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1、等比数列复习 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望4 等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义数学数学表达表达如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。a an+1n+1-a-an n=d=d(常数常数)符号符号表示表示首项首项a a1 1,公差公差d d 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。首项首项a a1 1,公比公比q q(q0)(q0)d d与与a
2、an n q q与与aan n d d0 a0 an n 递增递增 d d0 a0 an n 递减递减 d d0 a0 an n 为常数列为常数列q q0 a0 an n 中各项同号中各项同号q q0 a0 an n 中的项正负相间中的项正负相间q q1 a1 an n 为为非零非零常数列常数列通项通项公式公式a an n=a=a1 1+（n-1n-1）d da an n=a=a1 1q qn-1n-1an+1an=q(常数常数)等比等比中项中项a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列,2A=a2A=ab ba,G,ba,G,b成等比数列成等比数列,G G2 2=ab=ab5q=1,a，常数数
3、列，常数数列q0)，则则解解(1)得：得：解解(2)得：得：解解(3)得：得：q R求它们的交集求它们的交集故公比故公比q的取值范围：的取值范围：小结：等比数列小结：等比数列an的三种判定方法的三种判定方法思考题：思考题：已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，后三个数成等差数列，它们的和后三个数成等差数列，它们的和12，求这四个数，求这四个数所以所以bn是以是以3为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列等差等比数列对比等差等比数列对比一、知识要点一、知识要点 等差（比）数列的定义等差（比）数列的定义 如果一个数列从第如果一个数列从第2项
4、起，每一项与前一项的差项起，每一项与前一项的差（比）（比）等等 于同一于同一个常数，那么这个数列就叫做等差个常数，那么这个数列就叫做等差（比）（比）数列。数列。等差（比）数列的判定方法等差（比）数列的判定方法等差（比）数列的判定方法等差（比）数列的判定方法 1 1、定义法：对于数列、定义法：对于数列、定义法：对于数列、定义法：对于数列 ，若，若，若，若 (常数常数常数常数)，则数列则数列则数列则数列 是等差是等差是等差是等差（比）（比）（比）（比）数列。数列。数列。数列。2 2等差等差等差等差（比）（比）（比）（比）中项：对于数列中项：对于数列中项：对于数列中项：对于数列 ，若，若，若，若 则
5、数列则数列则数列则数列 是等差是等差是等差是等差（比）（比）（比）（比）数列。数列。数列。数列。3.通项公式法通项公式法:4.前前n项和公式法项和公式法:an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质：an=am+(n-m)d性质：性质：若an-k,an,an+k是an中的三项，则2an=an-k+an+k 性质2：若bn-k,bn,bn+k是bn的三项，则 =bn-kbn+k性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq性质3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq,性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 .(可推广
6、)性质:若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。性质：若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.一、知识要点一、知识要点 等差（比）数列的性质等差（比）数列的性质等差（比）数列的性质等差（比）数列的性质 等差（比）数列的增减性：1.等差数列（前多少项和最大或最小）（）d，递增数列（）d，递减数列（）d，常数列.等比数列（）q，摆动数列（）q，常数列（），q，递减数列（），q，递增数列（），q，递增数列（），q，递减数列an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质6：数列an的前n项和为n成等差数列性质6：数列an的前n项和为n成
7、等比数列性质:数列an的前n项和为n性质：数列an的前n项和为n已知数列 是等差数列，。（1）求数列的通项 。（2）数列 的前多少项 和 最大，最大值是多少？（3），求证：数列 是等比数列。二、【题型剖析】二、【题型剖析】【题型【题型1】等差】等差(比比)数列的基本运算数列的基本运算【题型【题型1】等差（比）数列的基本运算】等差（比）数列的基本运算练习：练习：等差数列等差数列an中，已知中，已知a 1=，a 2+a 5=4a n=33，则，则n是（是（）A.48 B.49 C.50 D.51C练习：等比数列练习：等比数列an中中，若若a2=2，a6=32，求求a14【题型【题型2】等差数列的前
8、等差数列的前n项和项和例题：例题：在三位正整数的集合中有多少个数是在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？的倍数？求它们的和。求它们的和。设共有设共有n项，即，项，即，a1=100，d=5 ，an=995由由 得得 995=100+5（n-1）即即 n=180 所以在三位正整数的集合中所以在三位正整数的集合中5的倍数有的倍数有180个，它们的个，它们的和是和是98550 解：在三位正整数的集合里，解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是的倍数中最小是100，然，然后是后是105、110、115即它们组成一个以即它们组成一个以100为首项，为首项，5为为公差的等差数列，最大的是公差的等差数列
9、，最大的是995变式：变式：在三位正整数的集合中有多少个个位不是在三位正整数的集合中有多少个个位不是0且是且是5的倍数的数？求它们的和的倍数的数？求它们的和【题型【题型2】等差（比）数列的前等差（比）数列的前n项和项和练习：练习：等差数列等差数列an中中,则此数列前则此数列前20项的和等于（项的和等于（）A.160 B.180 C.200 D.220B解：解：+得：得：练习练习（2）x=1时，时，Sn=n2（3）x1时时 S=1+3x+5x2+7x3+(2n-1)x n-1 xS=x+3x2+5x3+(2n-1)x n-1+(2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+xn-1)-
10、(2n-1)xn二、【题型剖析】二、【题型剖析】【题型【题型3】求等差（比）数列的通项公式】求等差（比）数列的通项公式例题：例题：已知数列已知数列an的前的前n项和项和 求求 an解：当解：当 时时当当 时时而而 所以：所以：所以上面的通式不适合所以上面的通式不适合 时时练习：练习：已知数列已知数列an的前的前n项和项和 求求 an练习练习1：设等差数列设等差数列an的前的前n项和公式是项和公式是 求它的通项公式求它的通项公式_【题型【题型3】求等差（比）数列的通项公式】求等差（比）数列的通项公式练习练习2：设等差数列设等差数列an的前的前n项和公式是项和公式是 求它的通项公式求它的通项公式_
11、练习练习3：已知数列 中，求通项公式 。【题型【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用】等差（比）数列性质的灵活应用二、【题型剖析】二、【题型剖析】例题：例题：已知等差数列已知等差数列an,若若a 2+a 3+a 10+a 11=36，求，求a 1+a 12 及及S12a2+a3+a10+a11=2（a1+a12）=36 解：由等差数列性质易知：解：由等差数列性质易知：a2+a11=a3+a10=a1+a12 a1+a12=18，S12=108【题型【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用】等差（比）数列性质的灵活应用 练习：练习：在等比数列在等比数列an中，且中，且an0，a2 a4+2a3a5
12、+a4a6=36,那么那么a3+a5=_ .62.在等比数列在等比数列an中，中，a1+a2=30,a3+a4=120,则则a5+a6=_480【题型【题型5】等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明二、【题型剖析】二、【题型剖析】例题：例题：已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列,bn=3an+4，证，证明数列明数列 bn 是等差数列。是等差数列。又因为又因为bn n=3an n+4 ,bn n+1 1=3an n+1+1+4证明：证明：因为数列因为数列 an n 是等差数列数列是等差数列数列 设数列设数列an n 的公差为的公差为d（d为常数）即为常数）即an n+1+1-an n=
13、d所以所以bn n+1+1 bn n =（3an n+1+1+4）-（3an n+4）=3（an+1+1-an n）=3d所以数列所以数列 bn n 是等差数列是等差数列例题例题.已知数列已知数列 a n 中，中，a 1=2 且且 a n+1=sn，(1)求证：求证：a n 是等比数列；是等比数列；(2)求通项公式。求通项公式。解解:(1)略略(2)由由 a 1=2 且公比且公比 q=2 a n=(2)2 n 1=2 n 故故 a n 的通项公式为的通项公式为 a n=2 n 二、【题型剖析】二、【题型剖析】【题型【题型5】等差等差（比）（比）数列的判定与证明数列的判定与证明【题型【题型5】数
14、列的数列的应用应用例例某人，公元某人，公元20002000年参加工作，打算购一套年参加工作，打算购一套 5050万元万元商品房，商品房，请你帮他解决下列问题：请你帮他解决下列问题：方案方案1 1：从从 20012001年开始每年年初到银行存入年开始每年年初到银行存入 3 3 万元，银行的万元，银行的年利率为年利率为1.98%1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在年的本金生息），在20102010 年年底，可以从银行里取到多少钱？年年底，可以从银行里取到多少钱？若想若想在在 20102010 年年底能够存足年年底能够存足 5050万，万，他他每年年初至少要存多少每年年初至少要存多少钱钱？方案方案2 2：若在：若在20012001年初向年初向 银银行贷款行贷款5050万先购房，银行贷款的万先购房，银行贷款的年利率为年利率为4.425%4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到，按复利计算，要求从贷款开始到 20102010年要分年要分1010年还清，每年年底等额归还且每年年还清，每年年底等额归还且每年 1 1 次，次，他他每年至少要还多少钱每年至少要还多少钱呢？呢？