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1、第5讲：常用逻辑语言【知识整合】一、 命题及其关系1. 命题的定义与结构我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。（1） 并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。一般来说，开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题（2） 要判断一个语句是不是命题，就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件。2. 四种命题一般地，用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆命题：若，则。3. 四种命题间的相互关系互否逆否命题逆命题互逆互逆原
2、命题互否否命题（1） 若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；（2） 若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性没有关系4. 充分与必要条件（1） 充分条件、必要条件。一般地，如果，那么称是的充分条件，同时称是的必要条件。（2） 充要条件：一般地，如果，且，那么称是的充分必要条件，简称是的充要条件，记作（3） 从逻辑推理的观点看，有：如果，且，那么称是的充分不必要条件。如果，且，那么称是的必要不充分条件。如果，且，那么称是的充要条件如果，且，那么称是的既不充分也不必要条件（4） 从集合与集合之间关系上看，有：（1） 若，则A是B的充分条件（2） 若，则A是B的必要条件（3） 若，则A
3、是B的充要条件（4） 若，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件。二、 简单的逻辑联结词1. 逻辑联结词“或”“且”“非”的含义（1） “或”。一般地，用联结词“或”把命题联结起来，就得到一个新命题，构成形式是“”，记作“”（2） “且”，一般地，用联结词“且”把命题联结起来，就得到一个新命题，构成形式是“”，记作“”。（3） “非”，一般地，对一个命题进行否定，就得到一个新命题，记作“”，读作“非”或“的否定”。不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题。2. “”“”“非”形式的命题的真假（1）的真假：真真真真假假假真假假假假（2） 的真假：真真
4、真真假真假真真假假假（3） 的真假：真假假真三、 全称量词与存在量词1. 全称量词“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意”；含有全称量词的命题称为全称命题，用“”表示，其中M是给定的集合，是一个含有的语句。2. 存在量词“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“”表示“存在”；含有存在量词的命题称为存在性命题，用“”表示，其中M是给定的集合，是一个含有的语句。3. 含有一个量词的命题的否定全称命题：，它的否定：存在性命题：，它的否定：。【典例精析】1. “”是“”的 。（填“充分不必要条件”“充要条件”“
5、必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”）2. 下列各题中，是的什么条件（指充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件）？并说明理由（1）；（2）；（3）两个三角形面积相等，这两个三角形全等；（4）3. 函数是上的增函数，若，则（1） 写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论（2） 写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论4. 有四个关于三角函数的命题：；其中假命题的是。5. 若不等式成立的充分不必要条件是，求实数的取值范围。6. 已知。若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围。7. 设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。8. 若下列三个关于的方程中至少有一个方程有
6、实根，求实数的取值范围。9. ，函数有意义，求实数的取值范围。10. 已知，且是的必要而不充分条件，求实数的取值范围。【重点题型强化】1. 在下列各命题中，判断A是B的什么条件，并说明理由（1） ，B：方程有实根；（2） A：圆与直线相切，B：。2. 已知，若是的充分不必要条件。求实数的取值范围。3. 下列四组命题中，是的充要条件的是 。；在中，4. 判断下列命题的真假：（1） 对角线不相等的四边形不是等腰梯形（2） 若，则（3） 若（4） 若5. 已知，则是的什么条件？6. 已知有两个不相等的负实根，无实根，若或为真，且为假，求的取值范围。7. 判断以下命题的真假：（1）（2） ；（3） ；（4）8. 函数对一切实数均有，且。（1） 求的值（2） 当恒成立时，求的取值范围。9. 已知集合，若为假命题，求实数的取值范围。10. 设关于的不等式的解集是，函数的定义域为R如果和仲有且只有一个正确，求的取值范围。