数学与经济金融.ppt

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1、数学与经济金融 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望经济金融投资证券保险管理商业计量经济学的创立：引入统计和模型计量经济学的创立：引入统计和模型发展数理经济学：发展数理经济学：Paul Samuelson决定论模型（加速决定论模型（加速-乘子模型）乘子模型）股市随机运动模型（股市随机运动模型（martingale）和期权模型）和期权模型生物竞争，化学反应，利他行为，混沌模型生物竞争，化学反应，利他行为，混沌模型关于数理经济学的争论关于数理经济学的争论:奥

2、地利学派：人的行为能否用数学描写？奥地利学派：人的行为能否用数学描写？心理学：人们的理性是优化还是固锚？心理学：人们的理性是优化还是固锚？计量经济学（计量经济学（Hendry）:科学还是炼金术？科学还是炼金术？Herbert Simon:数学用得太多了数学用得太多了我们：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，我们：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）数学能否引入经济学？Samuelson:数学是语言，更精确，自洽，简要数学是语言，更精确，自洽，简要我们：数学和历史分析的定性差别我们：数学和历史分析的定性差别期权模

3、型和期权市场期权模型和期权市场热力学和噪声驱动的阻尼谐振子？热力学和噪声驱动的阻尼谐振子？大数定律和宏观波动的微观基础？大数定律和宏观波动的微观基础？几何布朗运动和经济有序几何布朗运动和经济有序数学在经济学中的作用数学在经济学中的作用一、模型一、模型二、数理模型二、数理模型三、经济建模三、经济建模四、数理模型建模的简单实例四、数理模型建模的简单实例五、建模过程五、建模过程建模概述什么是数理经济学？数理经济学不仅仅是经济学的一个分支，确切地说，它是一种经济分析方法，是经济学者利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。从广义上说，数理经济学（MathematicalEcono

4、mics）是一种采用现代的数学分析方法，收集分析经济运行中的数据加以分析，在得出精确的、有预见性的、符合客观经济运行规律的经济学模型之后，分析解决面临的经济问题，最终提出解决方案的新兴前沿学科。从狭义上来说，是特指瓦尔拉斯（Walras1834-1910）开创的一般均衡理论F1体系。通常可分为静态分析和动态分析。这个理论首先设立“人是理性的”这个假设，然后利用各种数学方法，来模拟各种经济学现象，并进而推论出有关问题的解决方案。13十一月2022 18381838年，数学家拉普拉斯和泊松的学生年，数学家拉普拉斯和泊松的学生古诺古诺(他研究概率论他研究概率论)发表了题为发表了题为财富理论财富理论的

5、数学原理研究的数学原理研究的经济学著作，著作中充的经济学著作，著作中充满着数学符号。例如，其中记市场需求为满着数学符号。例如，其中记市场需求为d d，市场价格为，市场价格为p ，需求作为价格的函数记为，需求作为价格的函数记为 d=f(p)。数理经济学的历史数理经济学的历史1919世纪中叶之后，勒翁世纪中叶之后，勒翁瓦尔拉斯和杰瓦尔拉斯和杰文斯提出名之为文斯提出名之为“边际效用理论边际效用理论”的经的经济学。后一代的经济学家们发现，这一济学。后一代的经济学家们发现，这一理论中的理论中的“边际边际”原来就是数学中的原来就是数学中的“导数导数”或或“偏导数偏导数”。瓦尔拉斯还于瓦尔拉斯还于18741

6、874年前后提出了另年前后提出了另一种颇有影响的一种颇有影响的“一般经济均衡理论一般经济均衡理论”。但是他的数学论证是不可靠的，后来，但是他的数学论证是不可靠的，后来，严格证明一般均衡理论的数学工作一直严格证明一般均衡理论的数学工作一直到到19541954年由阿罗和德布罗完成。年由阿罗和德布罗完成。19591959年，德布罗发表了他的著作年，德布罗发表了他的著作价值理论，经济均价值理论，经济均衡的一种公理化分析衡的一种公理化分析，这标志着运用数学公理化方法的，这标志着运用数学公理化方法的数学经济学的诞生。他于数学经济学的诞生。他于19831983年获诺贝尔经济学奖。年获诺贝尔经济学奖。G.De

7、breu诺贝尔奖章诺贝尔奖章13十一月2022 埃奇沃思用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重埃奇沃思用抽象的数学来刻画边际效用理论，他最重要的经济学著作却叫要的经济学著作却叫数学心理学数学心理学。马歇尔是在剑桥学。马歇尔是在剑桥学数学的，他成为经济学的数学的，他成为经济学的“剑桥学派剑桥学派”的宗师，今天的微的宗师，今天的微观经济学著作中那些既直观易懂，又不失数学严谨性的曲观经济学著作中那些既直观易懂，又不失数学严谨性的曲线图像多半出自马歇尔之手。线图像多半出自马歇尔之手。埃奇沃思埃奇沃思马马歇歇尔尔13十一月2022 著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始著名经济学家，马歇尔的

8、学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，身份开始其学术研究的，19211921年，他有一本数学著作年，他有一本数学著作概率论概率论，是那个时代最重要的概率论著作之一。，是那个时代最重要的概率论著作之一。美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文代代表中的欧文费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。币理论方面的研究被视为精神上的祖父。20

9、 20世纪最伟大的数学家之一冯世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家摩诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于究，于19441944年写成了最重要的数学经济学巨著：年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经对策论与经济行为济行为。13十一月2022 著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始著名经济学家，马歇尔的学生凯恩斯是宏观经济学的创始人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的人，是对西方经济政策影响最大的人，而凯恩斯是以数学家的身份开始其学术研究的，身份开始其学术研究

10、的，19211921年，他有一本数学著作年，他有一本数学著作概率论概率论，是那个时代最重要的概率论著作之一。，是那个时代最重要的概率论著作之一。凯恩斯凯恩斯13十一月20222020世纪最伟大的数学家之一冯世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济诺伊曼，他与经济学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学学家摩尔根斯长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于中应用的研究，于19441944年写成了最重要的数学经济学巨著：年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与经济行为对策论与经济行为。克拉克克拉克美国的边际效用学派是由克美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代拉

11、克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文表中的欧文费歇尔是耶鲁大学的一费歇尔是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。研究被视为精神上的祖父。13十一月2022美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第美国的边际效用学派是由克拉克奠定的。这个学派的第二代代表中的欧文二代代表中的欧文费雪是耶鲁大学的一位数学教授，他在货费雪是耶鲁大学的一位数学教授，他在货币理论方面的研究被视为精神上的祖父。币理论方面的研究被视为精神上的祖父。2020世纪最伟大的数学家之一冯世纪最伟大的数学家之一冯诺伊曼，他与经济学家诺伊曼，他与经济学家摩根斯坦长期合作，

12、进行了有关对策论及其在经济学中应用的摩根斯坦长期合作，进行了有关对策论及其在经济学中应用的研究，于研究，于19441944年写成了最重要的数学经济学巨著：年写成了最重要的数学经济学巨著：对策论与对策论与经济行为经济行为。克拉克克拉克欧文欧文费雪费雪摩根斯坦摩根斯坦13十一月2022 计量经济学是从具体数据出发，用数理统计计量经济学是从具体数据出发，用数理统计的方法，建立经济现象的数学模型；数理经济学则的方法，建立经济现象的数学模型；数理经济学则是从一些经济假设出发，用抽象数学方法，建立经是从一些经济假设出发，用抽象数学方法，建立经济机理的数学模型。前者是用归纳法，后者用的则济机理的数学模型。前

13、者是用归纳法，后者用的则是演绎法。是演绎法。熊彼特熊彼特奥地利边际效用学派最奥地利边际效用学派最有影响的代表熊彼特对于经济有影响的代表熊彼特对于经济学中使用数学方法，起了比谁学中使用数学方法，起了比谁都大的作用。都大的作用。13十一月2022 在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济在诺贝尔奖中，原来既没有数学奖，也没有经济学奖。数学奖一直没有增设，但是，学奖。数学奖一直没有增设，但是，19691969年，由瑞典年，由瑞典中央银行出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济中央银行出钱，以诺贝尔的名义，设立了诺贝尔经济学奖。学奖。19691969年一年一19891989年的年的2121届诺贝尔经济

14、学奖获奖人共届诺贝尔经济学奖获奖人共2727位，其中有位，其中有6 6届评了届评了2 2人，其他每届人，其他每届1 1人。这人。这2727位之中，位之中，美国人占了一半以上美国人占了一半以上(15(15位位)，英国人，英国人5 5位，瑞典、挪威位，瑞典、挪威各两位，法国、荷兰、前苏联各一位。各两位，法国、荷兰、前苏联各一位。首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济首届诺贝尔经济学获得者之一弗瑞希就是计量经济学的创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的学的创始人之一，他不仅运用数学研究经济，而且他的研究成为经济学推动数学发展的出色例子。研究成为经济学推动数学发展的出色例子。首届得奖者中的

15、另一位丁伯根是一个物理学博士，首届得奖者中的另一位丁伯根是一个物理学博士，然而，数理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。然而，数理不分家，现代物理学都离不开高水平的数学。丁伯根把物理和数学的方法带进了经济学，并与弗瑞希丁伯根把物理和数学的方法带进了经济学，并与弗瑞希一道成为计量经济学的奠基人。一道成为计量经济学的奠基人。第二届，第二届，19701970年的获奖者萨缪尔森，他在年的获奖者萨缪尔森，他在19371937年作为学位年作为学位论文写出，在论文写出，在19471947年才正式出版的成名作年才正式出版的成名作经济分析基础经济分析基础，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。是

16、一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。19721972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作斯的著作价值与资本价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951(1951年获学位年获学位)，他创，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即论中的奠基性定理即“阿罗不可能定理阿罗不可能定理”，其实，这完全是一，其实，这完全是一条数学定理

17、条数学定理(适用于经济学适用于经济学)。第二届，第二届，19701970年的获奖者萨缪尔森，他在年的获奖者萨缪尔森，他在19371937年作为学位年作为学位论文写出，在论文写出，在19471947年才正式出版的成名作年才正式出版的成名作经济分析基础经济分析基础，是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。是一部用严格的数学理论总结数理经济学的划时代著作。19721972年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克年诺贝尔经济学奖得主是两位：希克斯和阿罗。希克斯的著作斯的著作价值与资本价值与资本被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、被萨缪尔森称赞为可与古诺、帕累托、马歇尔的著作媲美。阿罗则是

18、数学博士马歇尔的著作媲美。阿罗则是数学博士(1951(1951年获学位年获学位)，他创，他创立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理立了新的数理经济学分支：公共选择，社会选择。社会选择理论中的奠基性定理即论中的奠基性定理即“阿罗不可能定理阿罗不可能定理”，其实，这完全是一，其实，这完全是一条数学定理条数学定理(适用于经济学适用于经济学)。1973 1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。是一种数学方

19、法。19751975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于于19421942年写成的年写成的经济资源的最优利

20、用经济资源的最优利用一书到一书到19591959年才得以年才得以出版。出版。13十一月2022 1973 1973年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产年的诺贝尔经济学奖为列昂节夫所获得，他的投入产出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过出方法，现在几乎成了经济学常识，其实，投入产出方法不过是一种数学方法。是一种数学方法。19751975年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到年的得奖者是前苏联的康托洛维奇，这特别使人感到意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、意外。康托洛维奇这位大数学家在纯数学研究领域如实变函数、泛函分析和在应用数学研究领域如线性

21、规划、计算数学等多方泛函分析和在应用数学研究领域如线性规划、计算数学等多方面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地面有过开创性贡献。但他对经济学的研究是业余的，甚至是地下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇下的研究。直到斯大林去世之后，情况稍有好转，康托洛维奇于于19421942年写成的年写成的经济资源的最优利用经济资源的最优利用一书到一书到19591959年才得以年才得以出版。出版。1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的克莱因、年的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19

22、821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年年的德布罗、的德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年年的索洛、的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年

23、，这个数字上升到了54540 0。在同。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从从21212 2下降到了下降到了11116 6。1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的克莱因、年的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年年的德布罗、的德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年年的索洛、的索洛、19891989年的哈维

24、尔莫等都有极高的数学修养，有的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从从21212 2下降到了下降到了11116 6。1976 1976年的得奖者弗

25、里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的克莱因、年的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年年的德布罗、的德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年年的索洛、的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章上发表的各类文章中，没有任何

26、资料而只有数学模型与有关分析的占中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从从21212 2下降到了下降到了11116 6。1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的克莱因、年的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年年的德布罗、的

27、德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年年的索洛、的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同。在同一时间内，没有任何数学公式对

28、资料进行分析的文章，却一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从从21212 2下降到了下降到了11116 6。1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、19801980年的克莱因、年的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年年的德布罗、的德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年年的索洛、的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是

29、数学家兼经济学家。就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从从21212 2下降到了下降到了11116 6。1976 1976年的得奖者弗里德曼、年的得奖者弗里德曼、19781978年的得主西蒙、年的得主西蒙、

30、19801980年的克莱因、年的克莱因、19811981年的托平、年的托平、19821982年的斯蒂格勒、年的斯蒂格勒、19831983年年的德布罗、的德布罗、19841984年的斯通、年的斯通、19851985年的莫迪利阿尼、年的莫迪利阿尼、19871987年年的索洛、的索洛、19891989年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的年的哈维尔莫等都有极高的数学修养，有的就是数学家兼经济学家。就是数学家兼经济学家。19721972一一19761976年在年在美国经济评论美国经济评论上发表的各类文章上发表的各类文章中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析的占中，没有任何资料而只有数学模型与有关分析

31、的占50501 1，而，而1977198119771981年，这个数字上升到了年，这个数字上升到了54540 0。在同。在同一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却一时间内，没有任何数学公式对资料进行分析的文章，却从从21212 2下降到了下降到了11116 6。冯冯诺伊曼在诺伊曼在19281928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理

32、论、不动点理论等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。上则常将其归入非线性分析范畴。2020世纪世纪6060年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，集及

33、其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。学中就出现过，却未在应用中被重视过。冯冯诺伊曼在诺伊曼在19281928年创立对策论的时候已经注意到，对经济学年创立对策论的时候已经注意到，对经济学来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯来说，更重要的不是各自的最优，而是相互间的对策。冯诺伊曼诺伊曼为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论为经济学准备了一系列的新的数学工具，如凸集理论、不动点理论等，形成了在经济学

34、中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学等，形成了在经济学中一系列与微分学很不相同的数学方法。数学上则常将其归入非线性分析范畴。上则常将其归入非线性分析范畴。2020世纪世纪6060年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，年代以后，德布罗把数学的公理化方法引进经济学，为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自为数学在经济学领域开辟了广阔的活动范围。经济学也不断根据自身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费身的需要向数学提出问题。生产者由生产集来刻画，消费者由消费集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。这里，出现了集值函数，集及其上的偏好关系或效用函数来刻画。

35、这里，出现了集值函数，一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数一对一的单值函数被发展成一对多的集值映射。这一概念虽早在数学中就出现过，却未在应用中被重视过。学中就出现过，却未在应用中被重视过。获得过菲尔兹奖获得过菲尔兹奖(授予授予4040岁以下的数学家的最高国际岁以下的数学家的最高国际数学奖数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和

36、德布罗的研究和德布罗的研究“动力系统化动力系统化”，回到微分方程的形式，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化光滑化”，提出，提出了了“正则经济学正则经济学”。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。获得过菲尔兹奖获得过菲尔兹奖(授予授予4040岁以下的数学家的最高国际岁以下的数学家的最高国际数学奖数学奖)的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的数学家斯梅尔，在德布罗的鼓动下投入经济学的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。的研究，这使得经济学中的数学发展到一个崭新的阶段。这位

37、以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗这位以研究动力系统著称的拓扑学家首先致力于把阿罗和德布罗的研究和德布罗的研究“动力系统化动力系统化”，回到微分方程的形式，回到微分方程的形式上来。接着又与德布罗一起把经济学上来。接着又与德布罗一起把经济学“光滑化光滑化”，提出，提出了了“正则经济学正则经济学”。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。在经济学领域所使用的数学可与物理学相提并论了。这种状况表明，真正理解经济学所这种状况表明，真正理解经济学所需要的数学知识和数学水平，可能是一需要的数学知识和数学水平，可能是一个大学本科数学专业的学生还难以达到个大学本科数学专业的学生还难以达到的。然

38、而，理解今天如此复杂的经济活的。然而，理解今天如此复杂的经济活动本身已不是一件容易的事。动本身已不是一件容易的事。金融数学简介金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资展起来的，其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简策略的选择理论和资产的定价理论。今天我们将简述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展述了金融数学的主要内容，并展望了其进一步发展的前沿课题及前景。的前沿课题及前景

39、。简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问简单地说，金融数学就是用数学的方法解决金融问题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖题。在金融数学的发展史上，一些诺贝尔经济学奖的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。的获奖工作，对金融数学的研究起着决定性的作用。可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖可以说，金融数学的主流研究方向就是以这些获奖工作为基础的。工作为基础的。引言 1990年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予H.Markowitz，W.Sharpe 和和M.Miller，奖励他们在金融经济奖励他们在金融经济学中的先驱工作学中的先驱工作H.Markowitz 的投资组合理

40、论、的投资组合理论、W.Sharpe的的 资本资产定价理论资本资产定价理论M.Miller 的公司财务理论。的公司财务理论。注诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（1）H.Markowitz H.Markowitz 在资产组合在资产组合选择一文中，第一次从风选择一文中，第一次从风险资产的收益率和风险之间险资产的收益率和风险之间的关系出发，讨论了不确定的关系出发，讨论了不确定经济环境中最优资产组合的经济环境中最优资产组合的选择问题。选择问题。其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选其主要成就是将大量的不同资产的投资组合选择的复杂的多维问题，简化为平衡两个因素，即投择的复杂的多维问题，简化为平衡两个

41、因素，即投资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清资组合的期望回报及其方差，最终化为一个概念清晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；晰的、简单的二次规划问题，即均值方差分析；并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。并且给出了最优投资组合问题的实际计算方法。W.Sharpe W.Sharpe 的资本资产定价理论，的资本资产定价理论，在较强的市场假设下，给出了在较强的市场假设下，给出了Markowitz Markowitz 均值方差模型的均均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型。衡版本，即资本资产定价模型。（CAPMCAPM）22 其主要贡献是在有价证券理论方面对不确定条件其主要贡献

42、是在有价证券理论方面对不确定条件下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于下金融决策的规范分析，以及资本市场理论方面关于以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马以不确定性为特征的金融市场的实证性均衡理论。马克维茨的分析方法进一步发展为著名的克维茨的分析方法进一步发展为著名的资本资产定资本资产定价模型价模型，用来说明在金融市场上如何建立反映风险，用来说明在金融市场上如何建立反映风险和潜在收益有价证券价格。和潜在收益有价证券价格。M.MillerM.Miller的公司财务理论的公司财务理论（19581958）主要研究资本结构与其）主要研究资本结构与其企业市场价值的关系。企业市场价值的关系

43、。MillerMiller在资本成本、公司理财和投资在资本成本、公司理财和投资理论论文中证明，在一定假设理论论文中证明，在一定假设下，企业的市场价值与其资本结下，企业的市场价值与其资本结构无关。构无关。传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，传统观念认为，公司的价值与其资本结构有内在关系，Miller的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起的结论与传统观念大相径庭，一经提出就引起了广泛的争议。从了广泛的争议。从50年代末到年代末到60年代末，经过一轮唇年代末，经过一轮唇枪舌战的辩论之后，枪舌战的辩论之后，Miller的公司财务理论开始盛行的公司财务理论开始盛行于财务学界，逐步确定它在学

44、术界的主流地位。于财务学界，逐步确定它在学术界的主流地位。1997年诺贝尔经济奖授予年诺贝尔经济奖授予R.Merton和和M.Schole,以奖励他们和以奖励他们和F.Black在确定在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关衍生证券价值方法方面的贡献，也就是关于期权定价的著名的于期权定价的著名的Black-Sholes公式。公式。注诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（2）19731973年，年，M.ScholesM.Scholes与已故的经济与已故的经济学家学家F.BlackF.Black发表期权定价和公发表期权定价和公司债务一文，给出了期权定价的司债务一文，给出了期权定价的Black-Sh

45、oles公式。公式。指出指出期权价期权价格仅依赖于股票价格的波动量、无格仅依赖于股票价格的波动量、无风险利率、期权到期时间、执行价风险利率、期权到期时间、执行价格、股票时价格、股票时价.其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造其主要贡献是提出用标的股票和无风险资产构造的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法的投资组合的收益来复制期权的收益。这一复制法则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证则的重要性在于，它告诉人们可以利用已存在的证券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这券来复制符合于某种投资目的的新的证券品种，这成为金融机构设计新的金融产品的思想方法。成为金融机构设计新的金融产

46、品的思想方法。注1973年年R.Merton在经济和管理在经济和管理科学杂志上发表了理性期权定科学杂志上发表了理性期权定价理论的文章，对价理论的文章，对Black-Sholes公式的假定条件做了进一步公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对削弱，在许多重要方面都对Black-Sholes的研究做了推广的研究做了推广 Merton对对Black-Sholes原用的分析方法进行了原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一

47、个价格而不经历其间的价格这样推导出格跳到另一个价格而不经历其间的价格这样推导出的公式更加现实的公式更加现实注2003年度诺贝尔经济学奖授予年度诺贝尔经济学奖授予Robert F.Engle和和 Clive Granger。令令Engle 摘取桂冠的是他于摘取桂冠的是他于1982年提出年提出的的ARCH模型。模型。Granger因为时间序列的协整分析方法而因为时间序列的协整分析方法而获奖获奖,他的贡献将用于研究财富与消费、汇率他的贡献将用于研究财富与消费、汇率与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。与物价水平、以及短期与长期利率之间的关系。诺贝尔经济奖简介（诺贝尔经济奖简介（3）对收益率的建模

48、研究一直在计对收益率的建模研究一直在计量经济学中占据很重要的位置。显量经济学中占据很重要的位置。显然对于一阶矩的刻画是比较容易的然对于一阶矩的刻画是比较容易的,所以人们将注意力都放在了对二阶所以人们将注意力都放在了对二阶矩的建模上矩的建模上,也就是对收益率波动也就是对收益率波动的计量建模。为了寻求对股票市场的计量建模。为了寻求对股票市场价格波动行为更为准确的描述和价格波动行为更为准确的描述和分析方法分析方法,许多金融学家尝试了不同的模型。其中许多金融学家尝试了不同的模型。其中,Engle于于1982年提出的年提出的ARCH模型模型,被认为是最集中被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金

49、融数据时间序反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。列分析的模型。20世纪世纪70年代以前计量经济学的建模年代以前计量经济学的建模方法都是以经济变量平稳这一假设条方法都是以经济变量平稳这一假设条件为基础。但在实际中件为基础。但在实际中,许多经济指标许多经济指标的时间序列都是非平稳的的时间序列都是非平稳的,并不具有固并不具有固定的期望值定的期望值,并且呈现出明显的趋势性并且呈现出明显的趋势性和周期性。经济变量表现出的非平稳和周期性。经济变量表现出的非平稳性使传统建模遇到了前所未有的困难。性使传统建模遇到了前所未有的困难。格兰杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系格兰

50、杰注意到某些经济变量之间似乎不会存在任何均衡关系,但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平但若干个非平稳经济时间序列的某种线性组合却有可能是平稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整稳序列。提出了协整的概念及其方法。所谓协整,是指多个是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。目前,协整分析协整分析已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方已成为处理非平稳金融、经济变量相依关系的行之有效的方法。法。投资组合理论投资组合理论Ross套利定价理论套利定价理论衍生证券的定价理论衍生证券的定价理论二杈树模型二杈树模型Black-Sho