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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第14讲讲本文件可从网址http:/上下载13.3 条件期望2例 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱,X1,X2代表头两个信箱里的信数目,求在第2个邮箱里有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数.3解 因已经计算出4对于二元离散型随机变量(X,Y),在X取某一个定值,比如X=xi的条件下,求Y的数学期望,称此期望为给定X=xi时Y的条件期望,记作E(Y|X=xi),有5对于二元连续型随机变量,定义其中f(y|x)及f(x|y)分别是在X=x条件下关于Y的条件概率密度和在Y=y条件下关于X的条件概率密度.当然这个定义假定各式都是有意义的.6 方差7例 设甲,乙两
2、炮射击弹着点与目标的距离分别为X1,X2(为简便起见,假定它们只取离散值),并有如下分布律.X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20.20.20.20.28则两炮有相同的期望值(EXi=90,i=1,2),但比较两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中.X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20.20.20.20.29图示比较:90 9590 9585858010010有两批钢筋,每批各10根,它们的抗拉强度指标如下:第一批:110,120,120,125,125,125,130
3、,130,135,140第二批:90,100,120,125,130,130,135,140,145,14511它们的平均抗拉强度指标都是126,但是,使用钢筋时,一般要求抗拉强度指标不低于一个指定数值(如115).那么,第二批钢筋的抗拉强度指标与平均值偏差较大,即取值较分散,不合格的多,可以认为第二批比第一批质量差.12可见在实际问题中,仅靠期望值(或平均值)不能完善地说明随机变量的分布特征,还必须研究期离散程度.通常人们关心的是随机变量X对期望值E(X)的离散程度.13定义 如果随机变量X的数学期望E(X)存在,称X-E(X)为随机变量的离差.显然,随机变量离差的期望是零,即 EX-E(X
4、)=0不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散程度大,为了消除离差X-E(X)的符号,用X-E(X)2来衡量X与E(X)的偏差.14定义1516如果X是离散型随机变量,并且PX=xk=pk(k=1,2,.),则1718可见随机变量的方差是非负数,D(X)0,常量的方差是零.当X的可能值密集在它的期望值E(X)附近时,方差较小,反之则方差较大.因此方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度19在数学推导中喜欢用方差D(X),而在实际应用中则更喜欢用标准差sX,这是因为标准差的量纲和随机变量的量纲一样,随机变量的单位是元,则标准差的单位也是元,随机变量的单位是公斤,则标准差的单位也是公斤.20对于一些
5、测量工具的误差通常用标准差来描述,而这是有国家标准的.一个经验之谈,任何随机变量在实际实验中和它的数学期望之差超过3到5倍的标准差是实际不可能的,但数学上不承认这一点.例如,假设一个秤的标准差为一克,它称一公斤的东西可能不会正好一公斤,但决无可能是0.994公斤,也无可能是1.006公斤.21图示,方差大和方差小的情况方差小方差大f1(x)f2(x)xx22例 计算参数为p的0-1分布的方差23解 根据X的概率函数PX=1=pPX=0=1-p=q则E(X)=0q+1p=pD(X)=(0-p)2q+(1-p)2p=p2q+q2p=pq(p+q)=pq=p(1-p)E(X)=pD(X)=pq24例
6、 计算本节开始所举甲乙两炮射击中D(X1),及D(X2)X180859095100P0.20.20.20.20.2X28587.59092.595P0.20.20.20.20.225解 已算得E(X1)=E(X2)=90,则D(X1)=1020.2+520.2+020.2+520.2+1020.2=50X180859095100P0.20.20.20.20.226D(X2)=520.2+2.520.2+020.2+2.520.2+520.2=12.5X28587.59092.595P0.20.20.20.20.227方差的性质(1)常量的方差等于零(2)证 D(c)=E(c-Ec)2=E(c-
7、c)2=028(2)随机变量与常量之和的方差就等于这个随机变量的方差本身证 D(X+c)=EX+c-E(X+c)2=EX+c-EX-c)2=E(X-EX)2=D(X)29(3)常量与随机变量乘积的方差,等于这常量的平方与随机变量方差的乘积.证 D(cX)=EcX-E(cX)2=EcX-E(X)2=Ec2X-E(X)2=c2DX 30图示性质cX+c的概率密度X的概率密度31图示性质X的概率密度cX的概率密度32(4)两个独立随机变量之和的方差,等于这两个随机变量方差的和33证 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=EX-E(X)+Y-E(Y)2=EX-E(X)2+Y-E(Y)2+2X-E(X
8、)Y-E(Y)=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)34这是因为X与Y独立,则X-E(X)与Y-E(Y)也独立,因此EX-E(X)Y-E(Y)=EX-E(X)EY-E(Y)=035性质4可以推广到任意有限个随机变量即,若X1,X2,.,Xn相互独立,则有 D(X1+X2+.+Xn)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn)36进一步可得:n个相互独立的随机变量的算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍.37(5)任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望与其期望平方之差,即D(X)=E(X2)-E(X)238证 DX=EX-E(X)2=EX
9、2-2XE(X)+E(X)2=EX2-2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)-E(X)2这个公式很重要,实际上计算一个随机变量的方差用的是这个公式.39计算E(X2)的办法:40例 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变量X的方差.41解 已知X的概率密度为前面我们已算出EX=(a+b)/24243上面的解法较麻烦,另一种简单的解法是,先求出在0,1区间均匀分布的随机变量的方差,再乘上(b-a)2,就是在a,b区间均匀分布的随机变量的方差.444546例 两相互独立的随机变量X,Y的分布如下面两表所示,计算D(X-Y)X91011P0.30.50.2Y67P0.40.647解 E(X)=9
10、0.3+100.5+110.2=9.9 E(Y)=60.4+70.6=6.6E(X2)=810.3+1000.5+1210.2=98.5D(X)=E(X2)-E(X)2=98.5-98.01=0.49E(Y2)=620.4+720.6=43.8D(Y)=E(Y2)-E(Y)2=43.8-43.56=0.24D(X-Y)=D(X)+D(Y)=0.49+0.24=0.7348例 若连续型随机变量X的概率密度是已知E(X)=0.5,D(X)=0.15,求系数a,b,c.4950也即从51得52535455例6 设随机变量X服从几何分布,概率函数PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中0p1.求E(X),D(X).56解 记q=1-p,57为求方差,先求EX(X-1)=E(X2)-E(X)5859作业习题4-2 第68页开始第2题,第4题60