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1、第一章 集合与命题 考点综述集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件 考点1 集合的概念及相应关系典型考法1 与含参数的方程有关的集合问题 已知集合(1)若A是空集，试求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多
2、只有一个元素，求a的取值范围必杀技：用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题一般地，对于集合，其中，均为实数，当a0时，是一元二次方程的根的集合须注意：若求非空集合中的元素之和，则应分与这两种情形，具体为(1)若，则有两个不等的实根，于是，非空集合中的元素之和为；(2)若，则有两个相等的实根，于是，非空集合中的元素之和为实战演练1 已知为单元素集，则实数的取值的集合为 2设A=xx2+(b+2)x+b+1=0，bR，求A中所有元素的和3对于函数f(x)，设，(1) 求证：；(2) 若，且，求a的取值范围典型考法2 集合对某种运算的封闭性 典型例题设(1)属于的两个整数，其积是否仍属于，为什么
3、？(2)、是否属于，请说明理由必杀技 深刻理解集合中的元素所具有的性质1要证明 ，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式2要证明，通常用反证法实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意均为中的元素，而不是中的元素实战演练1设非空集合满足：当时，有给出如下三个命题：若，则；若，则；若，则其中正确命题的个数是（）.A0 B1 C2 D32已知(1)如果，那么是否为的元素，请说明理由；(2)当且时，证明：可表为两个有理数的平方和3已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（I）检验集合与是否具有性质并对
4、其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论 考点2 子集、集合中的图形典型考法1 子集典型例题设为集合的子集，且，若，则称为集合的元“好集”(1)写出实数集的一个二元“好集”；(2)求出正整数集的所有三元“好集”；(3)证明：不存在正整数集的元“好集”必杀技 充分利用所给条件1深刻理解概念并其中所给出条件；2在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏是的一种情况实际上，在本例中也不存在正整数集的二元“好集”，读者可自行完成期证明过程实战演练1若规定=的子集为的第个子集，其中，则(1)是E的第 个子集； (2)的第211个子集
5、是 2已知集合，当时，则实数的取值范围是 3设全集为，集合满足则与的关系为 典型考法2 集合中的图形典型例题设，问是否存在实数，使得同时满足，且 必杀技： 充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系 本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比另法一：假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由满足得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n = m且na+b=3m2+15，消去m得na+b-(3n2+15)=0，即3n2- an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-1800，由此得，12b-180；又得
6、，a2+ b2144，故，即12b-180，所以(b-6)20，从而b=6，现将b=6代入中得a2108，再代入a2+ b2144中得，a210因此，只有a2=108，即a=，最后将a=及b=6代入方程3n2-an-(b-15)=0得，3n2n+9=0，即n2n+3=0，所以有综上所述，不存在实数a ，b使得同时满足，另法二：假设存在实数a ，b使得同时满足与且，由得，存在整数m与n使得(n,na+b)=(m,3m2+15)，即n = m且na+b=3m2+15，即()，又得，a2+ b2144，将()代入a2+ b2144，得，将其看着关于的一元二次不等式，又，注意到，故，不等式无实数解，即
7、这样的实数不存在，综上所述，不存在实数a ，b使得同时满足，实战演练1设集合，集合，且与是方程的两个实根，则 2向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？3设集合，集合，集合，是否存在，使得？若存在，则求出，的值；若不存在，请说明理由典型考法 一元二次不等式典型例题设为实常数，函数(1)当时，试求实数的取值范围；(2)当时，求在上的最小值；当时，试写出的最小值(3)当时，直接写出(不
8、需给出演算步骤)不等式的解集必杀技：利用三个“二次”的关系，注意分类讨论1解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程，保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解，这体现了转化与化归的数学思想2解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确3一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型一元二次不等式与相应的函数，方程紧密联系求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集一元二次方程，设，它的解按照，可分为三种情况相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况因此，我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，如图2-2-1实战演练1若关于的不等式有唯一实数解，则实数 2关于x的不等式组的整数解的集合为2，则实数k的取值范围是 3要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式和 中的一个，求实数的取值范围