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1、函数函数极限极限连续连续第一章 函数、极限与连续第一部分第一部分函数函数1.1.函数的定义函数的定义例例解解(1)函数的有界性函数的有界性:再如再如2.2.函数的性质函数的性质(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo(3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间区间I D，如果对于区间如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单
2、调减少的函数统称为单调函数单调函数。(4)函数的周期性函数的周期性:如如3.3.反函数反函数反函数与直接函数之间的关系反函数与直接函数之间的关系4.4.隐函数隐函数如如5.5.基本初等函数基本初等函数（1）幂函数幂函数（2）指数函数）指数函数（3）对数函数）对数函数（4）三角函数）三角函数（5）反三角函数）反三角函数6.6.复合函数复合函数7.7.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成并可用一个式子合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数表示的函数，称为初等函数。如如返回第二部分第二部分函数的极限
3、函数的极限1.1.数列极限的定义数列极限的定义2.2.函数极限的定义函数极限的定义左极限左极限右极限右极限极限为零的变量称为极限为零的变量称为绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为在同一过程中在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量;恒恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系3.3.无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量无穷小量.无穷大量无穷大量.性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.性质性质3 有界函数与无穷小的乘积是
4、无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质性质性质2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的乘积仍有限个无穷小的乘积仍是无穷小是无穷小.定义定义:无穷小的比较无穷小的比较定理定理推论推论1 1推论推论2 24.4.极限的四则运算法则极限的四则运算法则(1)(2)5.5.两个重要极限两个重要极限6.6.求极限的常用方法求极限的常用方法1、多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;2、消去零因子法求极限消去零因子法求极限（分解因式或有理化）（分解因式或有理化）;3、x或或n趋于无穷大趋于无
5、穷大时的极限时的极限，分子分母同除最高，分子分母同除最高 次幂法或用有理分式极限结论；次幂法或用有理分式极限结论；4、应用重要极限求极限应用重要极限求极限;5、利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;6、观察法观察法7、利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;返回第三部分第三部分函数的连续性函数的连续性1.1.连续的定义连续的定义定理定理3.3.连续的充要条件连续的充要条件2.2.单侧连续单侧连续4.4.间断点的定义间断点的定义(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断可去间断点点5.5.间断点的分类间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一
6、类间断点第一类间断点.特点特点:第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx可去型可去型0yx0yx振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点无穷型无穷型0yx第二类间断点第二类间断点6.6.闭区间的连续性闭区间的连续性7.7.连续性的运算性质连续性的运算性质定理定理定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 28.8.初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9.9.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最大值值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.例例3 3解解返回