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1、第第5章章 鞅鞅第1页，共60页，编辑于2022年，星期一第一节第一节 基本概念基本概念一、离散鞅的定义及性质一、离散鞅的定义及性质（1）（2）离散鞅序列简称为鞅定义定义1 1 若随机序列 对任意 有第2页，共60页，编辑于2022年，星期一注无后效性鞅的直观背景解释设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n次的赌本为 表示在已知前n次的赌本 的条件下，第n+1次的平均赌本。而鞅则表示这种赌博使第n+1次的平均赌本仍为第n次的赌本，这种赌博称为公平赌博。第3页，共60页，编辑于2022年，星期一定义定义2（1）（2）简称 为鞅（3）第4页，共60页，编辑于2022年，星期一例 公平赌博考虑一个赌博者正
2、在进行的一系列赌博-赌博者在第n次赌博时赢-赌博者在第n次赌博时输-第n次赌注是初始赌资，则赌博者第n次赌博后的赌资为则即Xn 关于 Yn是鞅。Yn独立同分布，且第5页，共60页，编辑于2022年，星期一定理定理1充分性显然证证必要性用归纳法来证由假设知（1）则有第6页，共60页，编辑于2022年，星期一性质性质1常数序列 为鞅。证证性质性质2即证证依次递推，可得第7页，共60页，编辑于2022年，星期一定义定义3（1）（2）简称 为上鞅（3）二、上、下鞅的定义及性质二、上、下鞅的定义及性质类似类似下鞅第8页，共60页，编辑于2022年，星期一关于上、下鞅的的直观解释：上鞅表示第n+1年的平均
3、赌本不多于第n年的赌本，即具有上鞅这种性质的赌博是亏本赌博；下鞅表示第n+1年的平均赌本不少于第n年的赌本，即具有下鞅这种性质的赌博是盈利赌博。性质3 为鞅的充分必要条件是，既为上鞅也为下鞅。性质4 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅第9页，共60页，编辑于2022年，星期一性质5 上鞅 下鞅证明同定理1类似。用数学归纳法第10页，共60页，编辑于2022年，星期一性质6 上鞅 下鞅证由性质5得 上鞅第11页，共60页，编辑于2022年，星期一 上鞅性质7 、上鞅 下鞅 、下鞅证证 上鞅第12页，共60页，编辑于2022年，星期一 上鞅性质8 上鞅 下鞅证证 下鞅 下鞅 上鞅由性质4及性质7立即可得结果性
4、质9 鞅 下鞅证明第13页，共60页，编辑于2022年，星期一例例1令且对任意且对任意 有有证证由条件期望的性质可得且所以第14页，共60页，编辑于2022年，星期一例例2 在例1中，若 ，则 关于 是下（上）鞅。但是，关于 是鞅。证明 因为所以，关于 是下鞅又所以，关于 是鞅。第15页，共60页，编辑于2022年，星期一例例3令证证（1）（2）所以第16页，共60页，编辑于2022年，星期一例例4设 ，是在直线上整数点上的贝努利随机游动，即它是一个以 为状态空间的时齐的马尔可夫链，它的转移矩阵 满足其中则（1）（2）（3）第17页，共60页，编辑于2022年，星期一证证设其中所以故下鞅0q
5、的情形（不公平博弈，甲方赢的概率大），令的情形（不公平博弈，甲方赢的概率大），令可以证明可以证明 关于关于 是鞅，事实上是鞅，事实上第37页，共60页，编辑于2022年，星期一同样可以验证同样可以验证 满足鞅停时定理的条件（省略），满足鞅停时定理的条件（省略），由鞅停时定理得由鞅停时定理得另一方面另一方面第38页，共60页，编辑于2022年，星期一所以所以下面求此博弈的平均持续时间下面求此博弈的平均持续时间 ，再，再定义定义第39页，共60页，编辑于2022年，星期一所以，所以，关于关于 是鞅。是鞅。同样可以验证同样可以验证 满足鞅停时定理的条件（省略），满足鞅停时定理的条件（省略），由鞅停时
6、定理得由鞅停时定理得 ，但是，但是所以所以完全类似地可以讨论完全类似地可以讨论pq 的情形的情形.第40页，共60页，编辑于2022年，星期一四、上鞅停时定理四、上鞅停时定理定理定理 设设 是关于是关于 的上鞅，的上鞅，T是关于是关于 的停时，的停时，Tn=min(T,n)，设存在一非负随机变量，设存在一非负随机变量W，满足，满足且使得且使得则有则有特别地，若特别地，若 ，则有，则有第41页，共60页，编辑于2022年，星期一定理定理 设设 是关于是关于 的上鞅，的上鞅，T是关于是关于 的停时，的停时，且且则有则有第42页，共60页，编辑于2022年，星期一五、五、Doob极大不等式极大不等式
7、定理：设定理：设 是一个鞅，是一个鞅，则则（1）（2）如果）如果 ，则，则第43页，共60页，编辑于2022年，星期一定理：定理：Kolmogorov极大不等式极大不等式设设 是独立随机变量序列，是独立随机变量序列，令令则则第44页，共60页，编辑于2022年，星期一第三节第三节 连续时间鞅连续时间鞅一、定义一、定义设 表示观测由时间t为连续时间随机过程，表示随时间流逝可得到的一系列信息集信息集满足过滤过滤如果 的值在每一 时包含于信息集 中，则称适应于适应于即表示给出信息集 ，就会知道价值 第45页，共60页，编辑于2022年，星期一使用不同的信息集 就会产生顺序 的不同的预期。从而从而可用
8、条件期望表示成：可用条件期望表示成：设 是一个随机过程，鞅鞅信息集为 和概率为 P 即未被观测的未来价值的最好预测是 的最近观测称过程 是鞅第46页，共60页，编辑于2022年，星期一鞅过程的基本特征鞅是在给定当前信息集时，未来变化完全不可测的随机变量。鞅的未来变化的方向是不可能预测的。换句话例如设 是一个鞅反之如果一个过程的轨迹呈现出一个可识别的长或短期趋向，则这个过程不是鞅。第47页，共60页，编辑于2022年，星期一鞅过程重要特征一个鞅的定义是考虑信息集和一些概率标准，如果改变与过程有关的信息集和概率，这个过程就不再是鞅。若一过程 不是鞅，就能通过修改相关的概率标准P并且使 称为鞅。反之
9、有第48页，共60页，编辑于2022年，星期一第四节第四节 鞅表示鞅表示一、例子一、例子若每一时间间隔非常小，且市场是“流动”的，则资产价格就有可能表现出至多一个向上或向下的过程即 的变化可表示为并且假设 是相互独立的。第49页，共60页，编辑于2022年，星期一若特别特别则 的期望价值就等于0。如何构造标的的概率空间：首先需要构造一个由所有可能价格变化的样本路径或轨迹组成的集合，即样本空间。它的元素由一系列 构成。问题问题1其次定义与这些轨迹有关的概率，当价格变化是相互独立的（且是有限的），则序列的概率是每一价格变化的概率相乘。如轨迹为则有这就解决了资产价格变化的序列。首页首页第50页，共6
10、0页，编辑于2022年，星期一如其次其次资产价格水平衍生证券通常写成其本身的价格就可从随后的变化中得到资产价格的水平由于 是由 的和构成，那么可以用轨迹 概率的方法得到 的概率分布。如果所有的 是由+1的变化组成的，即则概率取例如例如第51页，共60页，编辑于2022年，星期一同样其产出的概率是一般地通常价格会落在 之间的某处如在所有k个增量变化中，有m个+1的变化、个 的变化，其概率为此概率为二项分布，当 ，它收敛于正态分布第52页，共60页，编辑于2022年，星期一问题2考虑由上式给出的概率的期望：如果则这意味着考虑到包括过去价格变化 的信息以及这个特殊的概率分布而定义的 是鞅。第53页，
11、共60页，编辑于2022年，星期一如果然而定义中心过程则 就转成鞅。说明提供了一个概率空间的具体的讨论以及如何把概率理论应用于与资产定价有关的各种轨迹。或第54页，共60页，编辑于2022年，星期一二、道布二、道布迈耶分解迈耶分解考虑一个在任何时间 向上的概率大于向下的概率的情况的特殊资产，以此期望一个在观察轨迹中的向上趋势。则意味着即又因其中第55页，共60页，编辑于2022年，星期一因此一个下鞅可分解成两部分：第一部分是一个递增的决定变量，表示的是一种简单的道布迈耶分解得情形一般地定理定理1把在一个连续间隔的有限时间点上所观察的过程中的向上趋势的下鞅分解成有一个决定趋向和一个鞅。第56页，
12、共60页，编辑于2022年，星期一注 此理论表明即使连续观察的资产价格包含有明显的跳跃和向上的趋势，则通过抽掉一个趋势把它们转换成鞅。如果起初的连续时间过程并不呈现出任何的跳跃，但是连续的，则产生的鞅就会是连续的。三、道布分解的应用设即 如果标的资产价格高于执行价格K，期权的值为 如果标的资产的价格低于K，则期权的价值就是0由于所以使用在时间t（）的信息 计算它的预期价值第57页，共60页，编辑于2022年，星期一从而说明确实给出了买权 的公平市场价值。问：是否有公平的市场价值 等于 的适当贴现价值？例如假设使用无风险利率r对 进行贴现，取则 即是鞅原因是或第58页，共60页，编辑于2022年，星期一其中是 一个递增的随机变量，是一个考虑信息集 的鞅。假设投资者是在风险厌恶者的前提下，对于一个典型的风险资产 有由于根据道布迈耶分解可得表明：如果函数 能很明显的得到，就能得到在时刻 t 时买权的公平市场价值。问题：是否 在概率P下也是鞅？第59页，共60页，编辑于2022年，星期一第60页，共60页，编辑于2022年，星期一