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1、博大教育个性化教案1 第一章集合与命题考点综述集合与命题是高中数学的基石，高考对这部分知识的考查主要有三个方面：一是集合的概念、关系和运算；二是集合语言与集合思想的运用（如求方程与不等式的解集、函数的定义域和值域等）；三是命题之间的逻辑关系的判断和推理此外与集合有关的信息迁移题、集合与其他知识相结合的综合题都值得高度关注.考查重点是集合与集合之间的关系、条件的判断.其核心考点有：集合的概念及相应关系，集合的运算，命题及充要条件考点 1 集合的概念及相应关系典型考法 1 与含参数的方程有关的集合问题已知集合2|320Ax axxx aR， ，(1)若 A 是空集，试求a 的取值范围；(2)若 A
2、 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若 A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围必杀技：用分类讨论的方法解决集合中含参数的方程问题一般地，对于集合2|0 x axbxcxR，其中a，b，c均为实数，当 a0 时，2|0 x axbxcxR，是一元二次方程20axbxc的根的集合须注意：若求非空集合2|0 x axbxcxR，中的元素之和，则应分0与0这两种情形，具体为(1)若0，则20axbxc有两个不等的实根，于是，非空集合2|0 x axbxcxR，中的元素之和为ba；(2)若0，则20axbxc有两个相等的实根，于是，非空集合2|0 x axbxcxR，中的元素之和为
3、2ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案2 实战演练1 已知2|12xaAxxRx，为单元素集，则实数a的取值的集合为2设 A= xx2+(b+2)x+b+1=0，b R ，求 A 中所有元素的和3对于函数f(x)，设|( )Axf xx，|( )Bxff xx(1) 求证：AB；(2) 若2( )1(,)f xaxaR xR，且AB，求 a的取值范围典型考法 2 集合对某种运算的封闭性典型例题设
4、22|Ma axyxyZ， ，(1)属于M的两个整数，其积是否仍属于M，为什么？(2)8、9、10是否属于M，请说明理由必杀技深刻理解集合中的元素所具有的性质1要证明0 xM，通常应是将运算后得到的结果化为集合中元素所有的特征形式2要证明0 xM，通常用反证法实际上，本题还可得到进一步的结果：对任意441 43nZnnn，均为M中的元素，而42n不是M中的元素名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案3
5、实战演练1 设非空集合|Sx mxl满足：当xS时，有2xS给出如下三个命题：若1m，则1S； 若12m， 则114l； 若12l， 则202m 其 中 正 确 命 题 的 个 数是,（）. A0 B1 C2 D 32已知22|Sx xmnm nZ， ，(1)如果s tS、，那么s t是否为S的元素，请说明理由；(2)当stS、且0t时，证明：st可表为两个有理数的平方和3已知集合12(2)kAaaak， ，其中(1 2)iaikZ， ，由A中的元素构成两个相应的集合：()Sa b aA bA abA，()Ta b aA bA abA，其中()ab，是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和
6、n若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有性质P（I）检验集合0 12 3， ，与1 2 3，是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（II）对任何具有性质P的集合A，证明：(1)2k kn；（III ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案4 考点 2 子集、集合中的图形典型考法 1 子集典型例题设A为集合M的子集，且12(2)nAa aa
7、nNn， ， ，若1212nnaaaaaa，则称A为集合M的n元“好集”(1)写出实数集R的一个二元“好集”；(2)求出正整数集N的所有三元“好集”；(3)证明：不存在正整数集N的(4)n n元“好集”必杀技充分利用所给条件1深刻理解概念并其中所给出条件；2ABAABABB在含参数的集合的问题中，往往不能遗漏A是AB的一种情况实际上，在本例中也不存在正整数集N的二元“好集”，读者可自行完成期证明过程实战演练1 若 规 定E=1210,aaa的 子 集12,niiiaaa为E的 第k个 子 集 ， 其 中31211112222niiiik，则(1)13,aa是 E 的第个子集；名师资料总结 -
8、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案5 (2)E的第 211个子集是2已知集合22|60Ax xaxaxR，|2|BxxaxR，当BA时，则实数a的取值范围是3设全集为U，集合ABX， ，满足AXBXAB ABXAB，则X与AB的关系为典型考法 2 集合中的图形典型例题设() |Axyxnynab nZ，2()|3(5)Bxyxm ymmZ，22() |144Cxyxy，问是否存在实数ab，使得同时满足AB，且()a
9、 bC，必杀技：充分挖掘并利用集合中隐藏着的图形关系本例首先将条件化简，使得相关元素的图形特征更明朗本题也可从代数运算的角度求解，现介绍两种方法，读者可作对比另法一：假设存在实数a ，b 使得同时满足与AB且()a bC，由满足AB得，存在整数 m 与 n 使得 (n,na+b)=( m,3m2+15)， 即 n = m 且 na+b=3m2+15， 消去 m 得 na+b-(3n2+15)=0， 即 3n2- an-b+15=0，于是，它的判别式非负，即a2+12b-1800 ，由此得，12b-1802a；又()a bC，得， a2+ b2 144 ，故12180b2a2144b，即 12b
10、-1802144b，所以 (b-6)20 ，从而 b=6，现将 b=6 代入212180ba中得 a2 108 ，再代入a2+ b2 144 中得， a2 10因此，只有a2=108，即 a=6 3，最后将 a=6 3及 b=6 代入方程3n2-an-(b-15)=0 得， 3n26 3n+9=0，即 n22 3n+3=0，所以有3nZ综上所述，不存在实数 a ，b 使得同时满足AB，()a bC，另法二：假设存在实数a ，b 使得同时满足与AB且()a bC，由AB得，存在整数m与 n 使得 (n,na+b)=(m,3m2+15)，即 n = m 且 na+b=3m2+15，即2315bnn
11、a,()，又()a bC，得，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案6 a2+ b2 144 ，将 ()代入 a2+ b2 144 ，得222(315)144anna2222(1)2 (315)(315)1440nannan， 将其看着关于a的一元二次不等式，又222224(315)4(1)(315)144nnnn2236(3)n，nZ，0，注意到210n，故，不等式2222(1)2 (315)(31
12、5)1440nannan无实数解，即这样的实数a不存在，综上所述，不存在实数a ，b 使得同时满足AB，()a bC，实战演练1设集合|211 Axxx或，集合12|Bx xxx，且1x与2x是方程20 xaxb的两个实根，|2|13ABx xABxx，则ab2向 50 名学生调查对A、 B 两事件的态度，有如下结果赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对A、B 都不赞成的学生数比对A、B 都赞成的学生数的三分之一多1 人问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？3 设 集 合2 () |10 Axyyx， 集 合2
13、 () | 42250 Bxyxxy， 集 合 () |Cxyyk xb，是否存在k，bN，使得()ABC？若存在，则求出k，b的值；若不存在，请说明理由典型考法一元二次不等式典型例题设a为实常数，函数22() |yxxaxa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案7 (1)当0 x时，1y，试求实数a的取值范围；(2)当1a时，求y在)a，上的最小值；当aR时，试写出y的最小值(3)当()xa，时，直
14、接写出(不需给出演算步骤)不等式1y的解集必杀技：利用三个“二次”的关系，注意分类讨论1解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程，保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解，这体现了转化与化归的数学思想2解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确3一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型一元二次不等式与相应的函数，方程紧密联系求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集， 要结
15、合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集一元二次方程20axbxc(0)a，设24bac，它的解按照0，0，0可分为三种情况相应地，二次函数2yaxbxc (0)a的图象与x轴的位置关系也分为三种情况因此，我们常分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集，如图2-2-1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案8 实战演练1若关于x的不等式2212kxkx有唯一实数解，
16、则实数k2 关于x 的不等式组22202(25)50 xxxkxk，的整数解的集合为 2 ，则实数k 的取值范围是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 博大教育个性化教案9 3 要 使 满 足 关 于x的 不 等 式2290 xxa（ 解 集 非 空 ） 的 每 一 个x的 值 至 少 满 足 不 等 式2430 xx和2680 xx中的一个，求实数a的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -