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1、第十章 概率论基础 以下将简单的介绍排列组合公式的计算，随机数的产生以及常见函数的概率密度的计算。1.1排列组合1阶乘：=factorial(n)【例1.1】计算3！ factorial(3)ans = 62组合：=nchoosek(n,k)【例1.2】计算 nchoosek(5,3)ans = 103排列：= nchoosek(n,k)* factorial(k)【例1.3】计算 nchoosek(5,3)* factorial(3)ans = 60也可自行编写程序：function y=pailie(n,k)y=nchoosek(n,k)* factorial(k); pailie(5,3
2、)y = 601.2随机数的产生1.2.1. 二项分布的随机数据的产生命令 生成参数为N，P的二项随机数据函数 binornd格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数。R = binornd(N,P,m) % 随机生成m行m列数据。R = binornd(N,P,m,n) % m,n分别表示R的行数和列数。【例1.4】 R=binornd(10,0.4)R = 4 R=binornd(10,0.4,3)R = 2 4 4 3 4 3 2 7 4 R=binornd(10,0.4,1,5)R = 3 5 6 5 5 R=bino
3、rnd(10,0.4,2,5)R = 4 1 4 3 4 7 6 6 4 2 1.2.2 正态分布的随机数据的产生命令 生成参数为、的正态分布的随机数据函数 normrnd格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。R = normrnd(MU,SIGMA,m) % 随机生成m行m列数据。R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) % m,n分别表示R的行数和列数。【例1.5】 R=normrnd(12,0.4,2,4) %mu为12，sigma为0.4的2行4列个正态随机数R =11.3319 11.
4、5149 12.2609 12.433112.1887 12.0265 12.1308 12.4024 R=normrnd(12,0.4,3)R = 12.8711 12.1765 12.0658 12.4554 11.4407 12.2991 11.0012 11.8980 11.89081.2.3常见分布的随机数产生函数常见分布的随机数函数的使用格式与上面相同，具体见表1.1表1.1 随机数产生函数表函数名调用形式注 释Unifrndunifrnd ( A,B,m,n)A,B上均匀分布(连续) 随机数Unidrndunidrnd(N,m,n)均匀分布（离散）随机数Exprndexprnd(
5、Lambda,m,n)参数为Lambda的指数分布随机数Normrndnormrnd(MU,SIGMA,m,n)参数为MU，SIGMA的正态分布随机数chi2rndchi2rnd(N,m,n)自由度为N的卡方分布随机数Trndtrnd(N,m,n)自由度为N的t分布随机数Frndfrnd(N1, N2,m,n)第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数gamrndgamrnd(A, B,m,n)参数为A, B的分布随机数betarndbetarnd(A, B,m,n)参数为A, B的分布随机数lognrndlognrnd(MU, SIGMA,m,n)参数为MU, SIGMA的对数正态分布
6、随机数nbinrndnbinrnd(R, P,m,n)参数为R，P的负二项式分布随机数ncfrndncfrnd(N1, N2, delta,m,n)参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数nctrndnctrnd(N, delta,m,n)参数为N，delta的非中心t分布随机数ncx2rndncx2rnd(N, delta,m,n)参数为N，delta的非中心卡方分布随机数raylrndraylrnd(B,m,n)参数为B的瑞利分布随机数weibrndweibrnd(A, B,m,n)参数为A, B的韦伯分布随机数binorndbinornd(N,P,m,n)参数为N, p的二项分布
7、随机数georndgeornd(P,m,n)参数为 p的几何分布随机数hygerndhygernd(M,K,N,m,n)参数为 M，K，N的超几何分布随机数Poissrndpoissrnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的泊松分布随机数根据表1-1，可方便的生成其他常用分布的随机数据，如： poissrnd(4,2,3) %生成参数为4的泊松分布2行3列的随机数组。ans = 5 5 3 3 5 21.2.4 通用函数求各分布的随机数据命令 求指定分布的随机数函数 random格式 y = random(name,A1,A2,A3,m,n) % name的取值见表1-1；如均匀分布名
8、为：unif,泊松分布名为：poiss,其他类似可知。函数名的字母大小写可任意。A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列【例1.6】 x=random(norm,1,0.5,2,5) % 产生10（2行5列）个均值为1，标准差为0.5的正态分布随机数x = 0.6745 0.5278 1.4624 0.9725 1.29731.1285 0.3391 1.0000 1.4556 1.1751 x=random(NOrM,1,0.5,2,5) % 函数名的字母大小写可任意。x = 1.0601 1.2064 1.3798 0.6980 0.8462 1.2856 0.5065 0.
9、6714 1.0885 0.9341 x=random(UNIf,1,4,2,5) % 产生均匀分布随机数组x = 1.2064 2.5926 2.2229 3.1551 2.5940 1.9588 2.9633 3.4599 3.9059 1.97541.3随机变量的概率密度计算1.3.1 通用函数计算概率密度函数值命令 通用函数计算概率密度函数值函数 pdf probability density function格式 Y=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)说明 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参
10、数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表1.2。表1.2 常见分布函数表name的取值函数说明beta或BetaBeta分布bino或Binomial二项分布chi2或Chisquare卡方分布exp或Exponential指数分布f或FF分布gam或GammaGAMMA分布geo或Geometric几何分布hyge或Hypergeometric超几何分布logn或Lognormal对数正态分布nbin或Negative Binomial负二项式分布ncf或Noncentral F非中心F分布nct或Noncentral t非中心t分布ncx2或Noncentral Chi-square
11、非中心卡方分布norm或Normal正态分布poiss或Poisson泊松分布rayl或Rayleigh瑞利分布t或TT分布unif或Uniform均匀分布unid或Discrete Uniform离散均匀分布weib或WeibullWeibull分布【例1.7】计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.5的密度函数值。解： pdf(norm,0.5,0,1)ans =0.3521【例1.8】 计算二项分布B(5,0.2)的随机变量在X=2处的概率。 pdf(bino,2,5,0.1)ans = 0.0729 nchoosek(5,2)*0.12*0.93 % 即pdf(bino,2,5,0
12、.1)=ans = 0.07291.3 .2 专用函数计算概率密度函数值命令 正态分布的概率值函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为=mu，=sigma的正态分布密度函数在K处的值命令 指数分布的概率值函数 exppdf(K,lamda) %计算参数为lamda的指数分布密度函数在K处的值命令 均匀分布的概率值函数 unifpdf (x, a, b) %计算a,b上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值命令 泊松分布的概率值函数 poisspdf格式 poisspdf(k, Lambda) % 等同于命令 二项分布的概率值函数 binopdf格式 binopdf (k,
13、 n, p) % 等同于， p 每次试验事件A发生的概率；K事件A发生K次；n试验总次数专用函数计算概率密度函数列表如表1.3。表1.3 专用函数计算概率密度函数表函数名调用形式注 释Unifpdfunifpdf (x, a, b)a,b上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值unidpdfUnidpdf(x,n)均匀分布（离散）概率密度函数值Exppdfexppdf(x, Lambda)参数为Lambda的指数分布概率密度函数值normpdfnormpdf(x, mu, sigma)参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值chi2pdfchi2pdf(x, n)自由度为n的卡方分布
14、概率密度函数值Tpdftpdf(x, n)自由度为n的t分布概率密度函数值Fpdffpdf(x, n1, n2)第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值gampdfgampdf(x, a, b)参数为a, b的分布概率密度函数值betapdfbetapdf(x, a, b)参数为a, b的分布概率密度函数值lognpdflognpdf(x, mu, sigma)参数为mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值nbinpdfnbinpdf(x, R, P)参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值Ncfpdfncfpdf(x, n1, n2, delta)参数为n1，n2，de
15、lta的非中心F分布概率密度函数值Nctpdfnctpdf(x, n, delta)参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值ncx2pdfncx2pdf(x, n, delta)参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值raylpdfraylpdf(x, b)参数为b的瑞利分布概率密度函数值weibpdfweibpdf(x, a, b)参数为a, b的韦伯分布概率密度函数值binopdfbinopdf(x,n,p)参数为n, p的二项分布的概率密度函数值geopdfgeopdf(x,p)参数为 p的几何分布的概率密度函数值hygepdfhygepdf(x,M,K,N)参数为 M
16、，K，N的超几何分布的概率密度函数值poisspdfpoisspdf(x,Lambda)参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值【例1.9】 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为2、8、20的图形 x=0:0.1:50; %对x进行赋值 y1=chi2pdf(x,2); plot(x,y1,:) hold on % 图形保持开关开启。 y2=chi2pdf(x,8);plot(x,y2,+) y3=chi2pdf(x,20);plot(x,y3,o) axis(0,50,0,0.2) %指定显示的图形区域则图形为图1.1。图1.11.3.3 常见分布的密度函数作图以下将分别给出几种常见分布的
17、密度函数的图形描绘。1二项分布、泊松分布【例1.10】x1 = 0:10;y1 = binopdf(x1,10,0.4);subplot(1,2,1);plot(x1,y1,+)x2 = 0:15;y2 = poisspdf(x2,6);subplot(1,2,2);plot(x2,y2,+)图1.2 2指数分布、正态分布【例1.11】x1 = 0:0.1:15;y1 = exppdf(x1,3); subplot(1,2,1);plot(x1,y1)x2=-3:0.15:3;y2=normpdf(x2,0,1); subplot(1,2,2);plot(x2,y2) 图1.33分布、卡方分布
18、【例1.12】x= gaminv(0.005:0.01:0.995),100,10);y = gampdf(x,100,10);y1 = normpdf(x,1000,100); subplot(1,2,1);plot(x,y,-,x,y1,-.) xx = 0:0.1:20;yy = chi2pdf(xx,5); subplot(1,2,2);plot(xx,yy) 图1.44T分布、F分布【例1.13】x = -4:0.1:4;y = tpdf(x,6);z = normpdf(x,0,1);subplot(1,2,1);plot(x,y,-,x,z,-.)xx = 0:0.01:10;y
19、y = fpdf(xx,5,3);subplot(1,2,2);plot(xx,yy)图1.5 随机变量的累积概率值和逆累积概率值的计算往往都需要查表计算，而教科书上的分布表的篇幅十分有限，对更多的结果无从查起，而MATLAB可以完整的计算所需的数据所有结果，以下将分别介绍。2.1随机变量的累积概率值2.1.1 通用函数计算累积概率值命令 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）函数 cdf cumulative distribution function格式 说明 返回以name为分布、随机变量XK的概率之和的累积概率值，name的取值见第一章中的表1-2 常见分布函数表【例2
20、.1】 求自由度为20的t分布随机变量落在X cdf(t,2,20)ans = 0.9704【例2.2】 求标准正态分布随机变量X落在区间(-，0.8)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。解： cdf(norm,0.8,0,1)ans = 0.78812.1.2 专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）命令 正态分布的累积概率值函数 normcdf格式 normcdf() %返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数【例2.3】 设XN（1, 22）求解 p1= p2=则有：p1=normcdf(5,1,2)-normcdf(2,1,2)p1 = 0.2
21、858p2=normcdf(10,1,2)-normcdf(-4,1,2)p2 = 0.9938命令 二项分布的累积概率值函数 binocdf格式 binocdf (k, n, p) %n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。命令 泊松分布的累积概率值函数 poisscdf格式 poisscdf (k, lamda) 参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=PXx【例2.4】已知随机变量X服从参数lamda=4的泊松分布，试求PX5 poisscdf (5, 4)ans = 0.7851专用函数
22、计算累积概率值函数列表如表2.1。表2.1 专用函数的累积概率值函数表函数名调用形式注 释unifcdfunifcdf (x, a, b)a,b上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=PXxunidcdfunidcdf(x,n)均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=PXx expcdfexpcdf(x, Lambda)参数为Lambda的指数分布累积分布函数值 F(x)=PXxnormcdfnormcdf(x, mu, sigma)参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=PXxchi2cdfchi2cdf(x, n)自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=PXx
23、tcdftcdf(x, n)自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=PXxfcdffcdf(x, n1, n2)第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值gamcdfgamcdf(x, a, b)参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=PXxbetacdfbetacdf(x, a, b)参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=PXxlogncdflogncdf(x, mu, sigma)参数为mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值 nbincdfnbincdf(x, R, P)参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=PXxncfcdfncfc
24、df(x, n1, n2, delta)参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值 nctcdfnctcdf(x, n, delta)参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值 F(x)=PXxncx2cdfncx2cdf(x, n, delta)参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值raylcdfraylcdf(x, b)参数为b的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=PXxweibcdfweibcdf(x, a, b)参数为a, b的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=PXxbinocdfbinocdf(x,n,p)参数为n, p的二项分布的累积分布函数值 F(x
25、)=PXxgeocdfgeocdf(x,p)参数为 p的几何分布的累积分布函数值 F(x)=PXxhygecdfhygecdf(x,M,K,N)参数为 M，K，N的超几何分布的累积分布函数值 poisscdfpoisscdf(x,Lambda)参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=PXx说明 累积概率函数就是分布函数F(x)=PXx在x处的值。2.2逆累积分布函数值的计算MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。类似于累积分布函数的计算，逆累积分布函数值的计算也有两种方法2.2.1 通用函数计算逆累积分布函数值命令 icdf 计算逆累积分布函数 inverse cumula
26、tive distribution function格式 说明 返回分布为name，参数为，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表2-1相同。如果，则【例2.5】 在标准正态分布表中，若已知=0.95，求x解： x=icdf(norm,0.95,0,1)x = 1.6449【例2.6】 在分布表中，若自由度为15，=0.95，求临界值Lambda。解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数icdf求满足的临界值。所以，这里的取为0.05，即 Lambda=icdf(chi2,0.05,15)Lambda = 7.2609【例2.7】 在假设检验中，求临界值问题：已知：，查自由度为20的双
27、边界检验t分布临界值lambda=icdf(t,0.025,20)lambda = -2.08602.2.2 专用函数-inv计算逆累积分布函数关于常用临界值函数可查下表2.2。表2.2 常用临界值函数表函数名调用形式注 释unifinvx=unifinv (p, a, b)均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=PXx，求x）unidinvx=unidinv (p,n)均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值expinvx=expinv (p, Lambda)指数分布逆累积分布函数norminvx=Norminv(x,mu,sigma)正态分布逆累积分布函数chi2invx=chi2inv (
28、x, n)卡方分布逆累积分布函数tinvx=tinv (x, n)t分布累积分布函数finvx=finv (x, n1, n2)F分布逆累积分布函数gaminvx=gaminv (x, a, b)分布逆累积分布函数betainvx=betainv (x, a, b)分布逆累积分布函数logninvx=logninv (x, mu, sigma)对数正态分布逆累积分布函数 nbininvx=nbininv (x, R, P)负二项式分布逆累积分布函数ncfinvx=ncfinv (x, n1, n2, delta)非中心F分布逆累积分布函数 nctinvx=nctinv (x, n, delta
29、)非中心t分布逆累积分布函数ncx2invx=ncx2inv (x, n, delta)非中心卡方分布逆累积分布函数raylinvx=raylinv (x, b)瑞利分布逆累积分布函数weibinvx=weibinv (x, a, b)韦伯分布逆累积分布函数binoinvx=binoinv (x,n,p)二项分布的逆累积分布函数geoinvx=geoinv (x,p)几何分布的逆累积分布函数hygeinvx=hygeinv (x,M,K,N)超几何分布的逆累积分布函数 poissinvx=poissinv (x,Lambda)泊松分布的逆累积分布函数【例2.8】已知，求U解：因为标准正态分布为
30、对称分布，由，可以得出所以，则有U=norminv(0.975, 0, 1)，回车可得：U = 1.9600 数据分布的特征主要从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的程度，三是分布的形状，反映数据分布偏斜程度和峰度。以下将分别介绍其求解。3.1 平均值、中值命令 利用mean求算术平均值格式 mean(X) %X为向量，返回X中各元素的平均值mean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的平均值构成的向量mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值说明 X为向量时，算术平均值的数学含义是，即样本均值。
31、【例3.1】 X=1 2 3 4 5 6;mean(X)ans =3.5000 A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 mean(A) % dim缺省时意味着计算各列的平均值；等同于mean(A,1)ans = 7 8 9 10 mean(A,2) %计算各行的平均值ans = 2.5000 6.5000 10.5000 14.5000命令 利用median计算中值（中位数）格式 median(X) %X为向量，返回X中各元素的中位数。median(A) %A为矩阵，返回
32、A中各列元素的中位数构成的向量。median(A,dim) %求给出的维数内的中位数【例3.2】 A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 median(A) % dim缺省时意味着计算各列的中位数值；等同于median(A,1)ans = 7 8 9 10 median(A,2) %在各行上求中位数ans = 2.5000 6.5000 10.5000 14.5000命令 利用harmmean求调和平均值格式 M=harmmean(X) %X为向量，返回X中各元素的调和平
33、均值。 M=harmmean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的调和平均值构成的向量。说明 调和平均值的数学含义是，其中：样本数据非0，主要用于严重偏斜分布。【例3.3】 A=4 3 4 8;2 8 4 7;7 3 10 5A = 4 3 4 8 2 8 4 7 7 3 10 5 M=harmmean(A)M = 3.3600 3.7895 5.0000 6.4122命令 利用geomean计算几何平均数格式 M=geomean(X) %X为向量，返回X中各元素的几何平均数。 M=geomean(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的几何平均数构成的向量。说明 几何平均数的数学含义是，其中：样
34、本数据非负，主要用于对数正态分布。【例3.4】 A=2 3 4 5;2 5 4 6;1 3 7 5A = 2 3 4 5 2 5 4 6 1 3 7 5 M=geomean(A)M = 1.5874 3.5569 4.8203 5.31333.2 数据比较命令 排序格式 Y=sort(X) %X为向量，返回X按由小到大排序后的向量。 Y=sort(A) %A为矩阵，返回A的各列按由小到大排序后的矩阵。 Y,I=sort(A) % Y为排序的结果，I中元素表示Y中对应元素在A中位置。sort(A,dim) %在给定的维数dim内排序说明 若X为复数，则通过|X|排序。【例3.5】 A=5 2 9
35、;40 15 2;31 7 10A = 5 2 9 40 15 231 7 10 Y,I=sort(A)Y = 5 2 2 31 7 9 40 15 10I = 1 1 2 3 3 1 2 2 3命令 求最大值与最小值之差函数 range格式 Y=range(X) %X为向量，返回X中的最大值与最小值之差。 Y=range(A) %A为矩阵，返回A中各列元素的最大值与最小值之差。【例3.6】 A=11 20 3;42 50 2;3 7 10A = 11 20 3 42 50 2 3 7 10 Y=range(A)Y = 39 43 83.3 期望命令 计算样本均值函数 mean格式 用法与前面
36、一样【例3.7】 随机抽取7个圆环测得直径如下：（直径：cm）11.70 12.21 11.19 11.12 12.23 13.56 14.32试求样本平均值解：X=11.70 12.21 11.19 11.12 12.23 13.56 14.32;mean(X) %计算样本均值则结果如下：ans = 12.3329命令 由分布律计算均值可以利用sum函数间接进行计算【例3.8】 设随机变量X的分布律为：X-3-2-123P0.30.20.20.20.1求E (X) E(X2+1)解：在Matlab编辑器中建立M文件如下：X=-3 -2 -1 2 3;p=0.3 0.2 0.2 0.2 0.1
37、;EX=sum(X.*p)Y=X.2+1;EY=sum(Y.*p)运行后结果如下：EX = -0.8000EY = 6.40003.4 方差、偏度、峰度命令 求样本方差函数 var格式 D=var(X) %var(X)=,若X为向量，则返回向量的样本方差。 D=var(A) %A为矩阵，则D为A的列向量的样本方差构成的行向量。D=var(X, 1) %返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为的方差）D=var(X, w) %返回向量（矩阵）X的以w为权重的方差命令 求标准差函数 std 格式 std(X) %返回向量（矩阵）X的样本标准差（置前因子为）即：std(X,1) %返回向量（矩阵）
38、X的标准差（置前因子为）std(X, 0) %与std (X)相同std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为dim的标准差值，其中flag=0时，置前因子为；否则置前因子为。【例3.9】 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差11.70 12.21 11.19 11.12 12.23 13.56 14.32解： X=11.70 12.21 11.19 11.12 12.23 13.56 14.32;DX=var(X,1) % 总体方差 DX = 1.2368sigma=std(X,1) %总体标准差sigma = 1.1121DX1=var(X) %样本方差， 等同
39、于DX1=var(X,0)DX1 = 1.4430sigma1=std(X) %样本标准差， 等同于sigma1=std(X,0) sigma1 = 1.2012 A=randn(4,5)A = 0.5377 0.3188 3.5784 0.7254 -0.1241 1.8339 -1.3077 2.7694 -0.0631 1.4897 -2.2588 -0.4336 -1.3499 0.7147 1.4090 0.8622 0.3426 3.0349 -0.2050 1.4172 std(A, 0, 1) %按列计算样本标准差ans = 1.7569 0.7801 2.2639 0.4965 0.7822 std(A, 0, 2) %按行计算样本标准差ans = 1.4718 1.6207 1.4894 1.2427