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1、精品_精品资料_母为二次函数的分式函数的值域易联想到 判别式法 .【解】函数式变形为：y mx 4x y n 0, x R,由已知得y m 0 4 4y my n 0即：ym ny mn 12 0不等式的解集为-1,7,就 1、7 是方程 ym ny mn 12 0 的两根,代入两根得：解得：或 y 或者 y 此题也可由解集-1,7而设 y 1y 7 0, 即 y 6y 7 0,然后与不等式比较系数而得：,解出 m、n 而求得函数式y.【注】在所求函数式中有两个系数m、n 需要确定,第一用 判别式法 处理函数值域问题,得到了含参数m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m
2、、n.两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n 的方程求解.二是由已知解集写出 不等式,比较含参数的不等式而列出m、n 的方程组求解.此题要求对一元二次不等式的解集概念懂得透彻,也要求懂得求函数值域的 判别式法 ：将 y 视为参数, 函数式化成含参数y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解,利用0, 建立了关于参数y 的不等式,解出y的范畴就是值域,使用 判别式法 的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例 2.设椭圆中心在2,-1,它的一个焦点与短轴两端连线相互垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是,求椭圆的方程.yBxA FOF AB【分析】求椭圆方程,依据所给条件,确定几何
3、数据a、b、c 之值,问题就全部解决了.设 a、b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a c 的值后列出其次个方程.【解】设椭圆长轴2a、短轴 2b、焦距 2c,就 |BF| a解得： 所求椭圆方程是：1也可有垂直关系推证出等腰Rt BBF 后,由其性质推证出等腰Rt BOF,再进行如以下式：,更简洁求出a、b 的值.【注】圆锥曲线中,参数（a、b、c、 e、p）的确定,是待定系数法的生动表达.如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式.在曲线的平移中,几何数据（a、b、c 、e）不变,此题就利用了这一特点,列出关于a c 的等式.一般的,
4、解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是： 设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入.例 3.是否存在常数a、b、c,使得等式12 23 . nn 1 an bn c 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论.（ 89 年全国高考题）【分析】 是否存在, 不妨假设存在. 由已知等式对一切自然数n 都成立, 取特别值n 1、2、3 列出关于a、 b、c 的方程组,解方程组求出a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式对全部自然数n 都成立.【解】 假设存在a、b、c 使得等式成立,令：n 1,得 4 a b c .n2,得 224a 2b c .n 3,得 70 9a
5、 3b c.整理得：,解得,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是对 n 1、2、3,等式 1 2 23 .nn 1 3n 11n 10 成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：假设对 n k 时等式成立,即1 22 3 . kk 1 3k 11k 10 .当 nk 1 时,12 23. kk 1 k 1k 2 3k 11k 10 k 1k 2 k 2（ 3k 5）k 1k 2 （ 3k 5k 12k 24） 3k 1 11k 1 10 , 也就是说,等式对n k 1 也成立.综上所述,当a 8、 b11、 c 10 时,题设的等式对一切自然数n 都成立.【注】建
6、立关于待定系数的方程组,在于由几个特别值代入而得到.此种解法中,也表达了方程思想和特别值法.对于是否存在性问题待定系数时,可以依据先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.此题假如记得两个特别数列1 2 . n、12 . n 求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由nn 1 n 2n n 得 S 12 23 .nn 1 1 2. n 21 2. n 1 2. n 2 3n 11n 10 ,综上所述,当a 8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数n都成立.例 4.有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为xcm 的四个小正方形,将剩余部分折
7、成一个无盖的矩形盒子,问x 为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积 是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的讨论,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的讨论.【解】依题意,矩形盒子底边边长为30 2xcm ,底边宽为 14 2xcm,高为 xcm. 盒子容积 V 30 2x14 2xx 415 x7 xx,明显 :15 x0 ,7 x0, x0 .设 V15a ax7b bxx a0,b0） 要使用均值不等式,就解得： a, b , x 3.从而 V xx 27576.所以当 x 3 时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm.【注】 均值不等式应用时
8、要留意等号成立的条件, 当条件不满意时要凑配系数, 可以用 待定系数法 求.此题解答中也可以令 V 15a ax7 xbx 或 15 x7a axbx ,再由使用均值不等式的正确条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,此题也表达了 凑配法 和 函数思想 .、巩固性题组：1. 函数 y logx的 x 2,+ 上恒有 |y|1,就 a 的取值范畴是 .A. 2a 且 a 1B. 0a或 1a2C. 1a2或 0a2. 方程 x px q0 与 xqx p0 只有一个公共根,就其余两个不同根之和为 .A. 1B. 1C. p qD.无法确定3. 假如函数y sin2x acos2x 的图像关于
9、直线x对称,那么a . A.B.C. 1D. 14.满意 C 1 C2 C . n C500 的最大正整数是 . A. 4B. 5C. 6D. 75. 无穷等比数列a 的前 n 项和为 S a ,就全部项的和等于 .A.B. 1C.D.与 a 有关6. 1 kx b bx bx. bx ,如 b bb .b 1,就 k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.经过两直线11x 3y 9 0 与12x y 19 0 的交点,且过点3,-2的直线方程为 .8. 正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60,过底面一边作截面,使其与底面成 30角,就截面面积为 .9. 设 y fx是一
10、次函数,已知f815, 且 f2、f5、f14成等比数列,求f1 f2 . fm 的值.10. 设抛物线经过两点-1,6和-1,-2,对称轴与x 轴平行,开口向右,直线y2x 7 和抛物线截得的线段长是4,求抛物线的方程.四、定义法所谓定义法,就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法就等,都是由定义和公理推演出来.定义是揭示概念内涵的规律方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.定义是千百次实践后的必定结果,它科学的反映和揭示了客观世界的事物的本质特点.简洁的说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去.、再现性题组：1.
11、 已知集合A 中有 2 个元素,集合B 中有 7 个元素, AB 的元素个数为n,就 . A. 2 n9B. 7 n 9C. 5 n 9D. 5n 72. 设 MP、OM、AT 分别是 46角的正弦线、余弦线和正切线,就 .A. MPOMATB. OMMPATC. ATOMMPD. OMATMP3. 复数 z a 2, z 2,假如 |z| |z|,就实数a 的取值范畴是 . A. 1a1C. a0D. a14. 椭圆 1 上有一点P,它到左准线的距离为,那么P 点到右焦点的距离为 .A. 8C. 7.5C.D. 35. 奇函数 fx的最小正周期为T,就 f 的值为 .A. TB. 0C.D.
12、不能确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 正三棱台的侧棱与底面成45角,就其侧面与底面所成角的正切值为 .【简解】 1 小题：利用并集定义,选B.2 小题：利用三角函数线定义,作出图形,选B.3 小题：利用复数模的定义得0得： 0x1设xx , x+x x+x x+x 1 fx fx0即 fx在,1上是减函数 0 的解集是 1,2,就不等式bxcx ab0的两个焦点,其中F 与抛物线y 12x 的焦点重合,M是两曲线的一个焦点,且有cos M FF cos MFF,求椭圆方程.五、数学归纳法归纳是一种有特别事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两
13、种. 不完全归纳推理只依据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法, 在数学推理论证中是不答应的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用. 它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n 1 或 n 时成立,这是递推的基础.其次步是假设在n k 时命题成立,再证明n k 1 时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判定命题的正确性能否由特别推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.这两个步骤亲密相关,缺一不行,完成了这两步,
14、就可以确定 对任何自然数（或nn 且 n N）结论都正确 .由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时,关键是nk 1 时命题成立的推证,此步证明要具有目标 意识, 留意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题.运用数学归纳法,可以证明以下问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.、再现性题组：1.用数学归纳法证明n 1n 2.nn 212.2n 1（ n N）,从 k 到k 1 ,左端需乘的代数式为 .A. 2k 1B. 22k 1C.D.2
15、. 用数学归纳法证明1 . 1时,由 n k k1 不等式成立,推证n k 1 时,左边应增加的代数式的个数是 .A. 2B. 2 1C. 2D. 2 13. 某个命题与自然数n 有关,如n k kN时该命题成立,那么可推得n k 1 时该命题也成立. 现已知当n 5 时该命题不成立, 那么可推得 .94年上海高考 A. 当 n 6 时该命题不成立B.当 n 6 时该命题成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.当 n 4 时该命题不成立D.当 n 4 时该命题成立4. 数列 a 中,已知 a 1,当 n 2 时 aa 2n1,依次运算a、a、a 后,猜想 a 的表达式是 .A.
16、 3n 2B. nC. 3D. 4n 35. 用数学归纳法证明3 5 nN能被 14 整除,当n k 1 时对于式子35 应变形为 .6. 设 k 棱柱有 fk个对角面, 就 k1 棱柱对角面的个数为fk+1 fk .【简解】 1 小题： nk 时,左端的代数式是k 1k 2.k k,n k 1 时,左端的代数式是 k 2k 3.2k 12k 2 ,所以应乘的代数式为,选B.2小题：（ 2 1）（ 21） 2,选 C.3 小题：原命题与逆否命题等价,如nk 1 时命题不成立,就n k 命题不成立,选C.4 小题：运算出a 1、a 4、a 9、a 16 再猜想 a,选 B.5小题：答案（ 3 5
17、） 3 5（ 5 3）.6小题：答案k 1. 、示范性题组：例 1.已知数列,得,., .S 为其前 n 项和,求S、S、S、S,估计 S 公式,并用数学归纳法证明.（ 93 年全国理）【解】运算得 S, S, S, S ,推测 S nN.当 n1 时,等式明显成立.假设当 n k 时等式成立,即：S, 当 nk 1 时, S S ,由此可知,当n k 1 时等式也成立.综上所述,等式对任何nN 都成立.【注】把要证的等式S作为目标,先通分使分母含有2k 3 ,再考虑要约分,而将分子变形,并留意约分后得到（2k 3） 1.这样证题过程中简洁一些,有效的确定了证题 的方向.此题的思路是从试验、观
18、看动身,用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关于探干脆问题的常见证法,在数列问题中常常见到.假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不肯定正确,即使正确,解答过程也不严密.必需要进行三步：试值 猜想 证明.【另解】用裂项相消法求和：由 a得,S（ 1）（）. 1.此种解法与用试值猜想证明相比,过程非常简洁, 但要求发觉的裂项公式.可以说,用试值猜想证明三步解题,具有一般性.例 2.设 a .n N, 证明： nn 1a n 1.【分析】与自然数n 有关,考虑用数学归纳法证明.n 1 时简洁证得, n k 1 时,由于 a a , 所以在假设n k 成立得到的不等式中同时加上,
19、再与目标比较而进行适当的放缩求解.【解】当 n 1 时, a, nn+1 , n+1 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n 1 时不等式成立.假设当 n k 时不等式成立,即：kk 1a k 1,当 nk 1 时, kk 1 akk 1 k 1 k 1k 3k 1k 2 ,k 1 k 1 k 1 k k 2 ,所以 k 1k 2 ak 2 ,即 n k 1 时不等式也成立. 综上所述,对全部的nN,不等式nn 1an 可得, a1 23 . nnn 1 .由n可得, a1 2 3. n n nn 1 n n 2nn 1 .所以nn 1ann1且 n N六、参数法参数法是指
20、在解题过程中,通过适当引入一些与题目讨论的数学对象发生联系的新变量（参数）,以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.辨证唯物论确定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是要揭示事物之间的内在联系,从而发觉事物的变化规律.参数的作用就是刻画事物的变化 状态, 揭示变化因素之间的内在联系.参数表达了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处的引进参数,沟通已知和未知之间
21、的内在联系,利用参数供应的信息,顺当的解答问题.、再现性题组：1. 设 2 3 51,就 2x、3y、 5z 从小到大排列是 .2. （理）直线上与点A-2,3的距离等于的点的坐标是 .（文）如k0 时, fx0,就 fx的 R 上是 函数. 填 增 或 减6. 椭圆 1 上的点到直线x 2y 0 的最大距离是 .A. 3B.C.D. 2【简解】 1 小题：设 2 3 5 t ,分别取2、3、5 为底的对数,解出x、y 、z ,再用 比较法 比较 2x、3y、5z,得出 3y2x5z .2小题：（理） A-2,3为 t 0 时,所求点为t 时,即 -4,5或0,1.（文）已知曲线为椭圆, a
22、1, c,所以e.3 小题：设z b,就C 1 b 2,所以图像为：从1,2动身平行于x 轴向右的射线.4 小题：设三条侧棱x 、y、z,就 xy 6、yz 4、xz 3, 所以 xyz 24, 体积为 4.5小题： f00, f0 fx f-x,所以 fx是奇函数,答案：减.6小题：设x 4sin 、 y 2cos ,再求d的最大值,选C. 、示范性题组：例 1.实数 a、b、 c 满意 a b c 1,求 a b c 的最小值.【分析】由a bc 1 想到 均值换元法 ,于是引入了新的参数,即设a t ,bt , c t ,代入 a b c 可求.【解】由a b c1,设 a t , b t , c t ,其中 t t t 0, a b c（ t ）（ t ） t t t t t t t t t t 所以 a b c 的最小值是.【注】由 均值换元法 引入了三个参数,却将代数式的讨论进行了简化,是此题此种解法的一个技巧.此题另一种解题思路是利用均值不等式和 配方法 进行求解,解法是：a b c a b c 2ab bc ac 1 2a b c ,即 ab c.两种解法都要求代数变形的技巧性强,多次练习,可以提高我们的代数变形才能.例 2.椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载