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1、精品_精品资料_专题十四 推理与证明、新定义1.【 2022高 考 湖 北 , 理9 】 已 知 集 合 A2 x, y x2y1, x, yZ,B x, y | x |2 , | y |2, x, yZ,定义集合AB x1x2 , y1y2 x1, y1A, x2, y2 B ,就 AB 中元素的个数为A77【答案】 CB 49C 45D 30【解析】由于集合A x, y x2y21, x, yZ ,所以集合 A 中有 9 个元素即 9 个点,即图中圆中的整点,集合B x, y | x |2 , | y |2, x, yZ 中有 25 个元素即 25 个点：即图中正方形 ABCD 中的整点,
2、集合AB x1x2, y1y2 x1, y1A, x2, y2 B 的元素可看作正方形A1B1C1D1 中的整点除去四个顶点,即 77445 个.【考点定位】 1. 集合的相关学问, 2. 新定义题型 .【名师点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念,或商定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情形,要求考生在阅读懂得的基础上,依据题目供应的信息,联系所学的学问和方法,实现信息的迁移,到达灵敏解题的目的 .2. 【 2022 高考广东,理 8】假设空间中 n 个不同的点两两距离都相等,就正整数 n 的取值A大于 5B.等于 5C.至多等于 4D.至多等于 3【答案】 C 可编辑资料
3、- - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】明显正三角形和正四周体的顶点是两两距离相等的,即由此可排除 A 、 B 、 D ,应选 C 【考点定位】空间想象才能,推理才能,含有量词命题真假的判定n3 或 n4 时命题成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【名师点睛】此题主要考查同学的空间想象才能,推理求解才能和含有量词命题真假的判定, 此题属于中高档题,假如直接正面解答比较困难,考虑到是选择题及选项信息可以依据平常所积存的平面几何、空间几何学问进行排除就不难得出正确答案C ,由于 n3时易知正三角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形的三个顶点是两两距离相等的从而可
4、以排除A、 B ,又当 n也是两两距离相等的从而可以排除D 4 时易知正四周体的四个顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 【2022 高考浙江,理 6】设 A , B 是有限集,定义d A, Bcard可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 card A 表示有限集A 中的元素个数,命题：对任意有限集A , B ,“ AB ”是“ d A, B0 ”的充分必要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_命题：对任意有限集A , B , C ,d A,Cd A, Bd B, C ,可编辑资料 - - -
5、欢迎下载精品_精品资料_A.命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C. 命题成立,命题不成立D.命题不成立,命题成立【答案】 A.【考点定位】集合的性质【名师点睛】此题是集合的阅读材料题,属于中档题,在解题过程中需第一懂得材料中相关概念与已知的集合相关学问点的结合,即可知命题正确,同时留意数形结合思想的运用,假设用韦恩图表示三个集合A , B , C ,就可将问题等价转化为比较集合区域的大小,即可确定集合中元素个数大小的比较.4. 【2022 高考北京,理 8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程,以下图描述了甲、乙、丙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三辆汽车在
6、不同速度下的燃油效率情形.以下表达中正确的选项是A. 消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶5 千米B以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速80 千米/ 小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程, A 中乙车消耗 1 升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A 错误. B 中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B 错误, C 中甲车以 80 千米/ 小时的速度行驶 1 小时,甲车每消耗 1 升汽油行
7、驶的里程10km,行驶 80km,消耗 8 升汽油, C 错误, D 中某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时 .由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 , 选 D.考点：此题考点定位为函数应用问题,考查同学对新定义“燃油效率”的懂得和对函数图象的懂得 .【名师点睛】此题考查对新定义“燃油效率”的懂得和读图才能,此题属于中等题,有才能要求,贴近同同学活,要求依据“燃油效率”的定义,汽车每消耗1 升汽油行驶的里程,可以确定“燃油效率”高的车省油,相同的速度条件下,“燃油效率”高的汽车,每消耗1 升可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_汽油行驶的里程必定大,需
8、要同学针对四个选择只做出正确判定.5. 【2022 高考福建,理 15】一个二元码是由0 和 1 组成的数字串*x1x2xn nN,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xk k1,2, n称为第 k 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_码元错误 即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0,已知某种二元码x1 x2x7 的码元中意如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_校验方程组：x4x5x2x3x1x3
9、x6x70,x6x70,x5x70,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中运算定义为： 000,011,101,110 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于【答案】 5 【考点定位】推理证明和新定义【名师点睛】此题以二元码为背景考查新定义问题,解决时候要耐心读题,并分析新定义的特点,依据所给的数学规章和要求进行规律推理和运算等,从而到达解决问题的目的6. 【2022 高考山东,理 11】观看以下各式：C4001C 0C14133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 0C1C 242 ;可编
10、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555C 0C1C 2C 3437777照此规律,当 nN时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CC012n 12 n2C12 nn 1C.12 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】4n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【考点定位】 1、合情推理. 2、组合数 .【名师点睛】此题考查了合情推理与组合数,重点考查了同学对归纳推理的懂得与运用,意在考查同学观看、分析、归纳、推理判定的才能,关键是能从前三个特别的等式中观看、归纳、总结出一般的规律,从而得到结论 . 此题属基础题 .7. 【2022
11、江苏高考, 23】本小题总分值 10 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知集合 X1,2,3, Yn1,2,3, n nN * , S a, b a整除b或b整除a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_naX, bYn ,令f n 表示集合Sn 所含元素的个数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1写出f 6的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2当 n6 时,写出f n 的表达式,并用数
12、学归纳法证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2nn 23n2n12, n6tn1,n 36t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】1 132 fnn2nn2, n236t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n1n, n6t3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2nn1 , n236t4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
13、_n2n12n2, n 36t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】试题分析：1依据题意按 a 分类计数： a1,b1,2,3,4,5,6; a2,b1,2,4,6; a3,b1,3,6; 共可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 个 2由 1知 a1,b1,2,3, n; a2,b1,2,4,2 k; a3,b*1,3,3k; kN ,所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以当 n6 时,f n 的表达式
14、要按236 除的余数进行分类, 最终不难利用数学归纳法进行可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明试题解析：1 f613可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2, k1 , 3,k1 中产生,分以下情形争辩：k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设 k1 6t ,就 k6 t15 ,此时有 fk1fk3k2323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12k1k1,结论成立.23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 k16tk1,就 k6t ,此时有 fk111k11fk1k
15、2kk123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12,结论成立.23k1k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设 k16t2 ,就 k6t1,此时有 fk1fk2k2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12k1k12 ,结论成立.23kk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4假设 k16tk3 ,就 k6t2 ,此时有 fk111k1fk2k2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12,结论成立.23k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5假设 k16t4 ,就 k6t3 ,此时有 fk1fk2
16、k2223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k12k1k211,结论成立.36假设 k16t5 ,就 k6t4 ,此时有 fk1fk1k2k 2k113k12k11k12,结论成立23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,结论对中意n6 的自然数 n 均成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【考点定位】计数原理、数学归纳法【名师点晴】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_归纳奠基：证明当取第一个自然数n0 时命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
17、- 欢迎下载精品_精品资料_1归纳递推：假设 nk , kN , kn0 时,命题成立,证明当nk1 时,命题成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由得出结论8. 【 2022高 考 北 京 , 理 20 】 已 知 数 列an满 足 ：aN* ,a1 36 , 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 12an ,an 18 ,n1,2 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*2an36,an18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记集合Ma
18、n |nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设a16 ,写出集合 M 的全部元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明： M 的全部元素都是 3 的倍数.求集合 M 的元素个数的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】1 M6,12,24,2证明见解析, 38可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由已知an 12an ,an 18,可知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2
19、an36 ,an18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a16, a212, a324, a412,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M6,12,24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于集合M 存在一个元素是3 的倍数,所以不妨设ak 是 3 的倍数,由已知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 12an ,an 18,可用用数学归纳法证明对任意nk , an 是 3 的倍数,当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2an36 ,an18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
20、料_k1 时,就 M 中的全部元素都是3 的倍数,假如k1 时,由于 ak2ak 1 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ak 136 ,所以2ak1 是 3 的倍数, 于是 ak1 是 3 的倍数, 类似可得, ak2 ,.a1 都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 3 的倍数,从而对任意n1 , an 是 3 的倍数,因此 M 的全部元素都是 3 的倍数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_考点定位： 1. 分段函数形数列通项公式求值.2. 归纳法证
21、明. 3. 数列元素分析 .【名师点睛】此题考查数列的有关学问及归纳法证明方法,即考查了数列分段形函数求 值,又考查了归纳法证明和对数据的分析争辩,考查了同学的分析问题才能和规律推理才能, 此题属于拔高难题,特别是其次、三两步难度较大,适合选拔优秀同学.【2022 高考上海,理 23】对于定义域为 R 的函数 g x ,假设存在正常数,使得 cosg x是以为周期的函数, 就称 g x 为余弦周期函数, 且称为其余弦周期 . 已知 fx 是以为余弦周期的余弦周期函数,其值域为R . 设 fx 单调递增, f00 , f4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1验证h xxsinx是
22、以 6为周期的余弦周期函数.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 ab 证明对任意cfa, fb,存在 x0a, b ,使得fx0c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3证明：“ u0 为方程 cos fx1在 0,上得解”的充要条件是“u0为方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于 fx 的值域为 R ,所以对任意cfa, fb,c 都是一个函数值, 即有x0R ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精
23、品_精品资料_使得 fx0c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 x0a ,就由 fx 单调递增得到cfx0fa ,与cfa, fb冲突,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0a . 同理可证 x0b . 故存在 x0a,b 使得fx0c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设u0 为 cos fx1在 0,上的解,就cos fu01 ,且 u0,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
24、cos fu0cos fu01,即 u0为方程 cos fx1在, 2上的解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理,假设 u0为方程 cos fx1在, 2上的解,就u0 为该方程在0,上的解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以下证明最终一部分结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 2所证知存在0x0x1x2x3x4,使得fxii, i0 ,1, 2 , 3, 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 xi , xi 1是函数 c
25、os fx 的单调区间, i0 , 1, 2 , 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与之前类似的可以证明：u0 是 cos fx1在 0,上的解当且仅当u0是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos fx1在,2上的解 . 从而 cos fx1在 0,与, 2上的解的个数相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 fxifxi4, i0 , 1 , 2 , 3, 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
26、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于 x0, x1, fx0, fx4,5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 cos fxcos fx ,故fxfx4fxf.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的,当xxi , xi 1 , i1, 2 , 3 时,有 fxfxf.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos fx1 在, 2上有解”,并证明对任意 x0,都有 fxfxf.【答案】1详见解析 2详见解析 3详见解析结论成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【考点定位】新定义问题【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的懂得,这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查中意新定义的函数的简洁应用,如在某些条件下,中意新定义的函数有某些新的性质,这也是在新环境下争辩“旧”性质,此时需结合新函数的新性质,探究“旧”性质. 三是考查综合分析才能,主要将新性质有机应用在“旧”性质,制造性证明更新的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载