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1、初中数学116解题模型目录1等角套鸡爪图（旋转大法）内含半角模型（截长补短+旋转大法）将军饮马（牛喝水）两村一路问题及拓展妙趣横生的“十字架”（四边形+三角形）中点处理策略五大模型角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加）相似模型俱乐部倍半角处理策略三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化）一次函数中K的颜值及其妙用二次函数常用二级结论及解题套路反比例函数中的几何模型及二级结论完美无缺的圆（圆中的模型）妙不可言、威力无穷的12345模型戏说数学之代数分式方程（可化为一元一次方程）死数（实数）活数（含有字母的数）代数式（定义）有理式无理式整式分式单项式多项式特殊数数与数之
2、间的特殊关系相等关系：等式及方程不等关系：不等式（组）全部关系：函数与图象整式方程一元（一次；二次）二元（一次方程组）代数学什么？数以及代数学什么？数以及数与数的关系！数与数的关系！按照数的性质为代数式分类按照数的性质为代数式分类代数式死数（实数）死数（实数）活数（含字母的数）活数（含字母的数）永正数：非负数永正数：非负数+正数正数非负数：平；绝；根非负数：平；绝；根永负数：（非负数永负数：（非负数+正数）正数）条件活数（川剧变脸）条件活数（川剧变脸）戏说数学之几何基本图形（点、线、面、空）特殊图形（三、四、多、圆）特殊图形三角形性质（直角等腰）（平矩菱正）特特殊殊图图图与图之间图与图之间的特
3、殊关系的特殊关系全等关系相似关系变换关系定义四边形判定定义性质判定对称兴致平移位似投影视图多边形与圆（正、圆）普通图形（丑）特殊图形（美）（整容）（整容）几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！学习几何要过四关画图关：按照题意画图形。语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。推理关：证明，推理的能力和步骤。模型关：掌握常用的几何模型。诀曰：等角套，套等角，顺藤摸瓜找相似。备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。OABCDOABCD如图：若AOBCOD（等角套：内套；外套）则立得：AOCBOD（理由：
4、）等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之拨开云雾见天日！1诀曰：歪八套，和歪A，形影不离似孪生。特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）ABCDO若DC，这个图形为“歪8”，显然AODBOC，添油加醋ABCDO若DC，这个图形为“歪8”，显然AODBOC，添油加醋连接AB、DC，AOBDOC相似吗？为什么？八字倒角八字倒角（共边等角，一等三等）：（共边等角，一等三等）：如图：如果BAC与BDC；DAC与DBC；ABD与ACDBDA与ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角共边等
5、角”？（学了圆，理解、记忆更容易）母题一母题一ABCDEF1.如图：ABC和ADE均为等边三角形，连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接AF。求证：ABDACEBFC=60AF平分DFE2.若把上题已知条件中的等边三角形改为等腰直角三角形，BAC和DAE为直角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。3.若把“1”题已知条件中的等边三角形改为顶角相等的两个等腰三角形，BAC和DAE顶角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。4.若把“1”中的条件改为：ABC中，DEBC，把ABC旋转到如图所示的位置。其他条件不变。请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。ABCDEFD
6、E口诀：口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。手拉手，是旋转，等边等腰和任三。母题二母题二ABCEDFGM1.如图：点B、C、D在一条直线上，ABC与ECD都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。证明：BCEACD（BE=AD本质：等角套+旋转全等）CDFCEGCBGCAF（旋转全等）CGF是等边三角形。MC是GMF的平分线。（以点M为顶点的角有六个60角，请你找出来并说明理由）。ABCDEMEG2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的“双等边三角形”。已知：ABC为任意三角形，ABAC，BAC120，分别以AB、AC为边向三角形外侧作两个等边三
7、角形：ABD与ACE。其中中的点及对应的字母如图所示。证明：BE=DCMA是GME的平分线。（以点M为顶点的角有六个60角，请你找出来并说明理由）。AEG是等边三角形吗？为什么？AE=AE吗？说明理由。注意：2中的点M为ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个最小距离就是DC或BE（为什么？）（为什么？）双等边模型母题三母题三双正方形模型ABCDEFGH1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：BG=DEBGDE（内含内含：歪八套歪歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也四点共圆，与圆结合：宝藏也）ABCDEFGH2.如图，四
8、边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，BG交DE于H。求证：BG=DEBGDE（对照对照“1”，类比推理，类比推理）母题四母题四ABC1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且EDEF，求证：BE=AFEDF为等腰直角三角形BE2+CF2=EF2SABC=2S四边形AEDFEF2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件不变，求证：ED2=EGEAGEGF=GAGDABCEFG母题五母题五母题六母题六2诀曰：诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释简释
9、：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过角的顶点的线段（所谓的鸡爪图鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与相同的角度，构造“等角套等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。全等三角形。利用利用全等的性质去解决问题，事半功倍。全等的性质去解决问题，事半功倍。ABCDABDCE如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？怎么做辅助线？作AE=AD，且EAD=BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个与BAC相等的度数），可以达到柳暗花明又一村柳暗花明又一村的奇效。鸡爪图母题七母题七ABCD如图：等腰直角BAC中，BAC=90，D为BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的
10、数量关系并证明。母题八母题八四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2EC=3，求AEB的度数。ABCDE鸡爪旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。2.如图：ABC=30，ADC=60，AD=DC，求证：AB2+BC2=BD2ABCD如果AB=4，BC=3，求BD=？ABCD图解：图中直角=360-（360-30-60）=90母题九母题九ABCE如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求AEB的度数。母题十母题十“邻补四边形模型邻补四边形模型”口诀：口诀：对角补，邻边等，知二
11、推一角平分对角补，邻边等，知二推一角平分。ABCD邻补四边形：邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！对角互补，邻边相等的四边形！如图：四边形ABCD中，ABC=ADC=90，且AB=AC，求证：BD平分ADC=90DA+DC=BDS四边形ABCD=1/2BD2特别提示：特别提示：类似题目可以用“旋转大法旋转大法”和“截长补短截长补短”法以及“角平分线双垂直模型角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解题能力。母题十一母题十一ABCD1.如图：四边形ABCD中，ABC=60，ADC=120且AB=AC，求证：BD平分ADCDA+DC=BDS四边形ABCD=BD2特别提示：特别提示：和“母题九”类
12、比，条件和结论分别佛发生了什么变化？2.如图：四边形ABCD中，ABC+ADC=180且AB=AC，求证：BD平分ADC问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？小结，拓展：小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图鸡爪图”，旋转后构成一对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图鸡爪图”呢？可以如法炮制如法炮制吗？ABCDABDCE如图：若已知ABAC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？怎么做辅助线？作AD：AC=m，且DAE=BAC（或：把线段AC绕A点旋转一个与BAC相等的度数，并使AD：AE=m），会发生什么？有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似神气的一转成双！
13、鸡爪图母题十二母题十二方法方法3旋转+截长补短：破解半角模型半角模型诀曰：诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。线段和，要得证，截长补短是正本。正方形，等直三，内含半角转一转。母题十三母题十三1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45，证明：EF=BE+DF证明ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。过A作AHEF于H，证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。证明：BG2+MD2=GM2证明：AGF与AME是等腰直角三角
14、形证明：AE平分BEF；AF平分DFE证明：EABEFG；ADFEMF图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角形可以自己去找。GMO更多结论参考下页更多结论参考下页正方形内含半角正方形内含半角母题十四母题十四邻补四边形邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）ABCDEFABCDEFABCEF1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，ABC=ADC=90且EBF=45，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，ABC+ADC=180且EBF=1/2ABC，猜想并证明线段E
15、F、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：等腰直角ABC中，ABC=90，E、F都是AC上的点，且EBF=45，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！自造半角模型解体策略自造半角模型解体策略：三角形：三角形作高翻折作高翻折！4将军饮马将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折对称、翻折化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求最值，将军饮马七七模型模型！ABP两村一路（异侧）两村一路（异侧）和最
16、小和最小两村一路（同侧）两村一路（同侧）和最小和最小一村两路和最小一村两路和最小两村两路和最小两村两路和最小两村一路（线段）和最小两村一路（线段）和最小两村一路（同侧）两村一路（同侧）差最大差最大两村一路（异侧）两村一路（异侧）差最大差最大母题十五母题十五AB函数中的将军饮马（四大模型）如图：平面直角坐标系中有A、B两点A（1，3）；B（4，2）。若x轴上有一动点P，当PA+PB最短时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当APQ的周长最短时，求出P、Q两点的坐标，并求出此时APQ的周长的最小值。若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当四边形AQPB的周长最
17、短时，求出P、Q两点的坐标。若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四边形AEFB的周长最短时，求出E、F两点的坐标。ABOO备用图母题十六母题十六“变态变态的将军饮马的将军饮马”造桥选址造桥选址问题问题母题十七母题十七两村一路母题十八母题十八ABCDMN两村一路母题十九母题十九两村一路母题二十母题二十“变态的”两村一路：固定变量法答案：答案：先设先设E点不变，画出点不变，画出P点后在确定点后在确定E的位置！的位置！固定变量法固定变量法母题二十一母题二十一EF由面积关系得：EF与BC的距离为2，所以，B点的对称点是A，连接AC，AC=5=PB+PC一村两路母题二十二母题二十二母题二十三母题二十三A
18、OBP1.如图，AOB=30，点P为AOB内部一点，且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的周长最短时，求周长的最小值。1.如图，点P为AOB内部一点且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的周长最短为15时，求AOB的度数。AOBP一村两路母题二十四母题二十四两村两路ABCDMNPQ如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个动点，当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最小值。母题二十五母题二十五两村一路差最大两村一路差最大OxyA（2，2）B（8，-6）如图：平面直角坐标系中，A、B两点的坐标已知，在x轴上有一
19、动点P。当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求出|PA-PB|的最大值。5十字架模型：诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤又改斜，又改正，横平竖直有矩形。【正方形内的十字架结构正方形内的十字架结构】1、在正方形ABCD中，BNAM，则常见的结论有哪些？垂等图垂等图2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EFGH，证明：EF=GH若EF=GH，证明：EFGH以上结论，称之为“垂等图垂等图”！以上方法：改斜改斜归正，横平竖直归正，横平竖直。方法方法方法方法思路思路思路思路学习学习学习学习数学数学数学数学精髓精髓精髓精髓母题二十六母题二十六如图，将边长为4的
20、正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；母题二十七母题二十七【解析解析】连接AE，由轴对称的性质可知，AEFG（应该是FG垂直平分AE）这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以FG=AE=（）感悟：慧眼发现十字架十字架！解析【十字结构在矩形中十字结构在矩形中】【思考思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？形内出现垂直会有什么结论呢？1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CEBD，则CE和BD之间有什么数量关系？证明请。2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为分别为AD、BC、AB、CD边上的点边上的点，当EFGH时，证明：FMEGNHEF:GH=AB:BC注意：红色的字很关键否则，上述结论不成立母题二十八母题二十八例题例题2 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，将AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数经过点D时，求k的值.母题二十九母题二十九【解析解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）发现连接OD后，有ODAB（发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）解析