread-929810-1 -1.htmlo由图象的特点，这里形象地把这种分析方法称作“支撑线分析法”，两曲线的公共点称作“支撑点”。而 且，寻找的支撑线还不一定要是直线，还可以是一般曲线，下面再举一例：例 3.2.7. a, c, d E 1R 且 a2 + b2 + c? + d2 = 4,求证：-5 + 肚 + / + / 2(8 + a3 + - + c3 + d3) 32 o分析 由于这次的条件是二次式，所以我们不能放缩为直线函数了，而是希望能放缩成
13、不含一次项的二次 函数，这样才能代入条件。先行右边的不等式，我们应该设法将待证式中的三次式放缩为二次式仪产+如 通过观察，不难发现原 不等式的取等条件是中三个为0另一个为2。这样一来，我们需要找的是一条被三次函数/(0=13 “支撑”的二次函数心)=陛2 + g,并且“支撑点”是(0 J(0)和(2 J(2)。由条件知各元的取值区间是 -2,2,再想象一下在这区间内的图象，可知g(乃=2/符合以上要求且显然可行。再看左边的不等式，取等条件相同，故类似地分析，可知需要找一条被函数“工)=-2“支撑”的二 次函数=r/ + s并且“支撑点”是(0Jr(0)和(2,八),由此不难找出是i(x) =
14、4x2,但由于h(x)的次 数较高，其图象不容易想，要到尝试证明的时候才知道是否可行了。证明 由条件，显然有对于右边的不等式，先证明a3 0,可知式(329)成立。同理对b,c,d也有类似的三式，故此2(8 + a3+63 + c34-d3) 2(8 + 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2) = 32：对于左边的不等式，先证明a5 - 2a3 0,可知式（329）成立。同理对b,c,d也有类似的三式，故此5 + 庐 + 泼42/ + 4q2 + 2h3 + 4户 + 2c3 + 4c2 + 2d3 + 4/ = 2(8 + a3 4- h3 4- c3 + d3) o综上所述，原不等式
15、成立，取等条件均为a,中三个为0另一个为2。上例中所分析的支摔线图象如下图。图324由这两例可以看出，支撞线分析法处理不等式问题的关键是先要看准取等条件，然后寻找适当的过取等点 的与条件等式相关的函数，寻找时可联系图象。如果能找到与待证不等式的项的函数有不等关系的函数 （在图象上看也就是能“支撑”并且取等点是“支撑点”时），问题就有望被解决。在一定程度上，切线法也可 以看作是支撑线分析法的一种特例（切点为支撑点）。当然，这种分析法也是试探性方法，而且实践中，非切 线的支撑线分析法的可行率相对较低。五、拓展到空间前面讲述的都是待证不等式的项都是一元函数的情形，故用切线法或支撑线分析，那么如果待证
16、不等式的 项都是二元函数呢？类比一下，自然想到的是切平面或支撑面分析。下面举例说明：例32.8.a/),cWK+且q + 6 + c = 3,求证：2 S + 1) R (c+1) c2(a + l)i 7 + 1J- 十二 Noa + b + q4b + c + be c + a 4- ca分析考虑二元函数加。）=黑岩，由切线法的思想，希望将其放缩到如 由于取等条件为a = b = c = 1,故可尝试构造/（a,乃在点（1,1J（1,1）处的切平面作为目标g（a,b）记解得解得K（a/）=包臀，u（a,6） = 学国，故g（%b）应该满足方程组8a 61g(a, b)=最后验证是否可行。证
17、明由a2 (fc 4- 1) 8a - 6 - 1 (q - I)2 + Q(b I)2 -I- b(a - l)2、八a b + ab 99(a + 6 + ab)得到a2 (b 4-1)、8q - b 1a + b + ab -9故一 .、,.二a2 (ft + 1) b2 (c + 1) 。2(0 + ) &x - b - 1 86 - c 1 8c - a - 1 ,、_| 1 + - =2*LJ a + b + ab b + c +儿 c + a + ca 999类似地，在理论上也有支撑面分析等等方法，甚至可以更多元，总之思想都是一样的。而需要说明的是, 由于空间曲而方程的性质比拟复
18、杂，一般难以直接看出是否可行，实践经验告诉我，切平而或支撑面分析法的 可行率更加低。六、灵活运用前面我一直强调，上述这些方法都是试探性的方法，所以有的时候即使满足上述形式，分析出来的支撑线 面等也不一定可行，分类讨论也不一定能简单地证出。还有更多的不等式并不能直接套用或转化为这些方法的 模式上。但我也强调思想是活的，比方有些时候虽然在一整项上行不通，而在局部运用也能到达很好的效果。 所以，我们要灵活运用卜.述这些方法，至于该怎么选择怎么用，这就要靠大家积累经验，慢慢体会了。例3.2.9.W知+目.a+ b + c = 1,求证:一 + I +” .一 01+a1 + 61 + c - 4分析
19、这题每一项为哪一项二元函数，用切平面分析后发现不可行。但如果将丁士-看作人一而仅对丁二 1+a1 4- a 1 4- a证明由切线法有证明由切线法有1Q-(3a-5) 一(3a-I)216(1+a)使用切线法时，注意到其图象是递减11.下八的，所以将会在斜率为负的切线上方，这样放缩后将会出现一次项 以及负系数的浦项，而后者经三式求和后显然可以由均值再放缩到(Q + b + C)2,这样如无意外下就证得了。以及两外两式，二式相加再由均值不等式，有333 一正6(3。- 5) - /侬-5) - -a(3c - 5)9 . .15.、=- - (aft + be + ca) + (a + b +
20、c)由均值不等式有33 (xy + yz + Nt) + 1 + g + z 6 (2 + / + g + z + + na)9 /、 1 , x 15=彳(眼 + ” + NN)+ 彳(N + g + Z)-丁27315 c1= 0,一442故原不等式成立U习题以下题目主要针对本文所述的方法而设，有的题相信有人见过并熟悉,也有的题是原创题。大家除试用本文所述的 方法求解之外，也希望多思考其他方法，尽可能多解，也可以去加强、推广等,总之就由大家发挥了。参考解答斗3在下期 贴出。q *I* *)*题目3.2.1. (2010南昌巾.一模题)?)=-j孑W ：0,3,数列a7i滴足0 a(fc2
21、+(?) + fe(c2 + a2) + c(a2 + /)。题目3.2.3,a.AcNO且a + b + c=l,求丁J + 纥 +的取值范围。1 + a2 1 + b2 1 + c2题目3.2.4.db,c0且q + c = 3,试证9+，+白2/+/ + /并尝试推广到四元。题目3.2.5,见,。0,求证：a(b + c) 6(c + a) c(a + b) ,6Q2 + (b + c)262 + (c + a)2 + c2 + (a + 6产一5 题目 3.2.6. c 1 且(q + b + c I)2 = 2(ab + ca + 2),求证：a+1b+1c 12q + 3b + 3
22、c + 33题目3.2.7.qmc 2 0且a + b +c = 3,求证：1 1 12ab2 + 1 + 26c2+ 1 + 2ca2 + 1 之 题目3.2.8.a,b,c 0且。*+户+d=3,求证：(b + c- (c + a)2 (a+ 6-WF + rT ,三军丁 或9 (q + 6 + c)215z.、之一而+元(a + 6 + c)3=49原不等式得证。例32.10.X, y, z G质+且xyz = 1求证：3/工3 3(l + x)(l +y) + (1 + j/)(l + z) + (l+z)(l+x) 4证明 去分母整理知原不等式等价于3r3 (14-2)+ y- (1 +ar) + x3 (1 + y) (2 +1 + g + z + yz + zrr),4由切线法易得力3 z :近2等等，于是x3 (1 + z) + y3 (1 + x) + 23 (1 + y) (3n - 2) (1 + z) + (3y - 2) (1 4- x) + (3z -2)(1+ y) =3 (xy + yz + zx) + % + + n-6.