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1、离散傅里叶变换(DFT)Discrete Fourier Transform Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望4.2.1 离散傅里叶变换（DFT）1 DFT 的定义 用计算机进行傅里叶变换运算时，要求（1）时、频域均为离散的；（2）时、频域的点数均为有限的。1、连续时间、连续频率、连续时间、连续频率傅立叶变换傅立叶变换(FT)2、连续时间、离散频率、连续时间、离散频率傅立叶级数傅立叶级数(FS)3、离散时间、连续频率、离散时间、连续频率序列的傅立叶变
2、换序列的傅立叶变换(DTFT)4、离散时间、离散频率、离散时间、离散频率离散傅立叶级数离散傅立叶级数(DFS)主值序列主值序列DFT变换对DFS变换对N点DFT变换对 x(n)的长度为M点，NM【例例3.1.1】x(n)=R4(n),求x(n)的4点和8点DFT。解解设变换区间N=4，则有限长序列的DFT是有限长的DFT与DFS无本质区别，DFT是DFS的主值一般 是复数，可表示为直角坐标形式也可以表示为极坐标形式3.1.2 DFT和DTFT，ZT，DFS的关系 设序列x(n)的长度为MDFT与ZT关系：DFT与DTFT关系：DFT与DFS的关系：3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DF
3、T变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性，使X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数 所以X(k)满足同理可证明 x(n+mN)=x(n)(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)(n)N表示模N对n求余，即如果n=MN+n1 0n1N1,M为整数则(n)N=n1 例如，,则有主值区间，主值序列，周期延拓 图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列(3.1.5)(3.1.6)(3.1.7)3.1.4 用用MATLAB计算序列的计算序列的DFT【例例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ej)=FTx(n)。分别计算X(ej)在频率区间0，2上的16点和3
4、2点等间隔采样，并绘制X(ej)采样的幅频特性图和相频特性图。%例3.1.2程序ep312.m%DFT的MATLB计算xn=1 1 1 1;%输入时域序列向量xn=R4(n)Xk16=fft(xn,16);%计算xn的16点DFTXk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFT%以下为绘图部分（省略，程序集中有）程序运行结果如图3.1.3所示。5DFT的性质（1）线性 时域 频域（2）圆周移位（循环移位）若，称f(n)为x(n)的 m点圆周移位序列。步骤：）移位 m点；）取主值序列。）将x(n)以N 为周期周期延拓；图3.2.1 x(n)及其循环移位过程若 则 且 证明：证明：令n+m
5、=n，则有：求和项以N为周期，因此对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区间改在主值区，则得3.2.3 循环卷积定理循环卷积定理1 两个有限长序列的循环卷积两个有限长序列的循环卷积设序列h(n)和x(n)的长度分别为N和M。h(n)与x(n)的L点循环卷积定义为（3.2.5）yc(n)=h(n)x(n)L称为循环卷积区间长度，LmaxN，M。用矩阵计算循环卷积的公式当n=0,1,2,L1时，由x(n)形成的序列为:x(0),x(1),x(L1)令n=0,m=0,1,L1，(3.2.5)中x(n-m)L形成的循环倒相序列为令n=1,m=0,1,L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成
6、的序列为 （3.2.6）上面矩阵称为x(n)的L点“循环卷积矩阵”，其特点是:（1）第1行是序列x(0),x(1),x(L1)的循环倒相序列。注意，如果x(n)的长度MN。解决这个问题的方法是将长序列分段计算，这种分段处理方法有重叠相加法和重叠保留法两种。设序列h(n)长度为N，x(n)为无限长序列。将x(n)等长分段，每段长度取M，则每一分段卷积yk(n)的长度为NM1，因此相邻分段卷积yk(n)与y k1(n)有N1个点重叠，必须把重叠部分的yk(n)与y k1(n)相加，才能得到正确的卷积序列y(n)。图3.4.3 用重叠相加法计算线性卷积时域关系示意图 例例3.4.1 假设h(n)=R
7、5(n)，x(n)=cos(n/10)+cos(2n/5)u(n)，用重叠相加法计算y(n)=h(n)*x(n)，并画出h(n)、x(n)和y(n)的波形。3.4.2 用用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析 1 用用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析2 用用DFT对序列进行谱分析对序列进行谱分析3 ChirpZ变换变换4 用用DFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题1 用用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号设连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fcxa(t)的傅里叶变换为Xa(j)，对xa(t)进行时
8、域采样形成序列x(n)=xa(nT)，x(n)的傅里叶变换为X(ej)由假设条件可知x(n)的长度为(3.4.5)用X(k)表示x(n)的N点DFT，下面推导出X(k)与Xa(j)的关系(3.4.6)式中def表示模拟信号频谱Xa(j)的周期延拓函数。由x(n)的N点DFT的定义有 (3.4.7)将(3.4.7)式代入(3.4.6)式,得到：(3.4.8)(3.4.8)式说明了X(k)与Xa(j)的关系。为了符合一般的频谱描述习惯，以频率f为自变量，整理（3.4.8）式。def令N11spFNTTF=图3.4.6 用DFT分析连续信号谱的原理示意图 1.可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以
9、T，近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期0,fs上的N点等间隔采样 ，如图3.4.6所示。2.对满足假设的持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，包含了模拟信号频谱的全部信息（k=0,1,2,N/2,表示正频率频谱采样;k=N/2+1，N/2+2，N1,表示负频率频谱采样），对实序列可以只分析其正频率频谱分量。3.可由X(k)恢复Xa(j)或xa(t)，但直接由分析结果X(k)看不到Xa(j)的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱线，这就是所谓的栅栏效应。截断效应截取一段Tp，假设Tp=8 s，采样间隔T=0.25 s(即采样频率Fs=4 Hz)，采用点数N=Tp/T=3
10、2；频域采样间隔F=1/Tp=0.125 Hz；由于ha(t)为实信号，因此仅取正频率0,fs/2频谱采样：在对连续信号进行谱分析时，主要关心两个问题，这就是谱分析范围和频率分辨率。谱分析范围为0,Fs/2，直接受采样频率Fs的限制。为了不产生频率混叠失真，通常要求信号的最高频率fcFs/2。频率分辨率用频率采样间隔F描述，F表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。显然，F越小，谱分析就越接近Xa(jf)，所以F较小时，我们称频率分辨率较高。N11spFNTTF=DFT对连续信号分析时的参数选择原则对连续信号分析时的参数选择原则fc-信号最高截止频率信号最高截止频率 F-频频(谱谱)率分
11、辨率（频域采样时的最小频率间隔）率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）Fs-采样频率采样频率 Tp-信号记录时间信号记录时间T-采样间隔采样间隔N-采样点数采样点数【例例 3.4.2】对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz，试确定最小记录时间Tp min，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率提高1倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？解解因此Tp min=0.1 s。因为要求Fs2fc，所以为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此选用N=512点。为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：用快速
12、算法FFT计算时，选用N=1024点。思考题时域对一段有限长模拟信号以4kHz采样，对得到的N个抽样信号做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100Hz。如果想使得频谱看得更清楚，每50Hz就有一根谱线，采用8kHz采样，对得到的2N个抽样信号做2N点DFT，能达到目的吗？为什么？不能达到目的，因为 ，采样间隔提高一倍，采样点数N也提高一倍，那么频率分辨率F应该保持不变。2 用用DFT对序列进行谱分析对序列进行谱分析 我们知道单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换，即X(ej)是的连续周期函数。如果对序列x(n)进行N点DFT得到X(k)，则X(k)是在区间0，2上对X(ej)的N点等间
13、隔采样，频谱分辨率就是采样间隔2/N。因此序列的傅里叶变换可利用DFT(即FFT)来计算。使用DFT对周期序列进行频谱分析如果截取长度M等于的整数个周期，即M=mN，m为正整数，即 （3.4.17）令n=niN;i=0,1,m1;n=0,1,N1，则因为所以 （3.4.18）举例：如果m=2M301.M M3011.M如果的周期预先不知道，可先截取M点进行DFT，即 再将截取长度扩大1倍，截取比较XM(k)和X2M(k)，如果二者的主谱差别满足分析误差要求，则以XM(k)或X2M(k)近似表示的频谱，否则，继续将截取长度加倍，直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求。设最后截取长度为iM，
14、则XiM(k0)表示=2/(iM)k0点的谱线强度。1.频谱混叠频谱混叠对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，如果采样频率如果采样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠现象，此时用附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行分进行分析结果必然在析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。附近产生较大误差。一般取一般取Fs(35)fc。在。在Fs确定时，一般在采样确定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。解决办法解决办法:预滤波预滤波增大采样频率
15、增大采样频率2.栅栏效应1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景解决途径：减 小 栅 栏 效 应 的 一 个 方 法 是 在 所 取 数 据 的 末 端 加 一 些 零 值 点，使 一 个 周 期 内 点 数 增 加,但 是 不 改 变 原 有 的 记 录 数 据。(3)截断效应。实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n),称为矩
16、形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理，有其中对矩形窗数w(n)=RN(n)，有例如，x(n)=cos(0n)，0=/4,其频谱为比较截断前、后的幅度谱的差别：比较截断前、后的幅度谱的差别：谱线加宽，频谱泄露定义：定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将谱线展宽 的现象称为频谱泄漏。约束因素：约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。影响：影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。谱间干扰出现原因：出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣影响：影响：降低谱分辨率 泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。减轻截断效应的方法-（1）适当加大窗口宽度；（2）采用适当形状的窗函数截断 最后要说明的是，栅栏效应与
17、频率分辨率是不同的两个概念。如果截取长度为N的一段数据序列，则可以在其后面补N个零，再进行2N点DFT，使栅栏宽度减半，从而减轻了栅栏效应。但是这种截短后补零的方法不能提高频率分辨率。因为截短已经使频谱变模糊，补零后仅使采样间隔变小，但得到的频谱采样的包络仍是已经变模糊的频谱，所以频率分辨率没有提高。因此，要提高频率分辨率，就必须对原始信号截取的长度加长（对模拟信号，就是增加采样时间Tp的长度）。M302.M时域离散信号的时域分析时域离散信号的频域分析用计算机来辅助分析频谱非周期信号的频谱-DTFT（）周 期信号的频谱-DFS(or 引入冲激的DTFT)将DTFT推广到ZT1.由DFS推出DF
18、T2.DFT的物理含义，与ZT,DTFT,DFS关系3.性质：隐含周期；线性；循环移位；循环卷积；复共轭的DFT；共轭对称性4.频域采样理论（三点）5.应用：（1）计算线卷，计算长线卷的方法（2）分析信号频谱（连续，离散，误差）习题与上机题习题与上机题 1 计算以下序列的N点DFT，在变换区间0nN1内，序列定义为 (1)x(n)=1 (2)x(n)=(n)(3)x(n)=(nn0)0n0N8 若X(k)=DFTx(n)，Y(k)=DFTy(n)，Y(k)=X(k+l)NRN(k)，证明9 已知x(n)长度为N，X(k)=DFTx(n)，求Y(k)与X(k)的关系式。14 两个有限长序列x(n
19、)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0,8n y(n)=0 n0,20n对每个序列作20点DFT，即F(k)=X(k)Y(k)k=0，1，19f(n)=IDFTF(k)k=0，1，19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等,为什么？15 已知实序列x(n)的8点DFT的前5个值为0.25,0.125j0.3018,0,0.125j0.0518,0。（1）求X(k)的其余3点的值；（2），求（3）x2(n)=x(n)ejn/4，求x2(k)=DFTx2(n)8。16 x(n)、x1(n)和x2(n)分别如题16图(a)、(b)和(c)所示，已知X(k)=DFTx(n)8。求X1(k)=DFTx1(n)8 和 X2(k)=DFTx2(n)8注:用X(k)表示X1(k)和X2(k)。18 用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F50 Hz，信号最高频率为1kHz，试确定以下各参数：(1)最小记录时间Tp min；(2)最大取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin；(4)在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz，调制信号频率fm=100 Hz，用FFT对其进行谱分析，试求：(1)最小记录时间Tp;(2)最低采样频率fs;(3)最少采样点数N。