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1、三角函数线课件三角函数线课件初中锐角三角函数是如何定义的？初中锐角三角函数是如何定义的？OMP sin=cos=tan=当OP=1时，sin=MP cos=OM 复习引入复习引入复习引入复习引入设设P P（x,y)x,y)是是终边上任一点终边上任一点,线段线段0P0P的长度为的长度为 r r复习：任意角三角函数的定义复习：任意角三角函数的定义比值叫做的正弦，记作，即比值叫做的余弦，记作，即比值叫做的正切，记作，即xOP(x,y)y.角角的终边的终边1 1.设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P P（x x，y y），角），角的三角函数是怎样定义的？的三角
2、函数是怎样定义的？2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？三角函数在各象限的函数值符号分别如何？一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.3.公式公式 ，().().其数学意义如何？其数学意义如何？终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等.4.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示
3、任意可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？角三角函数值？新课讲授新课讲授一、单位圆：一、单位圆：1、定义：定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆单位圆。oyxPMN2、单位圆与x轴的交点：单位圆与y轴的交点：（1，0）和（-1，0）（0，1）和（0，-1）3、正射影：正射影：过P作PM垂直X轴于点M，PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别 是点P在X轴、Y轴上的正射影正射影 AT正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆为第一象限角，其终边与单位圆的交点为的交点为P P（x x，y y），则），则 ，都是正数，都
4、是正数，你能分别用一条线段表示角你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？的正弦值和余弦值吗？P P（x x，y y）O Ox xy yM问题问题2 2：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 ，都是负数，都是负数，此时角此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P P（x x，y y）O Ox xy yM M正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线正弦线和余弦线 为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点
5、，使得线段具有方向性，一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号带有正负值符号.根据实际需要，我们规定根据实际需要，我们规定线段从始线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角由上分析可知，当角为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分别用有向线段可分别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP=sinMP=sin，OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角
6、时，你能检验为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？这个表示正确吗？P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考：思考：设角设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P，过点，过点P P作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称有向线段，称有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的正弦线和余弦线的正弦线和余弦线.当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考：思考：设设为锐角，你能根据正弦
7、线和余弦线说为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明明sinsincoscos1 1吗？吗？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1正切线正切线正切线正切线 A AT T问题问题1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其终边与单为第一象限角，其终边与单位圆的交点为位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用是正数，用哪条有向线段表示角哪条有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MAT T问题问题2 2：若角若角为第四象限角，其终边与单位为第四象限角，其终边与单位圆的交点为圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，是负数，
8、此时用哪条有向线段表示角此时用哪条有向线段表示角的正切值最合适的正切值最合适？P PO Ox xy yM M正切线正切线正切线正切线 A AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考：思考：若角若角为第二象限角，其终边与单位圆的交为第二象限角，其终边与单位圆的交点为点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条是负数，此时用哪条有向线段表示角有向线段表示角的正切值最合适？的正切值最合适？思考：思考：若角若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为第三象限角，其终边与单位圆的交点为为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向是正数，此时用哪条有向线段表示角线段表
9、示角的正切值最合适？的正切值最合适？P PO Ox xy yM MA AT TA AT T思考：思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角的终边或其反的终边或其反向延长线相交于点向延长线相交于点T T，则，则AT=tan.AT=tan.A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考：思考：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角的正切线的正切线的含义如何？的含义如何？O Ox xy yP PP P当角当角的终边在的终边在x x轴上时，
10、角轴上时，角的正切线是一个点；的正切线是一个点；当角当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角的正切线不存在的正切线不存在.思考：思考：观察下列不等式：观察下列不等式：你有什么一般猜想？你有什么一般猜想？思考：思考：对于不等式对于不等式（其中（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？为锐角），你能用数形结合思想证明吗？P PO Ox xy yM MA AT T例练讲解例练讲解例1、分别作出2/3和-3/4的正弦线、余弦线和正切线yOX解：在直角坐标系中做单位圆P2T2M2N2P1以OX轴为始边作2/3 的终边与单位圆交于P1点作P1M1OX轴，垂足为M1，由单位圆与OX正方向的交点A作OX
11、轴的垂线与OP的反向延长线交于T1点T1M1N1AY则Sin(2/3)=M1P1=ON1,Cos(2/3)=OM1,Tan(2/3)=AT1例2设是任意角，作的正弦线、余弦线、正切线，由图证明下列各等式:（1）sincos1；AoyPMTxN证明：（1）若角终边落在象限内，由 图可知sincos =ON+OM=PM+OM =OP=1 若角的终边落在轴上 则|sin|和|cos|必有一个为1，另一个为0，sincos1 象限角轴角AoyPMTxN证明：tan=MP/OM =sin/cos（2）tan=sin/cos；（是锐角）（3）|sin|+|cos|1证明：若角终边落在象限内，由图可知，OP
12、M中|MP|+|OM|OP|=1(三角形两边之和大于第三边）若角 终边落在轴上，|MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0|MP|+|OM|=1而|MP|=|ON|=|sin|，|OM|=|cos|故|sin|+|cos|1象限角（2）象限角（3）轴角（3）返回目录 例例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin ;(2)cos-.【分析分析】作出满足sin=,cos=-的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.【解析解析】(1)如图,作直线y=交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围,故满足条件的角的集合为返回目录
13、 返回目录(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为【评析评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.例例3 3 在在0 0 内，求使内，求使 成立的成立的的取值的取值范围范围.O Ox xy yP PM MP P1 1P P2 2例例4 4 求函数求函数 的定义域的定义域.O Ox xy yP P2 2M MP P1 1P P1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表三角函数线是三角函数的一种几何表示
14、，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.5 5.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结 2、用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要准确序要准确3.三角函数线凡含有原点的线段，均以原点为起点不含原点三角函数线凡含有原点的线段，均以原点为起点不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点的线段，均
15、以此线段与坐标轴的公共点为起点4、终边落在终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点，轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点，终边落在终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、
16、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的
17、样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束