第6章-鞅.ppt

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1、第第6 6章章-鞅鞅第一节第一节 基本概念基本概念一、离散鞅的定义及性质一、离散鞅的定义及性质（1）（2）离散鞅序列离散鞅序列简称为鞅简称为鞅定义定义1 1 若随机序列若随机序列 对任意对任意 有有则称则称 Xn为为注：注：如果如果Xn为鞅，则它有某种无后效性为鞅，则它有某种无后效性,即当已即当已鞅的直观背景解释：鞅的直观背景解释：设想赌徒在从事赌博过程中，他在第设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n次的赌本为次的赌本为Xn 表示在已知前表示在已知前n次的赌本次的赌本X0,Xn,的的条件下，第条件下，第n+1次的平均赌本。次的平均赌本。而鞅而鞅 则表示这种赌博使第则表示这种赌博使第n+1次的次的平

2、均赌本仍为第平均赌本仍为第n次的赌本，这种赌博称为次的赌本，这种赌博称为公平赌博。公平赌博。知时刻知时刻n以及它以前的值以及它以前的值 X0,Xn,那么那么n+1时刻的时刻的值值 Xn+1对对 X0,X1,Xn的条件期望与时刻的条件期望与时刻n以前的以前的值值 X0,Xn-1无关，并且等于无关，并且等于 Xn 。定义定义2 设设Xn及及Yn，n=0,1,2,，为两个随机序列，为两个随机序列，若对任意若对任意n0，有，有（1）（2）简称简称 为鞅。为鞅。（3）Xn是是Y0,Yn的函数；的函数；则称则称 Xn 关于关于 Yn是鞅，是鞅，例例 公平赌博公平赌博考虑一个赌博者正在进行的一系列赌博考虑一

3、个赌博者正在进行的一系列赌博-赌博者在第赌博者在第n次赌博时赢次赌博时赢-赌博者在第赌博者在第n次赌博时输次赌博时输-第第n次赌注次赌注X0是初始赌资，则赌博者第是初始赌资，则赌博者第n次赌博后的赌资为次赌博后的赌资为则则即即Xn 关于关于 Yn是鞅。是鞅。Yn独立同分布，且独立同分布，且 定理定理1 Xn 关于关于 Yn是鞅的充要条件为对任意是鞅的充要条件为对任意充分性显然充分性显然证证必要性用归纳法来证必要性用归纳法来证 由假设知当由假设知当m=n+1时（时（1）成立）成立,设当设当m=n+k（k1）（1）非负整数非负整数m，n（mn）有）有时（时（1）成立，则有）成立，则有即当即当m=k

4、+k+1时（时（1）成立。）成立。性质性质1常数序列常数序列 为鞅。其中为鞅。其中cn=c.证证性质性质2 若若Xn为鞅，则对任意为鞅，则对任意 ，有，有即即 Xn的数学期望的数学期望EXn是一常数是一常数 EX0 .证证依次递推，可得依次递推，可得（1）（2）简称简称 为上鞅。为上鞅。（3）二、上、下鞅的定义及性质二、上、下鞅的定义及性质类似类似下鞅下鞅定义定义3 设设Xn及及Yn，n=0,1,2,，为两个随机序列，为两个随机序列，若对任意若对任意n0，有，有 Xn是是Y0,Yn的函数；的函数；则称则称 Xn 关于关于 Yn为上鞅，为上鞅，关于上、下鞅的的直观解释：关于上、下鞅的的直观解释：

5、上鞅表示第上鞅表示第n+1年的平均赌本不多于第年的平均赌本不多于第n年的年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；下鞅表示第下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第年的平均赌本不少于第n年的年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。性质性质3 Xn为鞅的充分必要条件是，为鞅的充分必要条件是，Xn既为上鞅既为上鞅也为下鞅。也为下鞅。性质性质4 上鞅上鞅 下鞅下鞅 下鞅下鞅 上鞅上鞅性质性质5 上鞅上鞅 下鞅下鞅证明证明同定理同定理1类似。用数学归纳法类似。用数学归纳法性质性质6 上鞅上鞅 下鞅下鞅 上鞅上鞅性

6、质性质7 、上鞅上鞅 下鞅下鞅 、下鞅下鞅 上鞅上鞅性质性质8 上鞅上鞅 下鞅下鞅 下鞅下鞅 下鞅下鞅 上鞅上鞅性质性质9 鞅鞅 下鞅下鞅证明证明例例1 设设 Yn，n=0,1,2,，为独立随机序列，为独立随机序列，Y0=0且对任意且对任意n0 有有 ，令，令证证由条件期望的性质可得由条件期望的性质可得且且所以，所以，Xn 关于关于 Yn是鞅。是鞅。则则 Xn 关于关于 Yn是鞅。是鞅。例例2 在例在例1中，若中，若 ，则，则 关于关于 是下（上）鞅。但是，是下（上）鞅。但是，关于关于 是鞅。是鞅。证明证明 因为因为所以，所以，关于关于 是下鞅是下鞅.又又所以，所以，关于关于 是鞅。是鞅。例例

7、3令证证（1）（2）所以例例4设 ，是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵 满足其中其中则（1）（2）（3）证证设其中所以故下鞅00=0上鞅 鞅 例例 5 （波利亚（波利亚（Polya）坛子抽样模型）考虑一个装有）坛子抽样模型）考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中红黄两色球各一个，红、黄两色球的坛子。假设最初坛子中红黄两色球各一个，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果取出的是红色每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果取出的是红色球，则放回的同时再加入一个同色的球；如果取出的是黄球，则放回的同时再加入一个同色的球；如果取出的是黄色

8、球，也采取同样作法。以色球，也采取同样作法。以Xn表示第表示第n次抽取后坛子中红球次抽取后坛子中红球的个数。则的个数。则 X0=1令令Mn 表示第表示第n次抽取后红球所占的比例，则次抽取后红球所占的比例，则且且Mn 是一个鞅。是一个鞅。事实上事实上所以所以由于由于Xn是马尔可夫链，从而是马尔可夫链，从而三、条件（三、条件（Jensen）不等式）不等式1、凸函数：、凸函数：定义在有限或无穷区间定义在有限或无穷区间 I 上的函数上的函数 称为称为凸函数，若凸函数，若 ，有有2、条件（、条件（Jensen）不等式）不等式设设 是是 区间区间 I 上的凸函数上的凸函数，随机变量，随机变量X满足满足则则

9、由此可得，当由此可得，当 是鞅（下鞅）时，是鞅（下鞅）时，是下鞅。是下鞅。第二节第二节 鞅的停时定理鞅的停时定理一、停时的定义一、停时的定义 设设 Yn，n=0,1,2,，是一随机序列，是一随机序列，是取是取值值0，1，2，的一个随机变量，若对任意的一个随机变量，若对任意 n0，事件，事件 由由Y0,Yn决定，决定，也即也即则称则称 关于关于Yn为为停时停时，简称简称 为为停时停时(stopping time)。或称或称马尔可夫时马尔可夫时(Markov time)。停时的直观背景解释：停时的直观背景解释：博弈的参与者，常常根据他事先设计好的规则，博弈的参与者，常常根据他事先设计好的规则，在每

10、一时刻决定继续或是退出（典型的有输完本钱时退出，在每一时刻决定继续或是退出（典型的有输完本钱时退出，输赢超过本钱的输赢超过本钱的80%退出等）。这些事先设计好的时刻实退出等）。这些事先设计好的时刻实际上都是随机的。所以，际上都是随机的。所以，在时刻在时刻n退出退出就是一个随机事件，就是一个随机事件，由博弈者在时刻由博弈者在时刻n与时刻与时刻n以前的累计得失的历史记录完全以前的累计得失的历史记录完全可以决定。因此，这些设计好的随机时刻都是停时。可以决定。因此，这些设计好的随机时刻都是停时。（1）关于关于Yn为为停时停时（2）（3）证明证明（1）与（）与（2）的等价性）的等价性一方面一方面另一方面

11、另一方面 定理定理2 设设 是取值是取值0，1，2，的一个随机变的一个随机变量，量，Yn是随机序列，是随机序列，n0，则，则下列命题等价：下列命题等价：例例4（2）与（）与（3）的等价性由如下两个等式关系即得）的等价性由如下两个等式关系即得若若S,T为停时，则为停时，则S+T,maxS,T,minS,T也是停时。也是停时。若若T为停时为停时,令令Tn=minT,n，则，则Tn为停时，且为停时，且设设 （k为一常数），则为一常数），则 为停时。为停时。例例5 设设A为为Yn的状态空间的状态空间T的一个子集，令的一个子集，令即即 为首次进入为首次进入A的时刻，则的时刻，则 是停时。是停时。证证 从

12、从 的定义直接得到的定义直接得到注：注：若令若令 为最后进入为最后进入A的时刻，则的时刻，则 不是停时。不是停时。即即 是停时是停时。原因是要确定原因是要确定 ，不仅要看，不仅要看 是否取是否取值在值在A中，还需知道全部中，还需知道全部 的情况。的情况。Theorem：设：设Xn,n1为独立同分布随机变量序列为独立同分布随机变量序列 T是关于是关于Xn,n1的停时，的停时，则，则 证证 令令则则Wald等式等式故故由于由于In=0=Tq 的情形（不公平博弈，甲方赢的概率大），令的情形（不公平博弈，甲方赢的概率大），令可以证明可以证明 关于关于 是鞅，事实上是鞅，事实上同样可以验证同样可以验证

13、满足鞅停时定理的条件（省略），满足鞅停时定理的条件（省略），由鞅停时定理得由鞅停时定理得另一方面另一方面所以所以下面求此博弈的平均持续时间下面求此博弈的平均持续时间 ，再，再定义定义所以，所以，关于关于 是鞅。是鞅。同样可以验证同样可以验证 满足鞅停时定理的条件（省略），满足鞅停时定理的条件（省略），由鞅停时定理得由鞅停时定理得 ，但是，但是所以所以完全类似地可以讨论完全类似地可以讨论pq 的情形的情形.四、上鞅停时定理四、上鞅停时定理定理定理 设设 是关于是关于 的上鞅，的上鞅，T是关于是关于 的停时，的停时，Tn=min(T,n)，设存在一非负随机变量，设存在一非负随机变量W，满足，满足且

14、使得且使得则有则有特别地，若特别地，若 ，则有，则有定理定理 设设 是关于是关于 的上鞅，的上鞅，T是关于是关于 的停时，的停时，且且则有则有五、五、Doob极大不等式极大不等式定理：定理：设设 是一个鞅，是一个鞅，则则（1）（2）如果）如果 ，则，则定理：定理：Kolmogorov极大不等式极大不等式设设 是独立随机变量序列，是独立随机变量序列，令令则则第三节第三节 连续时间鞅连续时间鞅一、定义一、定义设 表示观测由时间t为连续时间随机过程，表示随时间流逝可得到的一系列信息集信息集满足过滤过滤如果 的值在每一 时包含于信息集 中，则称适应于适应于即表示给出信息集 ，就会知道价值 使用不同的信

15、息集 就会产生顺序 的不同的预期。从而从而可用条件期望表示成：可用条件期望表示成：设 是一个随机过程，鞅鞅信息集为 和概率为 P 即未被观测的未来价值的最好预测是 的最近观测称过程 是鞅鞅过程的基本特征鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。鞅的未来变化的方向是不可能预测的。换句话例如设 是一个鞅反之如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或短期趋向，则这个过程不是鞅。鞅过程重要特征一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，这个过程就不再是鞅。若一过程 不是鞅，就能通过修改相关的概率标准P并且使 称为鞅。反之有第四节第四节 鞅表示鞅表示一、例子一、例

16、子若每一时间间隔非常小，且市场是“流动”的，则资产价格就有可能表现出至多一个向上或向下的过程即 的变化可表示为并且假设 是相互独立的。若特别特别则 的期望价值就等于0。如何构造标的的概率空间：首先需要构造一个由所有可能价格变化的样本路径或轨迹组成的集合，即样本空间。它的元素由一系列 构成。问题问题1其次定义与这些轨迹有关的概率，当价格变化是相互独立的（且是有限的），则序列的概率是每一价格变化的概率相乘。如轨迹为则有这就解决了资产价格变化的序列。如其次其次资产价格水平衍生证券通常写成其本身的价格就可从随后的变化中得到资产价格的水平由于 是由 的和构成，那么可以用轨迹 概率的方法得到 的概率分布。

17、如果所有的 是由+1的变化组成的，即则概率取例如例如同样其产出的概率是一般地通常价格会落在 之间的某处如在所有k个增量变化中，有m个+1的变化、个 的变化，其概率为此概率为二项分布，当 ，它收敛于正态分布问题2考虑由上式给出的概率的期望：如果则这意味着考虑到包括过去价格变化 的信息以及这个特殊的概率分布而定义的 是鞅。如果然而定义中心过程则 就转成鞅。说明提供了一个概率空间的具体的讨论以及如何把概率理论应用于与资产定价有关的各种轨迹。或二、道布二、道布迈耶分解迈耶分解考虑一个在任何时间 向上的概率大于向下的概率的情况的特殊资产，以此期望一个在观察轨迹中的向上趋势。则意味着即又因其中因此一个下鞅

18、可分解成两部分：第一部分是一个递增的决定变量，表示的是一种简单的道布迈耶分解得情形一般地定理定理1把在一个连续间隔的有限时间点上所观察的过程中的向上趋势的下鞅分解成有一个决定趋向和一个鞅。注 此理论表明即使连续观察的资产价格包含有明显的跳跃和向上的趋势，则通过抽掉一个趋势把它们转换成鞅。如果起初的连续时间过程并不呈现出任何的跳跃，但是连续的，则产生的鞅就会是连续的。三、道布分解的应用设即 如果标的资产价格高于执行价格K，期权的值为 如果标的资产的价格低于K，则期权的价值就是0由于所以使用在时间t（）的信息 计算它的预期价值从而说明确实给出了买权 的公平市场价值。问：是否有公平的市场价值 等于 的适当贴现价值？例如假设使用无风险利率r对 进行贴现，取则 即是鞅原因是或其中是 一个递增的随机变量，是一个考虑信息集 的鞅。假设投资者是在风险厌恶者的前提下，对于一个典型的风险资产 有由于根据道布迈耶分解可得表明：如果函数 能很明显的得到，就能得到在时刻 t 时买权的公平市场价值。问题：是否 在概率P下也是鞅？结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！61