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1、第第9 9章扭转章扭转.9-1 9-1 扭转外力和内力计算扭转外力和内力计算一、工程实例一、工程实例1.1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；2.2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。受力特点：受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：变形特点：Me Me 实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。弯曲、拉压等其他变形。二、外力偶矩二、外力偶矩 内力内力扭矩扭
2、矩、传动轴的外力偶矩、传动轴的外力偶矩传动轴的转速传动轴的转速n；某一轮上某一轮上所传递的功率所传递的功率P(kW)作用在该轮上的外力偶矩作用在该轮上的外力偶矩Me。已知：已知：求：求：一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所作的功：作的功：Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮传动轮的转速传动轮的转速n、功率、功率P 及其上的外力偶矩及其上的外力偶矩Me之之间的关系：间的关系：主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同，从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
3、Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号用符号T表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。11TMe Me ABAMe 11x扭矩的符号规定扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。轴线各横截面上扭矩的变化情况。TTT(+)T(-)Me T图图+例例 9-1 一传动轴
4、如图，转速一传动轴如图，转速n=300r/min；主动轮输主动轮输入的功率入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别，三个从动轮输出的功率分别为：为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22x扭矩图扭矩图Tmax=9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD6.374.789.56M
5、T图(kNm)9-2 9-2 等直圆杆扭转时的应力与变形等直圆杆扭转时的应力与变形一、扭转变形的实验观察与分析一、扭转变形的实验观察与分析观察发现：观察发现：（1 1）、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、）、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变形状、间距都未变,只是均绕着只是均绕着x x轴转动了不同的角度，称其轴转动了不同的角度，称其为扭转角，用为扭转角，用 表示；表示；（2 2）、纵向线倾斜了同一个角度）、纵向线倾斜了同一个角度g，表面上所有矩形均变成，表面上所有矩形均变成平行四边形平行四边形。受扭时变形情况：受扭时变形情况：gjABDCMe Me gABC
6、 D B1A1D1 C1 DD1C1C根据表面变形现象，推测其内部变形情况作出如下根据表面变形现象，推测其内部变形情况作出如下假设：假设：1 1、横截面变形前是平面，变形后仍保持平面，如同、横截面变形前是平面，变形后仍保持平面，如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。刚性平面一样绕杆的轴线转动。平面假设平面假设2 2、圆周线的间距没有变化，说明杆无轴向伸长或缩、圆周线的间距没有变化，说明杆无轴向伸长或缩短，即横截面上无正应力。短，即横截面上无正应力。3 3、所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同，说明横截、所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同，说明横截面的圆周线上各点的切应力均相等。面的圆周线上各点的切应力均相
7、等。4 4、圆周线形状大小无变化，可见圆周线半径不变，、圆周线形状大小无变化，可见圆周线半径不变，由于圆轴表面无切应力，由切应力互等定律可知，由于圆轴表面无切应力，由切应力互等定律可知，横截面上径向切应力为零。故横截面内各点的切应横截面上径向切应力为零。故横截面内各点的切应力方向均垂直于半径。力方向均垂直于半径。djgDGGEO1O2DAgrrdxdjgDGGETTO1O2ababdxDAgrrd二、圆杆扭转时横截面上的切应力计算式二、圆杆扭转时横截面上的切应力计算式横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律即即相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对
8、扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量定的横截面为常量djgDGGETTO1O2ababdxDAgrrdjgDGGEO1O2DAgrrdxd钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为：这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量t p剪切屈服极限剪切屈服极限剪切胡克定律剪切胡克定律称为横截面称为横截面的的极惯性矩极惯性矩令令得得trdA trdA rrrOT等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式trOdrtmaxtmaxT发生在横截面周边上各点处。发生在横截面周边上各点处。称为称为扭转扭转截面系数截面系数最大切应力最大切
9、应力tmaxtmax令令即即OdrtrT上述公式同样适用于空心圆截面杆受扭的情形上述公式同样适用于空心圆截面杆受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr三、扭转时的变形三、扭转时的变形两个横截面的两个横截面的相对扭转角相对扭转角j扭转角沿杆长的变化率扭转角沿杆长的变化率相距相距d x 的微段两端截面间的微段两端截面间相对扭转角为相对扭转角为gMe Me jdjgDTTO1O2ababdxDA等直圆杆仅两端截面受外力偶矩等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时作用时称为等直圆杆的称为等直圆杆的扭转刚度扭转刚度相距相距l 的两横截面间相对扭转角为的两横截面间相对扭转角为gMe Me j(单位：单位
10、：rad)（四）圆截面的极惯性矩（四）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数Wp实心圆截面：实心圆截面：Odrrd空心圆截面：空心圆截面：DdrrOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面DdrrOd此处为以横截面、径截面以及与表面平此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体微小的正六面体（五）单元体（五）单元体切应力互等定理切应力互等定理单元体单元体Me Me xyzabOcddxdydztttt自动满足自动满足存在存在t得得 单元体的两个相互垂直单元体的两个相互垂直的截面上，与该两个面的交的截面上，与该两
11、个面的交线垂直的切应力数值相等，线垂直的切应力数值相等，且均指向且均指向(或背离或背离)两截面两截面的交线。的交线。切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcttttxyzabOcddxdydztttt例例9-2 实心圆截面轴实心圆截面轴和空心圆截面轴和空心圆截面轴(a=d2/D2=0.8)的材料、扭转力偶矩的材料、扭转力偶矩 Me 和长度和长度l 均相同。试求在两圆轴均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，横截面上最大切应力相等的情况下
12、，D2/d1之比以及两轴之比以及两轴的重量比。的重量比。(a)Me Me d1lMe(b)Me lD2d2解：解：已知已知得得两轴的重量比两轴的重量比可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。讨论：讨论：为什么说为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？件？一、圆杆扭转的强度条件一、圆杆扭转的强度条件等直圆轴等直圆轴材料的许用切应力材料的许用切应力9-39-3 圆杆扭转时的强度与刚度计算圆杆扭转时的强度与刚度计算二、圆杆扭转时的刚度条件二、圆杆扭转时的刚度条件等直圆杆在扭转时的刚度条件：等直圆杆在扭转时的刚度条件：对于精密机器的轴对于
13、精密机器的轴对于一般的传动轴对于一般的传动轴常用单位：常用单位：/m例例9-3 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径 d1=120mm，BC段直径段直径 d2=100mm。扭转力偶矩。扭转力偶矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力材料的许用切应力t =80MPa，试校核该轴的强度。，试校核该轴的强度。解：解：1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段AB段段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214
14、T图（kNm）例例9-4 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592Nm,M2=955 Nm，M3=637 Nm，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量，钢的切变模量G=80GPa。求横截面求横截面C相对于相对于B的扭转角的扭转角jCB。解：解：1、先用截面法求各段轴的扭矩：先用截面法求各段轴的扭矩：BA段段AC段段M1M3 BACM2 dlABlAC2、各段两端相对扭转角：各段两端相对扭转角：M1M3 BACM2 dlABlAC3、横截面横截面C相对于相对于B的扭转角：的扭转角：M1M3 BACM2 dlABlAC例例9-5 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比径之比a=0.5。已知材料的许用切应力。已知材料的许用切应力t =40MPa，切变模量，切变模量G=80GPa。轴的横截面上最大扭矩为。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角，轴的许可单位长度扭转角j=0.3/m。试选择轴的直径。试选择轴的直径。解：解：1、按强度条件确定外直径、按强度条件确定外直径D2、由刚度条件确定所需外直径、由刚度条件确定所需外直径D3、确定内外直径、确定内外直径结束结束