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1、无穷级数与函数逼近 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 无穷级数与函数逼近 级数和的演示 函数幂级数展开 傅立叶级数定义 称为级数 的前n项和(n=1,2,).简称部分和.由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为 .若 不存在，则称级数 发散.例1：观察 的部分和序列 的变化趋势，并求和。级数和的演示解：程序1Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlotda
2、ta运行后的图象图1程序1 再求出其和来Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlotdataNSum1/k2,k,Infinity运行后得其和的近似值为 1.644934066848例2 求 的和程序2sn_:=Sum(-1)k/k2,k,nd=Tablesn,n,100;ListPlotdNSum(-1)n/n2,n,1,Infinity图2图3运行后得其和的近似值为-0.82246703342411321例3求幂级数 的和。程序3Sumxn/(n*3n),n,1,Infinity运行后的结果函数幂级数展开例4 写出函数f(x)=sinx的幂级数展开
3、式，并利用图形考察幂级数部分和逼近函数的情况。解：幂级数展开必为：即为Maclaurin级数展开式为故sinx可展开为程序4fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,n程序4fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2运行后的图象图4图5图6图7图8结论1 从这些图可以比较清晰地看到幂级数展开式前n项部分和
4、逼近函数的情况，这里n=9，在区间-,上幂级数与函数本身看起来已没有什么差异。我们再来看分别在闭区间-,和-2,2 上在同一个坐标系中这些图象的情况程序4fx_:=Sinxfx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;gn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nsn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-DoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,R
5、GBColor1,0,0,n,1,9,2RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2 t=Tablesn,x,n,1,9,2;t=Tablesn,x,n,1,9,2;PlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2Pi运行后的图象图9图10图11结论2 从图中可看到，函数的幂级数展开式的前n项部分和函数逼近函数的程度，随着n的增大而提高。但对于确定n而言，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。傅立叶级数 自然界中许多现象是
6、周期性重复的，例如，声波是空气粒子周期性振动而产生的，人们呼吸时肺部的运动和心脏的跳动也是周期性的，交流电也体现了周期变化。对自然界的这种周期变化现象可以用周期函数近似地描述。在数学上也就是用三角多项式逼近函数的问题，傅立叶级数就是一种逼近的方法 以2为周期的周期函数f(x)的傅立叶级数由下式所定义：其中例5设周期为2的周期函数f(x)在一个周期内的表达式为试生成f(x)的傅立叶级数，并从图上观察该函数的部分和逼近f(x)的情况。程序5fx_:=Whichx0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x4Pi,0fx_:=Whichx0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x50,PlotStyle-Pi,3Pi,PlotPoints-50,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4运行后的图象图12图13图14图15图16图17 感谢大家 请提宝贵意见