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1、2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）2014年全国统一高考数学试卷文科新课标含解析版未经允许 请勿转载 201年全国统一高考数学试卷文科新课标一、选取题:此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1分已经知道集合=x|3，N=x|2x0,则 A.sinB.o0C.sn20Ds23.5分设z=+i，则|z|= ABCD245分已经知道双曲线=1a的离心率为，则实数aA.BD5.5分设函数fx，gx的定义域都为R，且fx是奇函数，x是偶函数，则以下结论正确的选项是 未经许可 请勿转载fxgx是偶函数|fx|g是奇函数C.x|gx|是奇函
2、数D.|xg|是奇函数6分设D，E,F分别为ABC的三边BC,C，AB的中点，则+= AB.D.7.5分在函数=cos|2x|，y=|cosx,ycos2x+,yt2x中，最小正周期为的所有函数为 未经许可 请勿转载A.CD.85分如此图,网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 未经许可 请勿转载A三棱锥B.三棱柱C.四棱锥四棱柱9分执行如此图的程序框图,若输入的,b，分别为1，2，3,则输出的M= AB.CD0.5分已经知道抛物线C:2=x的焦点为F,A，0是C上一点，AF=|0，则x0= 未经许可 请勿转载1CD811.5分设,满足约束条件且z=x+y的
3、最小值为7,则= A.B35或3D5或1分已经知道函数fx=ax33x+1，若fx存在唯一的零点x0,且x0，则实数a的取值范围是 未经许可 请勿转载,+B2,+，1D,2二、填空题:此题共4小题，每题分3.5分将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 未经许可 请勿转载145分甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说:我没去过C城市；丙说:我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 .55分设函数fx=,则使得f2成立的x的取值范围是 15分如此图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观
4、测点，从A点测得M点的仰角MA=60，C点的仰角CA=以及MC=7；从C点测得M60，已经知道山高BC=100，则山高M= 未经许可 请勿转载三、解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤1分已经知道an是递增的等差数列，2,a4是方程5x+6的根1求a的通项公式;求数列的前n项和1812分从某企业生产的产品中抽取10件,测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：未经许可 请勿转载质量指标值分组75,8585，9595，10105,511,15频数3821在表格中作出这些数据的频率分布直方图；估计这种产品质量指标的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；3根据以
5、上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于9的产品至少要占全部产品0%的规定?未经许可 请勿转载1912分如此图，三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,1的中点为O,且AO平面11C未经许可 请勿转载1证明:B1CAB；若CAB1,BB1=60，1，求三棱柱ACA1B1C的高202分已经知道点P2,2，圆：x2+y28y=0,过点P的动直线l与圆C交于A，两点，线段A的中点为M，O为坐标原点.未经许可 请勿转载1求M的轨迹方程;当|OP|O|时,求l的方程及OM的面积2112分设函数f=aln+xbx1,曲线=x在点1，f1处的切线斜率为0,未经许可 请勿
6、转载1求;2若存在01,使得f0，求a的取值范围请考生在第2,23，24题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】未经许可 请勿转载10分如此图，四边形BCD是的内接四边形,AB的延长线与的延长线交于点E,且C=.未经许可 请勿转载证明:D=E；设D不是的直径,D的中点为M,且MMC,证明：AD为等边三角形【选修：坐标系与参数方程】23.已经知道曲线：+=，直线l:t为参数写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.过曲线上任意一点P作与l夹角为的直线，交l于点A，求|P|的最大值与最小值 【选修4-5:不等式选讲】4.若a0，且+=.求a3b3的最小值;是否存
7、在a，b，使得2a+3b=?并说明理由. 214年全国统一高考数学试卷文科新课标参考答案:：与试题解析 一、选取题:此题共12小题，每题5分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.5分已经知道集合M=x|13，N=|2x1,则MN= A2,1B.1,1C1,3D2，3【考试点】E：交集及其运算.【专题】5J：集合.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：=x|3，Nx2x1,则N=x|1x0，则 A.sinB.cosCsin2D.cs0【考试点】GC：三角函数值的符号【专题】6：三角函数的求值.【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案:：【解答】解：tan0
8、,则sin2=2inc0.故选：C.【点评】此题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式,是基础题.3.5分设z=+i,则z|= AB.2【考试点】5：复数的运算【专题】1:计算题;5N:数系的扩充和复数.【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|【解答】解：z=+i=+i=.故|=故选:B.【点评】此题考查复数代数形式的运算,属于容易题.4.5分已经知道双曲线=1a0的离心率为2,则实数a= A.2B.D.1【考试点】C:双曲线的性质【专题】1:计算题;5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程找出a,b,c，代入离心率，从而求出a.【解答】解:由题意,e=2，解得,a=1故选
9、：D.【点评】此题考查了双曲线的定义，属于基础题.55分设函数x，x的定义域都为R，且fx是奇函数,x是偶函数，则以下结论正确的选项是未经许可 请勿转载Axx是偶函数B.|x|是奇函数C.fx|gx|是奇函数D.fgx|是奇函数【考试点】K：函数奇偶性的性质与判断【专题】51:函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解:fx是奇函数，g是偶函数,fx=fx，xgx，xgx=fxx，故函数是奇函数,故A错误,|fx|gx=|x|gx为偶函数,故B错误，fx|gx|=fx|x|是奇函数,故C正确.|fxgx|=|fxx|为偶函数，故错误,故选:C【点评】此题主要考查函数奇
10、偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决此题的关键. 65分设D,F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+= AB.C.D.【考试点】9：数量积表示两个向量的夹角.【专题】5：平面向量及应用【分析】利用向量加法的三角形法则，将,分解为+和的形式,进而根据D,E,F分别为B的三边BC,CA,AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案:未经许可 请勿转载【解答】解:D,E，F分别为B的三边BC,C，AB的中点，+=+=+，故选:【点评】此题考查的知识点是向量在几何中的应用,熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键.未经许可 请勿转载7.5分在函数y=cos|2
11、x|，=|csx|,os2x+,y=tan2x中,最小正周期为的所有函数为未经许可 请勿转载AC.D.【考试点】H1:三角函数的周期性.【专题】5:三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期,从而得出结论.【解答】解：函数=co丨x丨=cos2，它的最小正周期为,丨sx丨的最小正周期为,cos2的最小正周期为 ，y=ta2x的最小正周期为 ，故选：A【点评】此题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题.分如此图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是 未经许可 请勿转载A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D四棱柱【考试点】L:简单
12、空间图形的三视图【专题】F:空间位置关系与距离【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项.【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,可知几何体如此图:几何体是三棱柱.故选：B【点评】此题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法,考查空间想象能力分执行如此图的程序框图，若输入的,b,k分别为1，2，3，则输出的M=A.BC.【考试点】E：程序框图【专题】I:概率与统计【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件,计算输出M的值【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=,=2，=，=;第二次循环M=2+=，a=,b=,n=3；第三次循环M+=,a=，=,n=4不
13、满足条件n,跳出循环体，输出M=.故选：D.【点评】此题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法 105分已经知道抛物线C:y2=x的焦点为F，Ax，是C上一点，AF=|x0|，则0未经许可 请勿转载B.2C.4D.【考试点】K：抛物线的性质.【专题】D：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出.【解答】解:抛物线C：y2x的焦点为F，Ax,y0是C上一点，AF=0,x00.=0+,解得=1.故选：A.【点评】此题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题.1.5分设x，y满足约束条件且z=xay的最小值为7，则= A
14、B3C.5或3D或【考试点】7F:基本不等式及其应用【专题】5B：直线与圆.【分析】如以以下图,当a1时，由,解得.当直线x+y经过A点时取得最小值为7，同理对a得出.未经许可 请勿转载【解答】解：如以以下图，当1时，由,解得，y=当直线z=+ay经过点时取得最小值为7,化为a2+a1=0，解得a=3，a=5舍去.当1时，不符合条件故选:B【点评】此题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题 125分已经知道函数fx=ax33x2+1,若fx存在唯一的零点x，且00，则实数a的取值范围是 未经许可 请勿转载A.,+.2,+C.,1D，2【考试点】:函数的
15、零点与方程根的关系【专题】11:计算题;5：函数的性质及应用；5：导数的综合应用【分析】由题意可得=a6x=3xa2,01;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.未经许可 请勿转载【解答】解:fax33x21,ax2x=3xax2,f=1；当a时,fx=3x+1有两个零点，不成立;当a0时，fx=a33x2+1在，上有零点，故不成立;当0；故a；综上所述，实数a的取值范围是,；故选:D.【点评】此题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题未经许可 请勿转载 二、填空题:此题共4小题,每题5分3.5分将本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行
16、,则本数学书相邻的概率为 .【考试点】CB：古典概型及其概率计算公式【专题】5I：概率与统计【分析】首先求出所有的基本事件的个数,再从中找到本数学书相邻的个数,最后根据概率公式计算即可.【解答】解:2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有共有=6种结果,其中2本数学书相邻的有数学1,数学2,语文,数学2，数学1，语文,语文，数学1，数学2，语文，数学2，数学共4个，故本数学书相邻的概率P=未经许可 请勿转载故答案:：:为:【点评】此题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件.145分甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B,C三个城市时，甲
17、说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市;乙说：我没去过C城市;丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 .【考试点】F4：进行简单的合情推理.【专题】：推理和证明【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A,B中的一个，再由丙即可推出结论.【解答】解：由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A.故答案:为：A.【点评】此题主要考查简单的合情推理，要抓住关键,逐步推断，是一道基础题. 155分设函数fx=,则使得fx2成
18、立的x的取值范围是x8【考试点】5B:分段函数的应用【专题】1:计算题;:函数的性质及应用【分析】利用分段函数,结合fx2,解不等式，即可求出使得fx成立的x的取值范围.【解答】解：x时，ex2,xln2+1,1；x1时,2，x，1x8，综上，使得fx2成立的x的取值范围是8故答案:为:8.【点评】此题考查不等式的解法，考查分段函数,考查学生的计算能力，属于基础题15分如此图,为测量山高M,选择A和另一座的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角MAN60,C点的仰角C=4以及AC=7；从C点测得MC=6，已经知道山高B=100m，则山高N 150 .未经许可 请勿转载【考试点】HU：解三角形.【
19、专题】1：应用题;58:解三角形【分析】BC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 A；AMC中,由条件利用正弦定理求得AM；RtAMN中,根据M=AMnMAN,计算求得结果未经许可 请勿转载【解答】解：AB中，AC=4，AC=0，BC=0,C=10AC中,MC=7，CA=0，AMC=45,由正弦定理可得，解得AM=10.RtAMN中，=AMsinMAN=100sin60=0m，故答案:为:150.【点评】此题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.分已经知道an是递增的等差数列,a2，a4是方程x2x+6=0的根.求的通
20、项公式;求数列的前n项和.【考试点】8:等差数列的通项公式;8E:数列的求和【专题】15:综合题；4:等差数列与等比数列【分析】1解出方程的根，根据数列是递增的求出a2,a4的值，从而解出通项；2将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和.【解答】解:1方程x5x+=的根为2，3.又an是递增的等差数列，故a2=2，a4=3,可得21，d=，故n=2+n2=n1，2设数列的前项和为,Sn=,Sn=，得Sn=，解得Sn=2.【点评】此题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式.18.2分从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频
21、数分布表:未经许可 请勿转载质量指标值分组75，85，5，10105，11515，频数6682281在表格中作出这些数据的频率分布直方图;估计这种产品质量指标的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表;3根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于9的产品至少要占全部产品80%的规定?未经许可 请勿转载【考试点】B:频率分布直方图;BC:极差、方差与标准差.【专题】5I：概率与统计【分析】根据频率分布直方图做法画出即可；用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差,代入公式计算即可.求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和.8比较即可.【解答】解
22、：频率分布直方图如以以下图:2质量指标的样本平均数为=800.06900.6+1000.3+110200.0=100，未经许可 请勿转载质量指标的样本的方差为S22020.6+02.2+08100.22+020.08104，未经许可 请勿转载这种产品质量指标的平均数的估计值为10，方差的估计值为4.质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为.38+0.2.08.68，由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%的规定.未经许可 请勿转载【点评】此题主要考查了频率分布直方图,样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力
23、.未经许可 请勿转载 1912分如此图,三棱柱ACA1B1中，侧面BB1CC为菱形，1C的中点为O，且AO平面BB1未经许可 请勿转载证明:1CA；2若ACAB1，CBB=6,BC=,求三棱柱ABCA1B1C1的高【考试点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;:直线与平面垂直.【专题】15:综合题;5F:空间位置关系与距离【分析】1连接C1,则O为B1C与B1的交点,证明B1C平面O,可得B1CAB；2作DBC，垂足为,连接AD,作OHA,垂足为，证明CB1为等边三角形，求出1到平面AB的距离，即可求三棱柱ABC1B1C1的高未经许可 请勿转载【解答】1证明:连接B1，则O为1C与B1的交点,侧面1
24、C为菱形,BCC,平面B1C1C,AOB1，AOC1=O，B1C平面ABO，B平面ABO，B1CAB；2解:作ODC，垂足为D,连接AD，作O，垂足为,BCO,CO，AODO，BC平面D,OHBC,OHD，AD=D,OH平面BC,CBB60，B1为等边三角形,BC=,OD=，C1,OA=B1,由AD=OA，可得AD=，O=，O为B1C的中点,到平面AC的距离为，三棱柱A1B1的高.【点评】此题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题未经许可 请勿转载22分已经知道点P,2，圆：x2+y28y=0,过点P的动直线l与圆交于A,B两点,线段AB的中点
25、为M,O为坐标原点.未经许可 请勿转载1求M的轨迹方程；2当|OP=|M|时，求l的方程及PM的面积【考试点】%H:三角形的面积公式;J：轨迹方程【专题】5B：直线与圆【分析】由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标,由与数量积等于0列式得的轨迹方程;设的轨迹的圆心为N,由|O|=|OM|得到ONPM求出O所在直线的斜率,由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程,由点到直线的距离公式求出到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案:.未经许可 请勿转载【解答】解:1由圆：x+y28y=0，得xy4216,圆C的圆心坐标为,，半径为4设Mx,y，则,.由
26、题意可得：即2x+yy=整理得:x12y=2.M的轨迹方程是x1+y32=.2由知的轨迹是以点N1,3为圆心,为半径的圆,由于|P|=|OM|，故O在线段M的垂直平分线上,又在圆N上，从而OMkON=3，直线l的斜率为直线PM的方程为,即3y8则O到直线l的距离为.又N到l的距离为，|PM|=.【点评】此题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题未经许可 请勿转载212分设函数x=aln+xbxa1，曲线y=fx在点1，f1处的切线斜率为0,未经许可 请勿转载1求b；2若存在x01，使得fx01时,再利用导数研究函数的单调性极
27、值与最值即可得出.【解答】解:1fxx0,曲线yf在点1,f1处的切线斜率为,1=a+1a=,解得b=1.2函数x的定义域为0,+,由1可知:fxan+,=当a时，则,则当x1时，f0，函数fx在1，单调递增，存在x0，使得f的充要条件是，即，解得;当a1时,则,则当x时，fx1时,1=，成立综上可得:a的取值范围是.【点评】此题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力,属于难题.未经许可 请勿转载请考生在第2，3,4题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】未经许可
28、 请勿转载22.分如此图,四边形ACD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点，且CCE.未经许可 请勿转载证明:D=E；设A不是O的直径,的中点为M,且=MC,证明:ADE为等边三角形.【考试点】NB：弦切角；N：与圆有关的比例线段.【专题】15：综合题；5M：推理和证明【分析】利用四边形ABCD是O的内接四边形,可得DCBE,由CB=C,可得=CBE,即可证明：=E;未经许可 请勿转载设BC的中点为，连接MN，证明AC,可得A=CBE，进而可得A=E，即可证明D为等边三角形未经许可 请勿转载【解答】证明:四边形ABCD是O的内接四边形,D=CBE,CB=，=BE，D=E;设C的中
29、点为N，连接MN，则由B=MC知NB，在直线N上,A不是O的直径，的中点为M,OMD,AD,AE,BEE，AE，由知，D=E,ADE为等边三角形【点评】此题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题【选修4-:坐标系与参数方程】2已经知道曲线C：=1,直线l：t为参数写出曲线的参数方程,直线l的普通方程过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点，求|PA|的最大值与最小值【考试点】：直线与圆锥曲线的综合;QH：参数方程化成普通方程【专题】5S：坐标系和参数方程.【分析】联想三角函数的平方关系可取x=2o、y=3sin得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通
30、方程;未经许可 请勿转载设曲线上任意一点Pos,3si.由点到直线的距离公式得到P到直线的距离，除以未经许可 请勿转载in3进一步得到|P，化积后由三角函数的范围求得|A|的最大值与最小值【解答】解:对于曲线C：+=1,可令x=2os、y3sn,故曲线C的参数方程为,为参数.对于直线l:，由得：=2，代入并整理得：2x+y6=0;设曲线C上任意一点Ps，3sin.P到直线l的距离为则，其中为锐角当in+=1时，|PA|取得最大值,最大值为当in+=1时，P取得最小值,最小值为【点评】此题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题未经许可 请勿转载【
31、选修-5:不等式选讲】24若,0，且+=.求a+b的最小值；是否存在a，b，使得2a+3b=6?并说明理由【考试点】：平均值不等式【专题】59:不等式的解法及应用【分析】由条件利用基本不等式求得ab2,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.根据b2及基本不等式求的a+3b8,从而可得不存在a，b，使得a+3b=6【解答】解：0,b0,且+=,2,a2，当且仅当a=b=时取等号a3b 224，当且仅当a=b时取等号，a3+b3的最小值为4.2a+3b2=2，当且仅当2a=3时,取等号而由可知，2=4，故不存在a，b,使得2a36成立.【点评】此题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题 未经允许 请勿转载