数理统计课件.ppt

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1、数理统计课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望总体与个体总体与个体 在在数数理理统统计计中中，把把研研究究对对象象的的全全体体称称为为总总体体或或母母 体体，而而组组成成总总体体的的每每个个元元素素称称为为个个 体体。在应用上在应用上，总体总体指研究对象的某个指研究对象的某个(或几个或几个)数量数量指标指标 X的所有可能取值的全体，指标的所有可能取值的全体，指标X的每一个取值的每一个取值称为称为个体个体。例如：研究一批灯泡的使用寿命时，该批灯泡的例如

2、：研究一批灯泡的使用寿命时，该批灯泡的全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。样本样本 若随机变量若随机变量 相互独立，且每相互独立，且每个个 与总体与总体X有相同的分布，有相同的分布，则称则称 为总体为总体X的一个的一个样本样本，n称称为为样本容量样本容量，所有可能不同取所有可能不同取值的集合称为值的集合称为样本空间样本空间。一次具体的抽样中所得到的数值一次具体的抽样中所得到的数值 称为样本称为样本 的一个观察值，简称的一个观察值，简称样本观察值样本观察值（样本点样本点）（两重性）（两重性）样本样本 样本联合分布样本联合分布样本联合分布样本联合分布 已知总体X

3、的分布函数为F(x),密度函数为f(x)。统计量统计量 定义定义定义定义 设（设（）为总体）为总体X的一个样本，的一个样本，为为不含任何未知参数不含任何未知参数的的函数函数，则，则称称 为样本（为样本（）的一个统）的一个统计量。计量。统计量是随机变量。统计量是随机变量。统计量是随机变量。统计量是随机变量。则则 例如例如：设设 是从正态总体是从正态总体 中抽取中抽取的一个样本，其中的一个样本，其中 为已知参数为已知参数,为未知参数，为未知参数，是统计量是统计量 不是统计量不是统计量 几个常用的统计量几个常用的统计量 样本均值样本均值样本均值样本均值设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本，样本

4、方差样本方差样本方差样本方差 样本均方差或标准差样本均方差或标准差样本均方差或标准差样本均方差或标准差 样本的样本的样本的样本的K K阶原点矩阶原点矩阶原点矩阶原点矩 样本的样本的样本的样本的K K阶中心矩阶中心矩阶中心矩阶中心矩 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即三个非常有用的连续型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布数理统计的三大分布数理统计的三大分布(都是连续型都是连续型).).它们都与正态分布有密切的联系它们都与正态分布有密切的联系.统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。由于正态总体是最常见的总体，

5、因此这里主由于正态总体是最常见的总体，因此这里主要讨论要讨论正态总体下的抽样分布正态总体下的抽样分布.定义定义 设总体设总体 ，是是 的的一个样本一个样本,则称统计量则称统计量 服从自由度服从自由度为为n n的的 分布，记作分布，记作自由度是指独立随机变量的个数自由度是指独立随机变量的个数 2 2分布分布 2 2分布的可加性分布的可加性设设且且相互独立相互独立，则则设设(X1，X2，Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN(，2)的样本，则的样本，则t t分布分布定义定义5.4 设随机变量设随机变量XN(0，1)，Y 2(n)，且且X与与Y相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 服从自由度

6、为服从自由度为n的的t分布分布或或学生氏学生氏分布，分布，记作记作T t(n).其图形其图形关于关于y轴对称轴对称，形状类似标准正态分布形状类似标准正态分布的的概率密度的图形概率密度的图形.当当n较大时，较大时，t分布近似于标准正态分布分布近似于标准正态分布.F F分布分布服从第一自由度为服从第一自由度为n1，第二自由度为第二自由度为n2的的F分布，分布，定义定义5.5 设随机变量设随机变量 X1 2(n1)、X2 2(n2)，且且X1 与与X2相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量 记作记作FF(n1，n2).概率密度函数概率密度函数性质性质：若：若XF(n1，n2)，则则F(n2，n

7、1).正态总体的常用样本函数的分布正态总体的常用样本函数的分布 设总体设总体 ，是是 的一个的一个样本样本,则则1.2.2.设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(，2)的样本，则的样本，则(1)样本均值样本均值 与样本方差与样本方差S 2相互独立；相互独立；(2)3.3.设设(X1，X2，Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN(，2)的样本，则统计量的样本，则统计量4.4.设设(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2)分别分别是来自正态总体是来自正态总体N(1，2)和和N(2，2)的样本，且它的样本，且它们相互独立，则统计量们相互独立，则统计量其中其中、分别为两总

8、体的样本方差分别为两总体的样本方差.为正态总体为正态总体 的样本容的样本容量和样本方差；量和样本方差；5.设设 为正态总体为正态总体 的样本容的样本容量和样本方差；量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量且两个样本相互独立，则统计量概率分布的分位点概率分布的分位点使使PXx =，定义定义对总体对总体X和给定的和给定的 (0 x =oyx则称则称 、为为X分布的分布的双侧双侧 分位点。分位点。若存在数若存在数 、，使，使双侧双侧 分位点分位点的特例的特例当当X的分布的分布关于关于y y轴对称轴对称时，时，则称则称 为为X分布的分布的双侧双侧 分位点分位点.如图如图.若存在若存在 使使yxO标准

9、正态分布标准正态分布的上的上 分位点分位点例如，例如，=0.05，而而即：PZ1.645=0.05(x)xO 反查表反查表反查表得反查表得即：P|z|1.96=0.05例如，求z0.05/2，(x)O /2 /2x标准正态分布标准正态分布的双侧的双侧 分位分位点点反查表反查表反查表得满足满足 的数的数 为为 2分布的分布的 上上 分位点分位点，其几何意义见右图所示其几何意义见右图所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 显然，在自由度显然，在自由度n取定以后，取定以后，的值只与的值只与 有关有关.2 2分布的上分布的上 分位点分位点例如，当例如，当n=21，=

10、0.05时，可查表得时，可查表得32.67即即 当当 时，直接查时，直接查 2分布分布表表 当当 时，时，利用公式利用公式 2 2分布的上分布的上 分位点分位点 2 2(n)n)的求法的求法 2 2分布的双侧分布的双侧 分位点分位点 把满足把满足的数的数称为称为 2分布的分布的双侧双侧 分位点分位点f(x)xO显然，显然，为为 2分布的上分布的上 分位点分位点.为为 2分布的上分布的上 分位点分位点.如当如当n=8,=0.05时，时，2.1817.53t t分布的上分布的上 分位点分位点对于给定的对于给定的 (0 1)，称满足条件，称满足条件 的数的数t(n)为为t分布的分布的上上 分位点分位

11、点，其几何意义见右图。其几何意义见右图。f(x)xOt(n)求法：求法：求法：求法：当当 时，直接查时，直接查t分布分布表表 当当 时，时，t t分布的双侧分布的双侧 分位点分位点由于由于t分布的对称性，称满足条件分布的对称性，称满足条件 的数的数t/2(n)为为t分布的分布的双侧双侧 分位点分位点，其几何意义如右图所示其几何意义如右图所示.f(x)xOt/2(n)/2 /2-t/2(n)其求法与上其求法与上 分位点的分位点的求法类似。求法类似。F 分布的上分布的上 分位点分位点对于给定的对于给定的 (0 =0.1,求求 .解解 因为因为n=10，n-1=9，2=42，所以所以 2(9).又又

12、PS2 =0.1，所以所以查查表表14.684.故故 14.684x26.105点估计法的基本思想点估计法的基本思想 设总体设总体X的分布依赖于参数的分布依赖于参数 1,2,k，而而X1，X2，Xn是总体是总体X的一个样本，的一个样本，为样本观察值为样本观察值已知：已知：方法：方法：以统计量的观察值以统计量的观察值作为作为的估计值的估计值矩估计法、最矩估计法、最(极极)大似然法大似然法 构造统计量构造统计量作为作为的估计量的估计量矩估计法矩估计法 基本思想基本思想：用样本矩作为总体矩的估计量：用样本矩作为总体矩的估计量总体总体m阶原点矩：阶原点矩：样本样本m阶原点矩：阶原点矩：设总体设总体X的

13、分布中含有的分布中含有k个待估参数个待估参数 1,2,k为总体 的样本令令(m=1,2,k)(m=1,2,k)如果如果 是是 的矩估计量，而的矩估计量，而 是是 的连续的连续函数，则函数，则 是是 的矩估计量。的矩估计量。假定有唯一的一组解假定有唯一的一组解则将则将作为作为矩估计量矩估计量矩估计量的观察值为未知参数的矩估计量的观察值为未知参数的矩估计值矩估计值例例1为总体为总体 的样本的样本，设设已知已知 的概率分布为的概率分布为试用矩估计法估计总体参数试用矩估计法估计总体参数解：解：令令即：即：解得解得因为因为故故为参数为参数的矩估计量。的矩估计量。求解方法：求解方法：（2）取自然对数）取自

14、然对数 其解其解 即为参数即为参数 的极大似然估计值。的极大似然估计值。（3）令）令 （1）构造似然函数）构造似然函数 若总体的密度函数中有多个参数若总体的密度函数中有多个参数 1，2，n，则将则将第（第（3）步改为）步改为解方程组即可。解方程组即可。最最(极极)大似然估计法大似然估计法 解解似然函数为似然函数为故故得得故最大似然估计值故最大似然估计值例例1 设总体设总体即即X的概率密度为的概率密度为求求 的最大似然估计值。的最大似然估计值。令令练习：练习：为总体为总体 的样本的样本，设设已知已知 的概率分布为的概率分布为试用最大似然法估计总体参数试用最大似然法估计总体参数解：解：似然函数为似

15、然函数为故故得得故最大似然估计值故最大似然估计值令令练习：练习：设设(X1，X2，Xn)为总体总体X的的样本本已知已知X的分布律为：的分布律为：k=0,1,m 0 p1求参数求参数p的最大似然估计量。的最大似然估计量。解：解：似然函数为似然函数为故故得得令令点估计的评价标准点估计的评价标准无偏性、有效性、一致性无偏性、有效性、一致性无偏估计量无偏估计量：设设 是未知参数是未知参数 的估计量，如果的估计量，如果 则称则称 是是 的的无偏估计量。无偏估计量。例例1：设样本设样本 是取自数学期望为是取自数学期望为的总体的总体 的样本，则的样本，则 是是 的无偏的无偏估计量。估计量。例例2：设样本设样

16、本 是取自总体是取自总体 的样本的样本的均值的均值 未知未知，则统计量则统计量 是是 的无偏的无偏估计量，其中估计量，其中 为常数，且为常数，且 。例例3：设总体的设总体的k阶矩存在，则样本的阶矩存在，则样本的k阶矩阶矩 是总体是总体k阶矩的无偏估计量。阶矩的无偏估计量。例例4：设设 是来自总体的一个样本，是来自总体的一个样本，是是 的无偏估计量，而样本二阶中心矩的无偏估计量，而样本二阶中心矩且且 未知，未知，则样本方差则样本方差不是不是 的无偏估计量的无偏估计量有有 效效 性性设设 、为未知参数为未知参数 的两个无偏估计量，若的两个无偏估计量，若则称则称 比比 有效。有效。一一 致致 性性例

17、：例：设设 取自总体取自总体 。试证明样本均值。试证明样本均值是是E(X)的一致估计量的一致估计量(其中其中D(X)已知已知)。置信水平、置信区间置信水平、置信区间 置信下限置信下限 置信上限置信上限 设总体的分布中含有一个未知参数设总体的分布中含有一个未知参数，对给定的，对给定的，(0 1)如果由样本如果由样本 确定两个确定两个 统计量统计量 ,使得使得 ，则称随机区间，则称随机区间 为为 参数参数 的置信度（或置信水平）为的置信度（或置信水平）为1-的置信区间。的置信区间。置信区间的求法置信区间的求法 (2)给定置信度给定置信度 ，由，由U分布的双分布的双 侧侧 分位点分位点 ，使得，使得

18、(3)利用利用 ，求出，求出 的置信区间。的置信区间。(1)构造含待估参数构造含待估参数 的样本函数的样本函数 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （1）方差已知，对均值的区间估计）方差已知，对均值的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1-选取样本函数选取样本函数Z，反查标准正态分布表，反查标准正态分布表，确定确定Z的的双侧分位点双侧分位点 得得E(X)的的区间估计区间估计为为 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （2）方差未知，对均值的区间估计）方差未知，对均值的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1-构

19、造样本函数构造样本函数T，查，查t-分布表，分布表，确定确定T的的双侧分位点双侧分位点 得得E(X)的区间估计为的区间估计为 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （3）均值已知，对方差的区间估计）均值已知，对方差的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1-构造样本函数构造样本函数 2，查，查 2-分布表，分布表，确定确定 2的的双侧分位点双侧分位点 得得 2的区间估计为的区间估计为 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （4）均值未知，对方差的区间估计）均值未知，对方差的区间估计 假设置信水平为假设置信水平为1-

20、选取样本函数选取样本函数 2，查，查 2-分布表，分布表，确定确定 2的的双侧分位点双侧分位点 得得 2的区间估计为的区间估计为 双正态总体均值差的区间估计双正态总体均值差的区间估计 1.两正态总体方差已知，即两正态总体方差已知，即2.两正态总体方差未知，但两正态总体方差未知，但双正态总体方差比的区间估计双正态总体方差比的区间估计 选择样本函数选择样本函数基本步骤基本步骤 1、提出原假设及备择假设；、提出原假设及备择假设；2、选择选择分布已知的适当的分布已知的适当的检验检验统计量统计量；4、计算计算统计量的样本统计量的样本观测值观测值，如果落在拒绝域内，如果落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则，接

21、受原假设。则拒绝原假设，否则，接受原假设。3、由给定的显著性水平、由给定的显著性水平，按，按 求出求出临界值临界值（上（上 分位点，或双侧分位点，或双侧 分位点）分位点）,从而确定从而确定拒绝域拒绝域;(2)H0：0；H1：0 (3)H0：0；H1：0 对均值的假设检验对均值的假设检验 拒绝域拒绝域 (1)H0：=0；H1：0 方方差差已已知知(2)H0：0；H1：0 (3)H0：0；H1：0 (1)H0：=0；H1：0 方方差差未未知知(2)(3)对方差的假设检验对方差的假设检验 拒绝域拒绝域 均均值值未未知知均均值值已已知知(1)(2)(3)(1)对均值差的假设检验对均值差的假设检验 拒绝域拒绝域 方方差差已已知知方方差差未未知知（1）H0：1=2；H1：1 2 （2）H0：1 2；H1：1 2 （3）H0：1 2；H1：1 2 （1）H0：1=2；H1：1 2 （2）H0：1 2；H1：1 2 （3）H0：1 2；H1：1 2 对方差比的假设检验对方差比的假设检验 拒绝域拒绝域 （1）H0：12=22；H1:12 22 （2）H0：12 22；H1：12 22 （3）H0：12 22；H1：12 22